三组元栅格板的振动特性研究

刘荣强， 赵浩江， 李长洲， 郭宏伟，邓宗全

(哈尔滨工业大学 机电工程学院，哈尔滨　150001)



三组元栅格板的振动特性研究

刘荣强， 赵浩江， 李长洲， 郭宏伟，邓宗全

(哈尔滨工业大学 机电工程学院，哈尔滨150001)

依据声子晶体的局域共振机理提出了一种三组元板状周期栅格结构。利用有限元法分析计算了这种新型栅格结构的色散关系和特征模态的位移场。由能带结构图和振动传递的有限元仿真结果可知，栅格结构拥有多个方向的低频振动带隙。局域共振带隙是由行进波和振子的共振相互作用产生的。以第一个弯曲振动带隙为例，结构参数对带隙的影响可以用等效的质点弹簧系统模型来解释。这种三组元板状周期栅格结构有望应用于低频振动的隔振设计中。

栅格板；局域共振；带隙；有限元法

抑制有害的结构振动一直是工程实践中急需解决的问题。声子晶体的出现给减少有害的结构振动提供了一种新的方法[1-3]。在声子晶体的带隙频率范围内声和振动无法传递，从而起到了隔振降噪的作用。带隙的形成机理包括Bragg散射型和局域共振型[4-5]，其中局域共振型声子晶体在低频隔振领域具有广泛的应用前景。

作为声子晶体结构的一种，栅格结构已经引起了广泛的关注[6-13]。Martinssion等[6]调研了一种两组元的栅格结构，他们通过把栅格简化成不均一的弹簧，计算出了其能带结构。温激鸿等[7-8]从理论上进行了多方面的研究，并实验验证了带隙的存在性。Jenson[9]利用质量-弹簧模型计算了二维栅格结构。Diaz等[10]分析了栅格单胞中附加质量对带隙的影响。随后Wang等[11]研究了一种与之类似的带基板的栅格结构。此外，Wang等[12]将电磁弹性体材料与栅格结构相结合，分析了电磁弹性耦合及预应力对栅格带隙结构的影响，研究结果表明栅格的带隙宽度可以通过改变预应力的大小进行调节。以上研究的都是正方形栅格，黄毓等[13]还研究了三角形、米字形、六边形、反六边形、Kagome形以及钻石形等六种典型拓扑结构的栅格的带隙特性，并与四边形栅格进行了对比。以上所研究的栅格结构多是二组元结构或单组元结构，主要具有Bragg散射带隙，不利于获得低频带隙。

本文基于局域共振机理，提出了一种新型三组元栅格结构(Three-Component Grid Plate，TCGP)。采用有限元法计算了该栅格结构的能带结构及其特征模态位移场，用多质点-弹簧模型分析了栅格结构的局域共振机理[14-16]，并讨论了结构参数对带隙位置和宽度的影响。

1　模型与算法

1.1模型

本文提出的TCGP结构是由传统栅格板在厚度方向上增加局域共振单元组成，如图1所示。图1(a)表示TCGP的三维视图，图1(b)表示TCGP的一个单胞。假设Z轴沿厚度方向，XY平面垂直于厚度方向。a和b分别表示TCGP结构的晶格常数和厚度，栅格壁厚为h，橡胶包覆层壁厚为l，包覆层高度为w。TCGP的骨架材料为铝，其密度为2 780 kg/m3，杨氏模量为7.76×1010Pa，泊松比为0.35；包覆橡胶的密度是1 300 kg/m3，杨氏模量1.37×105Pa，泊松比0.46；其中作为质量-弹簧系统中集中质量的铅的密度是11 600 kg/m3，杨氏模量4.08×1010Pa，泊松比0.42。

图1　局域共振栅格结构三维模型和栅格单元Fig.1 Schematics of the LRGS and The unit cell of the LRGS

1.2计算方法

为了研究弹性波在TCGP中的传播特性，利用有限元法计算了TCGP的色散关系和特征模态的位移场。在色散关系的计算中，直角坐标系下的弹性波传播计算公式如下：

(i=1,2,3)

(1)

式中：u表示位移，t表示时间，xj代表坐标变量，cijlk代表弹性常量。

根据周期结构的Bloch定理，第一布里渊区之外没有新的特征值和特征模态。因此，声子晶体的色散关系可以通过计算一个栅格基本单元(单胞)获得。采用多物理场商业软件COMSOL Mutiphysics中的固体力学特征频率模块进行具体的有限元求解。在TCGP的上下表面施加自由应力边界条件，并在图1(b)所示的相邻栅格单胞分界面上施加周期边界条件：

u(x+a1,y)=u(x,y)eik1·a1

(2a)

u(x,y+a2)=u(x,y)eik2·a2

(2b)

式中：k=(k1,k2)是被限制在第一不可约布里渊区的波矢，a1、a2表示栅格单胞的基矢。沿着第一不可约布里渊区的高对称边界求解特征值方程，即可得到TCGP的能带结构和相应的模态位移场。

2　结果与讨论

2.1能带结构

取TCGP的几何参数为a=0.03 m，b=0.03 m，h=0.004 m，w=0.022 m，l=0.002 m，计算得到的沿高对称边界MΓ-ΓX-XM的能带结构如图2所示。从图2(a)中可以看出，TCGP中存在一个频率范围从220 Hz到385 Hz的完全带隙。显然此频率范围内的波长远大于栅格单胞的晶格常数a。可以发现除了Γ点及其附近领域，大多数频带都是平直的，因此这个带隙具有局域共振特性。

(a)　MΓ-ΓX-XM能带

(b)　ΓX能带图2　TCGP沿MΓ-ΓX-XM和ΓX方向的能带结构Fig.2 Band structure of the LRGS along

2.2特征模态

为了确定各条频带代表的振动特性，图3列出了对应于图2(b)中标出的各点处的特征频率对应的特征模态的位移场。图2(b)中从Γ点开始的三个能带分别表示反对称Lamb波(A0模态)、对称Lamb波(S0模态)和水平剪切波(SH0模态)[17]。在频率很低的范围内，对称Lamb波(S0)和水平剪切波(SH0)在TCGP中的传播与在均匀平板中非常相似。如图3(d)所示，对于A0点处的反对称Lamb波，TCGP的三种组元均沿着Z轴方向移动，这一点同样与在均匀平板中的运动相似。如图3(a)所示，共振模态A1同样沿着厚度方向移动，因此它可以被反对称Lamb波激励。由于和A1模态的强耦合作用，反对称Lamb波的能带被截断，变成平直能带。因此，第一弯曲振动间隙(图2(b)间隙3)从这条被截断的平直能带开始；而如图3(b)所示，模态T3下铝栅格板沿Z轴发生明显位移，表明弯曲振动可以穿过栅格，第一弯曲振动带隙截止。倾覆振动模态D和扭转振动模态F在Z轴平行和垂直方向上均有位移，并且与之对应的带型以平直带贯穿整个第一布里渊区，因此这两个模态所在频率的振动可以穿过栅格板。对于共振模态E(图3(c))，栅格单元在X轴方向上的铅块与在Y轴方向上的铅块的垂直振动的位移等大反向，导致局域共振单元施加在竖直板上的合力趋近于零，由此如图2(b)所示，模态E以贯穿整个第一布里渊区的平直带形式在三组元栅格板中传播。

在XY面内的振型中，对称Lamb波(模态S0)与其一阶倍频(模态S1)分别被共振模态C1(图3(f))和C2(图3(j))截断。因此，如图2(b)所示，第一、第二个纵向振动带隙分别在C1、C2平直带处形成。同时，水平剪切波(模态SH0)与其一阶倍频(模态SH1)分别被沿Y轴方向振动的共振模态B1(图3(e))和B2(图3(i))截断。因此，第一、第二个水平剪切振动带隙分别在平直带B1、B2处形成。注意到平直带B1和C1彼此非常接近，而且第一个纵向振动带隙和第一个水平剪切振动带隙均终止于模态T1。如图3(g)所示，T1模态是栅格板中铝合金骨架部分沿X轴和Y轴方向振动的耦合模态，这意味着纵向振动和水平剪切振动均可通过。并且，铅芯的振动方向与铝合金骨架的振动方向相反。类似的，平直带B2和C2也非常接近彼此，而且第二个纵向振动带隙和第二个水平剪切振动带隙均终止于模态T2。

图3　与图2各点对应的振型和位移矢量图Fig.3 Eigenmode shapes and displacement vector fields of the corresponding points as shown in Fig.2b

2.3振动传递特性

为了验证图2中不同方向的振动带隙，建立了5×5单胞数的有限尺寸TCGP结构，利用有限元软件对其振动传递特性进行仿真。分别在TCGP结构一端边界上沿x,y,z三个方向施加单位位移激励，仿真TCGP受剪切振动、纵向振动和弯曲振动的情况；在另一端拾取位移响应信号，与输入信号对比得到振动衰减幅值曲线，如图4所示。其中，图4(a)中阴影部分对应图2中前两阶剪切振动带隙的频率范围，图4(b)中阴影部分对应前两阶纵向振动带隙的频率范围，图4(c)中阴影部分对应第一阶弯曲振动带隙的频率范围。

图4　有限周期数的TCGP沿不同方向的振动响应Fig.4 Response curves of vibration along different directions in a TCGP structure with limited unit cells

由图4可知，振动响应曲线在对应图2所得的各带隙的频率范围内都有不同程度的衰减，说明图2中理论带隙存在。并且，x方向和z方向的振动衰减幅度要大于y方向的振动。响应曲线中，除带隙起止频率对应的峰谷外，还有结构作为整体对应的特征频率。

2.4几何参数的影响

以第一阶弯曲振动带隙为例，分析包覆层和芯体的整体填充率和栅格板厚度等几何参数对带隙特性的影响。以下针对不同填充率进行一系列计算，在计算过程中保持a=0.03 m,h=0.004 m,b=0.03 m，l=w/4不变。由图5(a)可以看出，随着填充率的增加，带隙起始频率单调下降，而带隙终止频率先下降后上升，且在f=0.5附近达到最低点，导致带隙随着填充率的增加而变宽。保持a=0.03 m,h=0.004 m,l=b/8,w=b/2不变，进一步研究栅格板厚度b对第一阶弯曲带隙的影响，结果如图5(b)所示。带隙的起始频率fs和终止频率ft都随板厚b的增加而下降，且终止频率的下降速度快于起始频率，导致带隙随板厚b的增加而变窄并向低频移动。

图5　整体填充率和栅格板厚对第一弯曲振动带隙的影响Fig.5 The first flexural vibration band gap as a function

为了进一步揭示整体填充率和栅格板厚对第一弯曲振动带隙的产生影响的机理，给出对应该带隙的起始模态A1和终止模态T3的质量-弹簧系统模型，如图6所示。在模态A1的质量-弹簧系统模型中，铅芯对应质量块MA，橡胶对应弹簧Ke，铝合金骨架可被视为刚体。而终止模态T3对应于含两个质量块的质量-弹簧系统模型：除了质量块MA之外，铝合金骨架对应质量块MB。当模态T3达到其平衡状态时，质量块MA和MB同时移向或远离振动静止点。

这两个质量-弹簧系统的固有频率可由如下公式进行计算：

(3a)

(3b)

式中：fs和ft分别是第一阶弯曲带隙的起始频率和终止频率。

图6　第一弯曲振动带隙起止频率质量-弹簧系统模型Fig.6 Mass-spring system models for mode

整体填充率增加则等效质量块MA增加，由公式3(a)可知，起始频率fs下降。对于终止频率ft，随着填充率增加，等效质量块MB和MA先后起主导作用。由式3(b)和图6(b)可知，终止频率ft先下降后上升，与此同时静止点由MB移向MA，与图5(a)的计算结果一致。另外，格栅板厚的增加使等效质量MB和MA增加。由式(3)可知，随着厚度b的增加，fs和ft均下降，且ft下降趋势比fs更快，与图5(b)的计算结果一致。

3　结　论

本文提出了一种新型的三组元栅格板结构，并对该结构中的弹性波的传播特性进行了深入的理论研究。该栅格结构由铝栅格板、铅芯、包覆橡胶组成，利用有限元法计算了其色散关系和对应振型的位移场。通过分析各条能带结构和相应的振型，发现三组元栅格板沿不同方向的局域共振模态分别与反对称Lamb波、对称Lamb波和水平剪切波产生强耦合作用，从而产生了弯曲、纵向和水平剪切局域共振带隙。根据对振动响应的有限元仿真，证明了各带隙的存在，并且发现，振动在剪切振动带隙和弯曲振动带隙频率范围内的衰减幅度要大于纵向振动带隙。根据一阶弯曲振动带隙的起始模态和终止模态的振型特征，建立了两个质量-弹簧系统模型。该模型可以很好的解释一阶弯曲振动带隙随填充率和栅格板厚度这两个参数变化的规律。本文提出的新型三组元周期栅格板结构具有低频宽带隙，为低频隔振提供了一个新思路。

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Vibration characteristics of three-component grid plates

LIU Rongqiang, ZHAO Haojiang, LI Changzhou, GUO Hongwei, DENG Zongquan

(School of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

A three-component grid plate structure inspired due to the local resonance mechanism of phononic crystals was presented. The dispersion relation and displacement field of eigenmodes of this novel grid structure were calculated with the finite element method. According to energy band structure figures and vibration response curves obtained with FE simulation, it was shown that the proposed grid structures possess low frequency vibration band gaps along different directions; the local resonant band gaps are caused due to the interaction between traveling wave modes and local resonances; taking the first flexural vibration band gap as an example, the effects of geometric parameters on the band gap can be explained with an equivalent mass-spring system model; these properties of band gaps in three-component grid plates can potentially be applied to design devices for low-frequency vibration reduction.

grid plate; local resonance; band gap; finite element method

“111”工程(B07018)

2015-04-20修改稿收到日期：2015-07-16

刘荣强 男，博士，教授,博士生导师，1965年10月生

郭宏伟 男，博士，副教授，1980年12月生

O734

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.010