并联双振子声子晶体梁结构带隙特性研究

吴旭东　左曙光　倪天心　范珈璐

摘要：为使声子晶体结构实现范围更宽的多带隙特性，基于单振子型声子晶体结构弯曲振动带隙频率范围窄的局限，提出了一种双侧振子布置形式的局域共振声子晶体梁结构，并基于传递矩阵法和有限元法对其进行了无限周期和有限周期的带隙计算，分析了双带隙配合减振的特性；试制了声子晶体梁样件并进行传递特性试验，通过仿真计算与试验结果的对比，验证了有限元法对有限周期结构带隙预测的准确性和有效性；最后基于有限元方法探讨了周期数和晶格常数对双振子梁带隙特性的影响。为并联式双振子声子晶体结构的工程应用提供了理论依据和工程参考。

关键词：声子晶体；弯曲振动；带隙；并联双振子

中图分类号：0328；TB535

文献标志码：A

文章编号：1004-4523（2017）01-0079-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.i004-4523.2017.01.011

引言

梁状结构是在工程领域中最常见的一种基本结构形式，梁结构在机械系统中起到连接、承载的作用，同时也是车内结构振动的主要传递路径之一。因此梁状结构在机械结构的振动与噪声控制方面是主要的研究對象之一。国内外许多学者针对梁结构的振动（弯曲振动为主）的传递特性，采用不同的方法以试图达到减振降噪的目的。

近20年来，由周期结构逐渐演变的声子晶体结构的发展对结构的减振降噪提供了新的设计思路。而一维声子晶体结构作为具有一定振动带隙的梁状结构，因而被越来越多地引入到弯曲振动梁的减振设计中。目前研究的声子晶体带隙机理有两种：Bragg散射型带隙机理与局域共振型带隙机理，其中局域共振带隙机理已经在多种声子晶体结构中得以应用。局域共振声子晶体借鉴了机械工程领域的动力吸振器的概念，采用悬挂弹性质量（振子）的形式，作为一种工程实践中最常见结构，学者提出了分布式和连续式动力吸振器，以拓展波形衰减的幅度和频率范围，这些结构能够使得小尺寸结构控制大波长，实现对1000Hz以下的中低频振动的有效衰减。

此前的研究对悬挂多振子的声子晶体梁弯曲带隙进行过分析，但其所提出的实际结构与简化假设的模型在连接点的位置描述上并不一致；其采用的橡胶环形式弹簧因比较大的材料阻尼影响了振动能量向振子的转移，未能充分发挥多振子布置拓宽带隙宽度和分布的潜力。

针对传统单振子减振带隙频带窄及此前多振子研究中的局限，本文提出了双振子布置声子晶体结构，通过不同振子系统在基体梁两侧的对称布置，能够有效地组合双振子形成的独立带隙，并仍能完整地保留原单振子系统的带隙衰减能力。本文基于传递矩阵法，分析单振子梁弯曲振动弹性波的传递特性的局限，从而设计双振子结构，结合有限元仿真与试验测试，验证了该结构的带隙特性和有限元法的有效性，最后基于有限元方法探讨了周期数和晶格常数对双振子梁带隙特性的影响。

1.并联式双振子梁弯曲振动带隙$I-算

1.1基于无限周期的振子梁带隙计算

本文中采用基于欧拉梁振动假设的传递矩阵法计算无限周期的振子梁结构的传递特性。拟采用的多振子并联声子晶体梁可以如图1进行简化。此简化模型与文献中提出的形式一致，因此本文中不再赘述对传递矩阵的推导，直接给出传递矩阵的表达式。

根据Bloch定理，在对4×4的传递矩阵T求解特征值时，会产生共轭的两对特征值，并对应解得2对共轭的波失。参照文献[14]的做法，本文中选取虚部绝对值最小的波失作为波传递特性的表征，对应着在无限结构中能传递到最远的振型。在此种振动模式下带有非零虚部的波失对应着无法在结构中传播的特定频率的弯曲振动波形，即在相应频率处产生了弯曲振动的带隙，从而得到声子晶体梁的传递特性。

根据表1的材料和几何参数，分别对两种单振子及其组合成的双振子声子晶体梁的带隙进行了数值计算，结果如图2所示。

由计算结果可以发现，并联式双振子声子晶体梁相较于单振子形成了双带隙，拓宽了原有单振子结构的带隙范围。

与文献[10]的计算结果不同的是，因其所选择的两种振子（铁和铜）的差异相对较小，导致计算出的两个带隙中较低频段的带隙宽带被严重压缩，导致带隙与单振子相比没有太大区别；同时其实际结构的两种振子的作用力与基体梁的耦合点并非在同一点，只是比较接近，因此也为计算结果带来一点的误差。本文中的结构，两种振子在同一耦合点处产生作用力，且两种振子的差异较大，因此计算带隙有了较为明显的拓宽效应。

1.2基于有限周期的振子梁带隙计算

实际应用中，不存在无限周期的梁结构，因此本文通过有限元方法分别建立了有限周期的单、双振子梁结构，采用矩形截面梁，连接弹簧采用线弹性矩形橡胶块进行模拟。网格单元采用连续三维实体单元C3D8R，仿真中梁为自由梁，在一端施加特定频率范围的单位幅值的加速度正弦激励，在梁的另一端测量加速度响应并计算其频响函数，即能获得目标频段内实际结构对弯曲振动的衰减特性（带隙结构）。

传统设计的单振子声子晶体梁的振子都是布置在基体梁的一侧，通过上述的计算结果可知，单振子结构产生的带隙存在频带单一、宽度窄的局限，本文从声子晶体结构设计角度出发，旨在通过多振子布置实现声子晶体结构的带隙拓展。

本文采用两种振子等晶格常数对称布置的结构形式，如图3所示，研究不同的振子布置形式下声子晶体结构的带隙特性，参数设置如表1所示。

仿真过程中同时建立两种单振子梁结构，便于与双振子结构进行比较，通过有限元计算三种声子晶体结构在0～1400Hz频率范围内的弯曲振动传递特性曲线，结果如图4所示。

由图4可以看出，三条曲线分别表示单振子梁一、单振子梁二和双振子梁的加速度频率响应函数，结果表明这种双振子对侧布置结构能很完整的体现出了两种振子各自的带隙特性，很明显地能够判断出频段较低的带隙是由振子二的局域共振特性产生，两者的起始频率完全一致，带隙内衰减峰值频率均为480Hz；频率较高的带隙由振子一产生，带隙内衰减峰值频率皆为952Hz。

此外，从图中观察到双振子梁的高频带隙相比单振子一的带隙在宽度上有所增加，主要体现为截止频率的升高，带隙起止频率从原本的944～1180Hz拓宽到944～1239Hz，带隙宽度增加了约60Hz，说明这种双振子布置形式能对单振子形式下的高频带隙起到一定的拓宽作用。

由于两个带隙分别由两种振子产生，其各自的局域共振模态是相互独立的，因此可以通过对两个振子的独立设计，通过振子参数控制两个带隙的位置，从而利用多振子布置结构实现声子晶体梁的多带隙分布特性。

2.声子晶体梁传递特性试验

2.1样件制备及测量

在试验样件的制备过程中，关键在于确定振子与基体梁的弹簧连接形式。前文对声子晶体梁带隙特性的数值仿真和有限元计算的研究中，都将声子晶体梁的组成材料认为是理想的无阻尼材料，而实际情况下材料的阻尼特性是不可忽略的。

此外在实际应用中橡胶材料的配方众多，在试验样件的设计中难以控制橡胶弹簧的连接刚度，因此本文采用一种新型金属弹簧作为连接元件，如图5（a）所示，一方面金属材料的阻尼因子普遍在-3数量级左右，可视为无阻尼弹簧；另一方面该弹簧规格众多，选用不同直径和长度的弹簧，刚度范围可以从2N/m变化到600N/mm，结合振子块质量的设定，足以满足声子晶体梁减振带隙设计要求。

试验样件利用45号钢加工制成基体梁与振子块，利用模具螺旋弹簧作为连接弹簧，所选用的弹簧型号的刚度为K=313.6N/mm，弹簧质量为M_s=0.03kg；声子晶体梁与振子的结构尺寸参数如表2所示；试验样件的晶格常数取为a=0.75cm。

试验样件的制备过程中使用502胶粘剂粘贴试件，通过反复挤压以避免材料粘接处产生空气泡或裂隙，需至少静置12小时以保证其完全固化。

试验中利用激振器产生振动输入能量对声子晶体梁进行激振，在数据采集中需要采集声子晶体梁几个测点的加速度信号（如图6所示）。

2.2试验结果分析

最终通过对获得的激励与响应信号进行计算，响应信号与激励信号之比即为声子晶体梁的振动传递特性，同时将试验结果与计算结果做比较，如图7，8所示。

图7（a），（b）分别给出了试验测量所得的加速度频率响应函数、有限元仿真计算下两种单振子声子晶体梁在弯曲振动激励下的传递特性曲线以及通过数值仿真模型计算的带隙结构曲线。对比两种单振子声子晶体梁的带隙计算结果，两种单振子梁分别在319～552Hz和472～647Hz频段范围有一个明显的振动带隙，振子一声子晶体梁在带隙内的振动衰减量在40dB左右，振子二的衰减量为35 dB左右，无论从振动带隙的起止频率或是带隙内的振动衰减幅值上看，试验结果与有限元仿真结果的吻合度较高，并且两者均能很明显地体现出数值仿真计算中的带隙结构。

图8分别给出了通过试验测量所得的加速度频率响应函数、有限元仿真计算下双侧等晶格常数振子声子晶体梁在弯曲振动激励下的传递特性曲线。这两种方法所得到带隙结构相一致，在320～400Hz和480～700 Hz存在分别由两种振子所形成的两个振动带隙。通过试验结果的对比，也验证了本文所采用的数值仿真模型与有限元计算方法的有效性和准确性。

最终将三种声子晶体梁的振动传递特性试验结果进行比较，如图9所示。从图中可以很明显地看出双振子梁的两个带隙分别由两种振子各自形成，但从带隙的起止频率上看，双振子梁两个带隙的起始频率与单振子相符，但在截止频率上有所差异，总体上体现出一种“低频带隙宽度被缩窄、高频带隙被拓宽”的现象。这是由于理论上两个振子分别形成的带隙有一段重合频率的存在，使得低频带隙的带隙截止处振动模态与高频带隙的起始处振动模态发生相互影响作用，使两个带隙之问出现了一段通带频率；而高频带隙的拓宽现象之前仿真计算中得出的结果是一致的。

可见，利用有限元法进行有限周期声子晶体的振子布置形式设计时可以实现较为准确的带隙预测。

3.双振子梁带隙特性的影響分析

3.1周期数的影响

从前述的计算中可知，振子周期数的多少对带隙也有重要的影响。从理论上说，周期数越多其减振特性越好，而实际中由于结构尺寸的限制、轻量化要求等等，需要利用尽可能少的周期满足预期的减振效果。

为了探明声子晶体结构中周期数与振动衰减量之间的关系，建立带有20个振子（10个周期）双侧布置的声子晶体梁模型进行近一步的比较，仿真模型与对比结果如图10所示。

从图中可以明显地看出这三条传递特性曲线之间反映出一个差异，其主要体现在振动带隙的宽度上：单侧布置形式的振动带隙起止频率为944～1156Hz，而双侧布置形式的振动带隙起止频率为944～1470Hz左右，双侧布置振子形式增大了带隙的截止频率，对带隙产生了一定的拓宽作用，带隙宽度从212Hz拓宽了2.5倍到达530Hz。

可见，双侧振子的布置方式可以在较少的周期内实现带隙范围的拓宽，且在一定程度上保证振动的衰减量。

3.2晶格常数的影响

对振子型声子晶体梁而言，晶格常数主要对弯曲振动带隙的宽度产生影响，晶格常数的减小有助于增强带隙对振动衰减能力，但同时随着晶格常数的减小，在一定长度范围内基体梁上的振子数目就增多了，使得整个系统的附加质量增大。而前文设计的双侧布置振子结构在一定长度的基体梁上的振子数目加倍，过多的附加质量将对减振系统可能产生较大的影响。这里在双侧等晶格常数振子布置形式的基础上，增大其中一侧振子的晶格常数以减轻整个系统的质量，如图11所示。在Abaqus中建立不同晶格常数组合形式的声子晶体梁有限元模型，以研究双晶格常数布置结构的声子晶体梁带隙特性。结果如图12所示。

所设计的双晶格常数布置振子形式声子晶体梁，取4种不同晶格常数组合形式如表3所示，使其与等晶格常数的计算结果进行对比。

比较仿真结果得到的不同晶格常数组合的振动传递特性中，表明无论是改变振子一或振子二的晶格常数，不仅会使振子本身形成的带隙宽度被缩窄，而且还引起另一个振子形成的带隙发生一定的宽度缩窄现象。

4.结论

本文对并联式双振子声子晶体梁的带隙特性进行了计算分析，主要结论如下：

（1）相较于单振子布置形式，双侧等晶格常数振子布置形式能有效拓展声子晶体梁的低频弯曲振动带隙，对两种振子质量和连接刚度参数独立控制，能更好地适用于衰减多频带的振动激励源；

（2）试验测试结果与仿真计算的带隙特征一致，验证了双振子结构对带隙的拓展特性，也验证了有限元法进行有限周期声子晶体的振子布置形式设计时可以实现较为准确的带隙预测；

（3）对单振子进行双侧布置可以在较少的周期内实现带隙范围的拓宽，并且在一定程度上还能保证振动的衰减量；

（4）对并联式双振子声子晶体梁，通过增大单侧晶格常数可以一定程度上削弱过多的附加质量将对减振系统可能产生较大的影响，但无论是哪一侧振子的晶格常数，不仅会使振子本身形成的带隙宽度被缩窄，而且还引起另一个振子形成的带隙发生一定的宽度缩窄现象，从而影响减振效果。