“图形的性质”复习精讲

曹松峰

4.1 命题和证明 图形认识初步尺规作图 相交线和平行线

重点难点易混易错点剖析

本节内容涉及余角、（邻）补角、对顶角、垂直、距离、平行、“三线八角”等基本概念，以及相交线垂直的性质、平行线的性质与判定等诸多基本事实及定理.如果我们对一些基本概念缺乏全面深刻的理解，不能迅速准确地识别相交线中的“三线八角”，抑或对平行线的性质与判定方法等一命题的条件、结论和适用范罔分辨不清，就会在使用时张冠李戴，使得运算推证的依据不足、理由不充分或根本错误；如果我们还没有接纳推理的思想，缺乏说理的自觉，习惯于想当然办事，那么思路不周严、思维不顺畅等现象就还会时有发生.

重要考点题型方法点拨

一、余角、补角的概念

点拨：解答此题的关键是要正确地理解和运用“等角的补角相等，等角的余角相等”等相关性质.

二、平行线的性质线八角”的概念和平行线的性质小能正确理解可能导致错误.

三、原命题与逆命题

其中原命题与逆命题均为真命题的是（）.

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

解析：先对原命题进行判断，再根据互逆命题的定义写出逆命题，然后判断逆命题的真假.①②③中的原命题、逆命题均为真命题：而在④中，若|-x|=-x，则-x≥O，解得x≤0，原命题是假命题.故选A.

点拨：主要考查原命题与逆命题的概念.需要注意：原命题与逆命题不一定同真同假，

四、角平分线概念

五、作图（线段的垂直平分线）

例5 （2015.北京）阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：作一条线段的垂直平分线.

已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线，

小芸的作法如下：

如图3，分两步进行：（1）分别以点A和点B为圆心，大于1/2AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD.直线CD就是所求作的垂直平分线.

老师说：“小芸的作法正确.”

请回答：小芸的作图依据是____.

解析：依据是：（1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；（2）两点确定一条直线，

点拨：本题考查线段垂直平分线的尺规作图.本题的作图依据是线段垂直平分线的相关结论和关于直线的基本事实.当然，以上所列作图依据并不唯一.不少同学失分的原因在于没有理解题意，只是把作图的过程重述了一遍，没有将其中的缘由描述清楚，或者根本就不清楚作图的理由，

六、平行线的性质与其他知识的综合

4.2 三角形及其全等

重点难点易混易错点剖析

三角形中的三条边、三个内角、边与角之间存在一定的数量关系，这是我们处理所有三角形问题时应牢记的隐含条件.如果题目没有给出图形，抑或未将文字叙述与图形一一对应.在画出图形或将元素关系用图形表示时，不得人为地把问题特殊化，如，不能只想到锐角三角形或直角三角形，而忽略钝角三角形的情形：不能把一般的三角形画成等腰三角形、直角三角形等，在判定三角形全等时必须注意对应关系，学会析取“基本图形”，善于发掘隐含的元素关系，灵活运用“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”等判定方法.切忌杜撰“角角角”或“边边角”等所谓的判定定理.

重要考点题型方法点拨

一、三角形高的概念

点拨：解法一的实质是用同一面积的不同表达形式推求有关数式之间的数量关系，由此时常可以避开繁杂的运算简便求解.解法二则运用了人教版《数学》七年级上册第56页第12题中的一个十分简单有用的结论.

四.全等三角形的判定

点拨：添加条件推断三角形全等的题目，大多具有开放性，求解时需将已知条件与全等的判定条件比对，增添缺失的边或角的对应关系.

点拨：本题主要考查正方形、全等三角形的性质和判定方法，在第（2）问中也考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证得关系成立.推证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在的三角形全等，这种思想应用广泛，读者朋友一定要熟练掌握.

7.问题提出：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.

4.3等腰三角形和直角三角形

重点难点易混易错点剖析

等腰三角形是轴对称图形，等边对等角，“三线合一”等是其主要特性，在题目没有明确给出腰和底角的情况下，尤其要考虑周全，实施必要的分类讨论.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等都是我们处理相关问题的重要工具，解题时一定要注意定理的适用条件，厘清一般和特殊、性质与判定的联系与区别.

点拨：本题考查了等腰三角形的概念、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，如果忽略构成三角形的条件，或者不分类讨论，就可能会错选D或B.

二、直角三角形的性质

点拨：此题主要考查了等腰三角形、直角三角形的性质和判定方法、勾股定理的应用等，解决此类问题的着眼点是根据折叠的性质来探求和利用折叠前后的全等图形.

四、等腰三角形、直角三角形与其他知识酌综合

点拨：该题直接考查学生数学基本活动经验的迁移能力，如果能在解决问题（1）（2）时用心体悟思路，就能够在面对问题（3）时，自觉地以AB为边，向外作等腰直角三角形，把求线段BE的长转化为求线段CD的长，再结合所给条件，在Rt△DBC中顺利求解.追根溯源，该题是课本上一道经典几何题目（人教版《数学》八年级上册第83页第12题）的改造和延伸.

值得注意的是，这个课本原题的许多变式频繁地出现在近几年各地的中考试卷中，如.2013年江西卷的第23题、2014年沈阳卷的第24题.2015年临沂卷的第25题等，有兴趣的同学不妨拿来做一做，这些考题共同反映了中考的一种重要命题动向：全等三角形作为初中数学的核心内容，不但被用于考查学牛的逻辑推理能力，而且在考查学生的类比、归纳等合情推理能力时也可以派上用场.

4.4多边形和特殊四边形

重点难点易混易错点剖析

本节的重点难点足平行四边形以及矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的概念、性质和判定方法，关涉这些图形的命题之间重叠交错，容易混淆，应下气力弄清它们的共性、特性及其包含关系，判定特殊的平行四边形时，应在真正理解题意的基础上，合理确定一种判定方法，既要避免出现推理没有根据，理由不充分的逻辑错误，也不能思路混乱，重复使用条件，或者循环论证，以确保运算推证的精准性、严密性、顺畅性.

点拨：本题考查多边形的内角和公式及其推沦.

二、平行四边形的判定

例2 （2015.广州）下列命题中，真命题有（）.

①对角线互相平分的四边彤足平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.

A.3个 B.2个 C.1个

D.0个

解析：由平行四边形的判定方法易知①②正确，一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可以是等腰梯形，③错误，故选B.

点拨：本题考查平行四边形的判定.熟悉各种基本图形的本质特征，避免以偏概全的错误，就可以正确迅速地作出判断.

三、菱形的性质

四、矩形的判定

例4 （2015.资阳）若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（）.

A.矩形

B.对角线相等的四边形

C.菱形

D.对角线互相垂直的四边形

点拨：本题考查三角形的中位线定理以及矩形的判定.可能会有同学误选B，造成错误的原因：受“判断平行四边形、菱形、正方形的各边中点所连成的四边形的形状”问题思维定式的影响；抑或审题不细，未能完全理解题意，

五、正方形的性质与判定

例5 （2015.甘孜、阿坝）已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，

试探究下列问题：

（1）如图3（1），若点E不是边BC的中点.F不是边CD的中点，但CE=DF，上述结论①②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）

（2）如图3（2），若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

点拨：本题主要考查正方形的性质与判定和类比推理能力，“题根”是人教版《数学》八年级下册第68页第8题.

应当指出，此课本原题的变式较多，并且备受中考命题者的青睐.如，中考试卷中2014年内江卷的第18题、衢州卷的第23题、烟台卷的第25题、2015年广州卷的第18题等，都可以看作它的拓展和延伸，

另外，正方形与其他知识的综合问题也是一类重要题型，如2015年绵阳市中考题第25题，它可以看作由人教版《数学》八年级下册第69页第14题的“题根”生发而成.翻看近几年的中考试卷，不时可以看到该课本原题图形的影子，不再一一列举.

4.5圆

重点难点易混易错点剖析

本节知识的重点难点：一是对圆的基本概念、基本性质的理解及运用，特别是垂径定理、圆周角定理及其推论的应用；二是直线与圆的位置关系，重点为切线的判定与性质.在提及圆中一条弦所对的圆周角时，要考虑到该弦所刈的圆周角有两种类型.在辨认圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧等的关系时，要注意是否要求在同圆或等圆中，在运用垂径定理的推论“平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧”时，不能忽略括号中的三个字，在求解关涉垂径定理、切线性质与判定的问题时，往往要添加适当的辅助线实现思路贯通，在求解网与三角形、平行四边形的综合性题目时，积极发掘和利用圆的特殊性质和圆中众多的不变量是顺利求解的关键所在.

重要考点题型方法点拨

一、圆周角的性质

解析：要使四边形为菱形，只需满足两条对角线互相垂直平分的条件，题设中已有OCIAB，由垂径定理知A D=BD，再添加条件OD=CD即可，故选B.

点拨：本题考查垂径定理及菱形的判定方法.如果对相关知识含糊不清，可能会错选其他选项，

四、求扇形的面积

例4 （2015.广东）如图4，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为（）.

A.6

B.7

C.8

D.9

解析：根据图形观察可知，扇形DAB的半径等于正方形ABCD的边长，扇形DAB的弧长等于正方形的边长BC与CD的和，易得所求面积为1/2×6×3=9.故选D.

点拨：本题考查扇形的面积计算和正方形性质的运用，发现扇形DAB的弧长等于正方形边长的2倍是解答本题的关键.

五、切线长定理

例5 （2015.南京）如图5，在矩形ABCD中，AB=4，

点拨：本题考查正方形的性质、切线的性质及勾股定理等知识，解题的基本思路是：先连接圆心和切点，再充分运用切线长定理确定部分线段的长度，然后在关涉未知量的直角三角形中利用勾股定理求解.