“函数”复习精讲

马建民 李斌

3.1 函数的概念与图象

重点难点易混易错点剖析

复习重点：自变量的取值范围的确定.从函数图象中读取相关的信息，或者由相关的信息削断给定的函数图象是否正确.

复习难点：函数内容的两个重要数学思想是函数思想和数形结合思想，主要方法有待定系数法和配方法.

掌握本部分知识的关键在于要处理好新旧知识联系，以尽可能地减少接受新知识的困难，函数内容是以学过的数、式、方程等知识为基础展开的，因此学习这些知识时，应对前面学过的知识进行复习，扫清学习本部分知识的障碍.

易混易错点：

（1）坐标轴上的点不属于任何象限，x轴上的点纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0.

（2）自变量的取值范围的确定.如果函数的解析式是整式，那么自变量的取值范围是全体实数：如果函数的解析式是分式，那么自变量的取值范围是使分母不为0的实数；如果函数的解析式中禽有零指数幂、负整数指数幂，自变量的取值范围是使底数不为0的实数；实际问题中，函数自变量的取值范围除以上要求外还同时必须使实际问题有意义，如不能取负值或小数等.

重要考点题型方法点拨

一、行程问题的函数图象

例1 （2015.自贡）小刚以400 m/min的速度匀速骑车5 min，在原地休息了6 min，然后以500 m/min的速度骑回出发地，下列函数图象（v表示速度，t表示时间，x表示到出发地的距离）能表达这一过程的是（）.

解析：本题抓住函数的图象表达的是到出发地的距离s（km）与时间t（min）之间的关系；主要根据在时间变化的情况下，到出发地的距离远近来分析图象的变化趋势.

骑车前5分钟s（km）是随时间t（min）增大而增大，直至距离出发地400x5=2000m（即2km）处，这一段图象是由左至右呈上升趋势的一条线段，线段末端点的坐标为（5，2）；原地休息的6分钟内都是距离出发地2km（即纵坐标为2不变），这一段图象表现出来是平行于x轴的一条线段，休息6分钟之后s（km）是随时间t（min）增大而减小，直至距离出发地为0 km（回到出发地），线段末端点的坐标为（15，0），这一段图象是由左至右呈下降趋势的一条线段.故选C.

点拨：本题主要考查的是函数的概念和图象，掌握相关过程的分析方法和对横轴、纵轴含义的理解是解题的关键.休息时到I叶：发地的距离不变，这是易出错的地方.

二、动点问题的函数图像

例2 （2015.十堰）如图1，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图象大致是（）.

解析：根据蚂蚁在AB上运动时，随着时间的变化，距离不发生变化，得出这一段图象是与x轴平行的线段，即可得出结论.

一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离s不变，图象是与x轴平行的线段；走另一条半径OB时.s随t的增大而减小.故选B.

点拨：本题主要考查动点问题的函数图象.根据随着时间的变化，到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离s不变，得到图象的特点是解决本题的关键，解答这类问题，应注意：要彻底弄清楚动点从何处开始出发，运动到何处停止，整个运动过程分为几段，何点（时刻）是特殊的.

2.如图2，是张老师出门散步时离家的距离y与时间戈之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（）.

3.在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手行驶的路程y（km）随时间x（min）变化的图象（全程）如图3.根据图象判定下列结论不正确的是（）.

A.甲先到达终点

B.前30分钟，甲在乙的前面

C.第48分钟时，两人第一次相遇

D.这次比赛的全程是28 km

4.如图4，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）.

5.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图5中的折线表示y与x之间的函数关系.

根据图象进行以下探究：

（1）甲、乙两地之问的距离为____km.

（2）请解释图中点B的实际意义.

（3）求慢车和快车的速度.

（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

3.2 一次函数

重点难点易混易错点剖析

复习重点：一次函数的图象及其性质.

复习难点易混易错点：一次函数图象的应用.

掌握本部分内容必须具备的知识：一次函数的定义、图象和性质，待定系数法，解方程（组）.在复习中要注意函数思想的运用，通过构造一次函数模型，利用一次函数的增减性及自变量的取值范围解决实际问题中的最大值、最小值问题.

重要考点题型方法点拨

一、一次函数图象与几何变换

例1 （2015.南平）直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）.

A.（-4，0）

B.（-1，0）

C.（0，2）

D.（2，0）

解析：根据平移可得直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2-6=2x-4.当y=0时，x=2，因此与x轴的交点坐标是（2，0），故选D.

点拨：此题主要考查了一次函数与几何变换，关键是得出平移后的直线解析式，

二、一次函数的应用

例2 （2015.河南）某游泳馆普通票价为20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：

①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费.

②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.

暑假普通票正常出售，两种优惠卡仪限暑假使用，不限次数.设游泳x次时，所需总费用为y元.

（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式.

（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如陶1所示，请求出点A、B、C的坐标.

（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.

解析：（1）由题意可知，选银卡消费时y=10x+150，选普通票消费时y=20.

（2）利用函数图象交点坐标求法分别得…即可.由题意可得：当10x+150=20x时，解得x=15，则y=300，故B（15，300）.当y=10x+150，x=0时，y=150，故A（0，150）.由y=10x+150=600，解得x=45，而v=600.故C（45，600）.

（3）利用（2）的点的坐标以及结合函数图象得出答案，如图1所示，由A，B，C的坐标可得：当045时，金卡消费更合算.

点拨：此题主要考查了一次函数的英语，数形结合得出自变量的取值范围是解题关键.这类题目内容往往与生活实际相贴近，与社会的热点问题相联系，根据题意找到相应的关系式是关键，注意分情况讨论解决实际问题，第（3）问中，金卡、银卡、普通票三种消费方式作比较，与同学们平时做题常见到的两种方案选择问题有所不同，在临界点的划分和数值计算上容易出现算错或者漏解的情况.

中考命题预测

1.关于函数y=-x-2的图象，有如下说法：①图象过点（0，-2）；②图象与x轴的交点是（-2，0）；③由图象可知y随x的增大而增大；④图象不经过第一象限；⑤图象是与直线y=-x+2平行的直线.其中正确说法有（）.

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

2.某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程x km计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为y元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y元，若y、y与x之间的函数关系如图2所示，其中x=0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是（）.

A.当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司的租赁费用相同

B.当月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租赁公司的车比较合算

C.除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多

D.甲租赁公司平均每公里收取的费用比乙租赁公司少

3.如图3，直线l：y=x+1与直线l：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为____.

4.一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，-2），则kb=

.

5.如图4，直线y=kx-6经过点A（4，0），直线y=-3x+3与x轴交于点B，且两直线交于点C.

（1）求k的值.

（2）求△ABC的面积.

6.某校接受了大型网体操表演任务.为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元，经洽谈J办商：A公司给出的优惠条件是全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费：B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费.另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人.

（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y（元）和y（元）与参演男生人数x之间的函数关系式.

（2）该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由.

3.3 反比例函数

重点难点易混易错点剖析

复习重点：反比例函数的概念、图象和性质，

复习难点：反比例函数图象的特征和规律：通过对反比例函数图象的研究，建立反比例函数模型，加强其实际应用，提高运用代数方法解决问题的能力.

易混易错点：求反比例函数比例系数的值或反比例函数的解析式，比例系数的几何意义以及一次函数与反比例函数相结合的问题，反比例函数与四边形问题相结合.

建议在复习中注意数形结合思想、方程思想的运用，注意利用图形的直观性解题.

重点考点题型方法点拨

一、反比例函数比例系数的几何意义

例1 （2015.宁德）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k/x（x>0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC.若四边形ODBE的面积为6，则k=

解析：连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的而积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积的一半=3，在求出△OCE的面积后，即可得出k的值为3.

点拨：本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数比例系数的几何意义与解析式的求法，熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键.

二、反比例函数图象与一次函数图象的交点问题

例2 （2015.黄冈）如图2，反比例函数y=k/x的图象经过点A（-1，4），直线y=-x+b（b≠0）与双曲线y=k/x在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点.

（1）求k的值.

（2）当b=-2时，求△OCD的面积.

（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S=S？若存在，请求出b的值；若不存存，请说明理由.

点拨：本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题的典型题目.求反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，若方程组无解则两者无交点，本题也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式，最后求b的值时注意取舍.

解析：（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=-4.

（2）当b=-2时，直线解析式为y=-x-2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（-2，0），D（0，-2），然后根据三角形面积公式可得△OCD的面积为2.

（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几小时血液巾的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值.

（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属丁“酒后驾驶”，不能驾车上路.参照上述数学模型，假设某驾驶员20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由.

3.4 二次函数

重点难点易混易错，

复习重点：二次函数的图象、性质和应用，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系.

复习难点：求二次函数的解析式，求抛物线的对称轴、顶点坐标，能够构造二次函数模型解决实际中的最值问题.

易混易错点：二次函数图象与系数的关系，由抛物线y=axbx+c的开口方向和对称轴确定a、b的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定b-4ac的符号.

点拨：本题主要考查二次函数的图象及其性质，利用二次函数图象的对称性、函数增减性，对不等式和等式进行熟练的变形是解决此类问题的关键.判断②、⑤的正误时易出错，注意灵活运用抛物线的对称性，认真观察图象中的特殊点问的位置关系.

3.5 函数的综合问题

重点难点易混易错点剖析

复习重点：一次函数、反比例函数、二次函数的图象、性质和应用，

复习难点：函数的应用题，用数形结合、分类讨论等数学思想和方法解决函数与几何的综合问题.

易混易错点：本部分易错点有两个：一是代数式的表达，通常压轴题中需要用字母表示点的坐标、线段长、图形的周长、面积等，考生常因计算、审题而出错；二是不等式、方程与函数的关系.

点拨：本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，综合性强，难度适中，正确求出一次函数的解析式，结合图象进行分析是解题的关键，注意在实际应用问题中，两种函数图象的交点的实际意义往往是分析问题的切入点，同时要考虑自变量的取值范围.

二、二次函数的实际应用（最值问题）

例2 （2015.南京）某企业生产并销售某种产品，假没销售量与产量相等.图2中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成

点拨：本题考查的是二次函数的实际应用中的最值问题，掌握用待定系数法求函数解析式和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键.从实际问题中抽象出二次函数模型，分两种情况讨论是难点也是易错点，

点拨：本题是二次函数的综合题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，利用轴对称解决最短路线问题等.确定点P的位置是难点也是易错点，轴对称思想的运用是解答本题的关键.

中考命题预测

1.在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终到达C港.设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y（km）、y（km），y、y与x的函数关系如图4所示.

（1）A、C两港口间的距离为____km，a=____.

（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义.

（3）若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围.

2.某商店经营一种小商品，进价为每件2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.

（1）假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x间的函数关系式，并注明x的取值范围.

（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？