“方程与不等式”复习精讲

袁晓亮

2.1 一元一次方程（一元二次方程）和二元一次方程组

重点难点易混易错点剖析

复习重点：一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的求解和在实际问题中的应用.

复习难点：列出方程（组）解决实际问题，正确求出方程（组）的解以及根据根的判别式判断一冗二次方程根的情况.

易混易错点：

（1）解方程（组）时要注意遵守代数恒等变形和方程同解变形的基本法则，解一元二次方程时，应灵活选择方法，一般先后顺序为因式分解法、公式法、配方法.

（2）任求出一元二次方程的解时，注意检验解是否符合题意，如果不符合题意应舍去.

（3）一元二次方程有解的含义包括有两个不相等的实数根和两个相等的实数根两种情况.

（4）在解含字母系数的方程时，应注意判断足一元一次方程还是一元二次方程，应该分类讨论，解出字母的值以后还要注意是否满足原方程有解.

（5）运用根与系数关系时，应注意首先保证方程有实数根，然后再利用根与系数的关系求解.

（6）解含分母的方程时应注意，小要漏乘，去括号注意变号，移项要变号.

重要考点题型方法点拨

一、方程（组）的解和解方程（组）

例1 （2015·无锡）方程2x-1=3x+2的解为（ ）.

A.x=1

B.x=-1

C.x=3

Dx=-3

解析：移项，得3x-2x=-1-2，合并同类项，得x=-3，故选择D.

点拨：解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.此类问题容易出错的地方是：（1）去分母时漏乘，移项不变号；（2）减法计算错误，如-1-2=1；（3）化系数为1时，容易计算错误，

二、一元二次方程根的判别式

例2 关于x的一元二次方程kx+2x-1=0有

点拨：当一元二次方程ax+bx+c=0（（a≠0：的系数满足：（l）b-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）b-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）b-4ac<0时，方程没有实数根，此类问题容易出错的地方是忽略一元二次方程二次项系数不等于0.

三、运用方程（组）解决实际问题

例3 （2015·徐州）某超市为促销，决定对A，B两种商品进行打折出售.打折前，买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元；打折后，买50件A商品和40件B商品仅需364元，打折前需要多少钱？

即打折前A，B商品每件分别需要8元、2元，因此打折前50件A商品和40件B商品共需要：50×8+40×2=480（元）.

点拨：列方程（组）解决应用问题最为重要的就是找出题中的等量关系，销售中的主要相等关系：①售价=标价（原价）×打折率，或售价：进价+利润；②利润率=利润/进价×100%；③利润=售价-进价（成本价），或利润=进价（成本价）×利润率；④标价（原价）×打折率=进价+利润.

需要根据实际问题的实际意义验汪方程（组）的解是否满足题意.此问题容易出错的地方一是没有找出等量关系，二是没有看清题意，错误地将x、y的值作为本题的答案.

四、根据等量关系列方程（组）

例4 （2015·遵义）2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元，设平均每年增长的百分率为x，可列方程为____.

解析：平均每年增长的百分率为x，2013年全市生产总值约为1585亿元，所以2015年全市生产总值将达到1585（1+x）亿元，所以所得方程为1585（1+x）=2180，故答案为1585（1+x）=2180.

点拨：增长率问题中，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为6，则有表达式a（1+x）=b，类似地还有平均降低率问题，则有表达式a（1-x）=b.注意区分“增”与“减”，此问题容易出错的地方是：（1）没有认真审题，没弄清楚是“增长”还是“减少”出现列式的错误：（2）误认为2180亿元是这三年全市生产总值的和而出错.

2.2 可化为一元一次方程的分式方程

重点难点易混易错点剖析

复习重点：解分式方程的基本思想是转化思想，即通过去分母把分式方程转化成整式方程来解.会解能化为一元一次方程的分式方程，判断分式方程是否有增根，利用分式方程解决实际问题.

复习难点：理解增根产生的原因，判断是否产生增根以及解决和增根有关的问题.

易混易错点：

（1）分式方程无解的原因有两种：一是去分母后的整式方程无解，二是去分母后的整式方程有解，但是这个根使分式方程无解，是增根.

（2）分式方程有增根与方程无解的区别：

增根是由于在分式方程转化为整式方程的变化过程中，未知数允许值范围的扩大而导致产生的，它可以通过“检验”来找出；无解是由于原分式方程本身就是矛盾方程造成的，即不论未知数取任何实数，等式都不能成立；方程有增根不一定无解，但如果解出的所有根都是增根，这时原分式方程就一定无解了.容易认为分式方程无解仅仅是方程有增根导致的，这样不进行分类讨论就导致了漏解现象的发生.

（3）列分式方程解应用题需要“双检验”，既要检验去分母后的整式方程的解是否是增根，又要检验是否符合题意.

（4）解已知有增根的且含有字母系数的分式方程的问题，首先将分式方程化为整式方程，确定增根的值有几个，代入到整式方程中即可.

点拨：解分式方程的一般步骤是：①去分母，将分式方程化为整式方程；②解这个整式方程，得未知数的值；③检验，将所得整式方程的解代入去分母时方程两边所乘的整式中，使这个整式的值不为0的未知数的值即为分式方程的解，否则是方程的增根.特别注意：解分式方程一定要验根.此类问题容易出错的地方是解方程移项时忘记变号，导致结果错误，

例2（2015.济宁）解分式方程2/（x-1）+（x+2）/（1-x）=3时，去分母后变形正确的为（

）.

A.2+（x+2）=3（x-1）

B.2-x+2=3 （x-1）

C.2-（x+2）=3

D.2-（x+2）=3（x-1）

解析：原方程变形为2/（x-1）-（x+2）/（x-1）=3，两边同时乘以x-1，得2-（x+2）=3（x-1），故选择D.

点拨：解分式方程去分母时，首先要找准最简公分母，注意最简公分母要包含各分式所有分母的因式，分母是多项式的，应先分解因式，再从系数、相同字母、不同字母三个方面考虑，其中系数取最小公倍数，相同字母或因式取最高次幂，互为相反数的凶式，注意通过符号变化取其中一个作为最简公分母的因式即可：其次，依据等式的基本性质，分式方程的每一项都要乘以最简公分母，特别不要漏乘没有分母的项，还要防止漏掉括号以及避免符号变形错误.此类问题容易出错的地方是：①确定最简公分母出错；②去分母时容易漏乘没有分母的项：③在解题过程中发生符号错误.

二、分式方程的增根

例3 （2015.龙东）关于x的分式方程m/（x-4）-1/（x+2）=0无解，则m=

.

解析：方程去分母得m-（x-2）=0，解得x=2+m.故当x=2时分母为0，方程无解，即2+m=2，故m=0时方程无解，当x=-2时分母为0.方程无解，即2+m=-2，故m=-4时方程无解，

综上所述，m的值是0或-4.

点拨：分式方程无解的条件有两种：（1）将分式方程化成的整式方程无解，则分式方程也无解；（2）化成的整式方程的解都是该分式方程的增根，均被舍掉，则分式方程无解.

本题属于后一种情况，因此解这类问题要两者兼顾，不能漏解.此题容易出错的地方是只考虑x=2和x=-2中的一种情况，导致漏解，

三、根据等量关系列分式方程

例4 （2015.本溪）为迎接“六一”儿童节，某品牌儿童玩具专卖店购进了A、B两类玩具，其中A类玩具的进价比B类玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同.设A类玩具的进价为m元/个，根据题意可列分式方程为（）.

点拨：设出未知数，根据题意找到等量关系，列出方程，此类问题容易出错的地方是不能正确确定题中的等量关系.

四、运用分式方程解决实际问题

例5 （2015.泰安）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.

（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少什？

（2）商店按进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元.

解析：（1）设乙款型购进x件，则甲款型购进1.5x件，根据题意列方程，得：

则售完这批T恤衫商店共获利5960元.

点拨：此类问题容易…错的地方是在列分式方程时出错，对“甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元”理解错误.

中考命题预测

1.某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km.设提速前列车的平均速度为x km/h，则列方程是（）.

4. 2014年12月28日“青炯威荣”城际铁路正式开通.从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81 km，运行时间减少了9h.已知烟台到北京的普快列车里程约1026 km，高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍.

（1）求高铁列车的平均时速.

（2）某日土老师要去距离烟台大约630 km的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至该市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5 h，试问：在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗？

2.3 一元一次不等式与不等式组

重点难点易混易错点剖析

复习重点：根据小等式的基本性质解不等式、解一元一次不等式和一元一次不等式组，利用数轴表示不等式（组）的解集，用不等式（组）解决实际问题，

复习难点：根据不等式的基本性质对小等式进行变形，在解决实际问题中如何正确列出不等式（组）.

易混易错点：

（1）解不等式组的一般步骤：先求出各个不等式的解集，再在数轴上表示出解集的公共部分，最后写出不等式组的解集.

（2）在数轴上表示解集时，一定注意区分实心和卒心的区别以及左右方向问题.

（3）在运用不等式基本性质和解不等式时，特别注意性质2和性质3的区别，注意是变号还是不变号.

（4）在利用不等式解决实际问题时要注意抓住关键词如“大于”、“不大于”、“至少”、“最低”等列出不等式（组），在解出不等式（组）后要根据实际情况取特殊值作为解.

（5）不等式组的特殊解是指一元一次不等式组的解集中满足某个条件的部分解，应该先求出不等式组的解集，再挑选出符合条件的解.

（6）列不等式组解决实际问题要注意符合实际，例如运输方案中一般汽车运输货物的能力要大于或等于货物重量，用于购买物品的钱数应该小于或等于所持金额.

（7）根据不等式（组）的解集确定字母系数的值时，一般先求出含有字母系数的不等式（组）的解集，再根据已知不等式（组）的解集情况，求出字母的取值范围.

重要考点题型方法点拨

一、不等式的基本性质

例1 （2015.怀化）下列不等式变形正确的是（）.

A.由a>b得ac>bc

B.由a>b得-2a>-2b

C.由a>b得-a<-b

D.由a>b得a-2

解析：当c≤0时，选项A错误；根据不等式性质，在不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向改变，故选项B错误，选项C正确；在不等式两边同时加上或减去同一个数不等号的方向不变，故选项D错误，故选C.

点拨：本题容易出错的地方是对不等式性质理解不透彻，错认为B选项也正确.在利用不等式基本性质对不等式进行变形时，应注意不等号的方向是否需要改变，

点拨：在求几个不等式解集的公共部分时，可以借助数轴找公共部分，也可以借助口诀“同大取大，同小取小，大（于）小（数）小（于）大（数）夹中间，大（于）大（数）小（于）小（数）是无解”.此类问题容易出错的地方：一是解不等式组时出错，导致结果错误；二是在取整数解时由于丢解导致出错；三是求解时没有注意到有一因数为零出现错误.

三、不等式（组）的解集

点拨：不等式的解满足不等式，则不是不等式的解就不满足不等式，此时必须借助于推理进行确定.此类问题容易出错的地方是无法运用“x=1不是这个不等式的解”这个条件确定解集，

解析：分别在数轴上表示x≥-1和x<2.x≥-1实心向左，x<2空心向左，答案选A.

点拨：此类问题容易出错的地方是：不注意解集在数轴上表示的时候数值的表示是用空心点还是实心点.

四、运用不等式解决实际问题

例5 （2015.本溪）暑期临近，本溪某旅行社准备组织“亲子一家游”活动，去我省沿海城市旅游，报名的人数共有69人，其中成人的人数比儿童人数的2倍少3人.

（1）旅游团中成人和儿童各有多少人？

（2）旅行社为了吸引游客，打算给每名游客准备一件T恤衫，购买时，成人T恤衫每购买10件赠送1件儿童T恤衫（不足10件不赠送），儿童T恤衫每件15元，旅行社购买服装的费用小超过1200元，请问：每件成人T恤衫的价格最高是多少元？

解析：（1）设旅游团中儿童有x人，则成人有（2x-3）人，根据题意得x+（2x-3）=69，解得：x=24，则2x-3=2x24-3=45.

答：旅游团中成人有45人，儿童有24人.

（2）因45÷10=4.5，故可赠送4件儿童T恤衫.

没每件成人T恤衫的价格是m元，根据题意可得45m+15x（24-4）≤1200.

解得：m≤20.

答：每件成人T恤衫的价格最高是20元.

点拨：对于一元一次不等式和一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据所设的未知数，找出合适的等量关系，列方程和不等式求解，此类问题容易出错的地方是对于题中描述不等关系词语的理解.

6.某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如表1，请解答下列问题.

（1）第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300 kg，用去了1520元钱，这两种蔬菜当天全部售完后一共能赚多少元钱？

（2）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少千克？

2.4 方程与不等式的综合应用

重点难点易混易错点剖析

复习重点：等式与不等式（组）是初中代数的主干知识，在中考中常常以基础题目出现，在解答题中往往是以方程、不等式、函数相结合的实际问题，这要求能够准确求出方程或不等式的解（集），综合运用方程和不等式进行有关计算.

复习难点：在解决实际问题中，如何综合运用方程和不等式的知识和方法解决问题，选择合适的方式来表达题日中出现的数量关系.

易混易错点：方程、不等式和一次函数相互结合的实际问题是中考中经常出现的题开，首先要做好审题，找出题目中给出的等量或不等关系，抓住关键词，对数量关系进行梳理，确定解题策略，把实际问题转化为数学问题，建立合适的数学模型，解出正确答案，并且能够根据实际进行取舍，

二、不等式与函数的综合

例2 （2015.新疆）某超市欲购进A、B两种品牌的11恤共200件，已知两种T恤的进价如表1所示，设购进A种T恤x件，且所购进的两种T恤能全部卖出，获得的总利润为W元.

（1）求W与x的函数关系式.

（2）如果购进两种T恤的总费用不超过9500元，那么超市如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润.（提示：利润=售价-进价）

解析：（1）根据题意，得W=（80-50）x+（65-40）（200-x）=5x+5000.

（2）根据题意，得50x+40（200-x）≤9500.解得x≤150.

由（1）可知W随x的增大而增大，要使W最大，则x取最大值，即x=150.

200-x=50，此时的最大利润为：5x150+5000=5750（元）.

答：超市购进A品牌T恤150件，B品牌T恤50件能获得最大利润，最大利润为5750元.

点拨：解此类题的关键是厘清各种数量关系，能利用等量关系列函数关系式，能利用不等关系列不等式；会利用函数的增减性得出所求的最大利润.解答此类问题容易出错的地方是不能根据题意列出函数关系或不等式或不会用函数的增减性来讨论最值问题.

三、方程（组）与函数的综合

例3 （2015.通辽）光明文具厂工人的工作时间：每月26天，每天8小时.待遇：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资920元，按月结算.该厂生产A，B两种型号零件，工人每生产一件A种型号零件，可得报酬0.85元，每生产一件B种型号零件，可得报酬1.5元，表2记录的是工人小王的工作情况.

请回答如下问题：

（1）小王每生产一件A种型号零件、每生产一件B种型号零件，分别需要多少分钟？

（2）设小王某月生产A种型号零件x件，该月工资为y元，求y与x的函数关系式.

（3）如果生产两种型号零件的数目没有限制，那么小王该月的工资数目最多为多少？

解析：（1）设小王生产一个A种产品用时x分钟，生产一个B种产品用时y分钟.

（3）由（2）中解析式知，-0.275<0，可知y随x的减小而增大，并且生产A、B两种型号的零件数目没有限制，x≥0，所以当x=0时，y=1856.即小王该月全部生产时间用来生产B种型号零件可获最高工资1856元，

点拨：本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，解决此类题目最关键的地方是经过认真审题，依据表格信息建立一次函数模型，用一次函数的知识解决，在求函数最值时，也可以倒过来思考，即用函数y的代数式表示自变量x，代入到表示自变量x取值范围的不等式中，求出函数y的取值范围，从而求出其最值.解答此类问题容易出错的地方是任求自变量取值范围时考虑问题不全面，或者弄错函数增减性，自变量的取值范围要有实际意义，本题（2）中的计算量较大，也是导致计算出错的原因之一.

四、方程（组）的综合

例4 （2015.连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只需花费4800元.

（1）求每张门票的原定票价.

（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.

解析：（1）设每张门票的原定价格为x元，由题意得6000/x=4800/（x-80）.

解得x=400，经检验：x=400是原方程的解.

答：每张门票的原定票价为400元.

（2）设平均每次降价的百分率为y，由题意得400（1-y）=324，解得y=0.1，y=1.9（不合题意，舍去）.

答：平均每次降价10%.

点拨：有关平均增长（降低）率问题，常用的关系式是（a（1±x）”=6，其中a是增长（或降低）前的基石量，x是平均增长（或降低）率，n是增长（或降低）的次数，b是增长（或降低）后的数量.注意“增”用“+”，“降”用“-”.解答此类问题容易出错的地方是：①解分式方程忘记检验；②把降低误以为增长导致错解.

5.二次函数y=a（x-4）-4（a≠0）的图象在2

A.1

B.-1

C.2

D.-2

6.某精品店购进甲、乙两种小礼品，已知1件甲礼品的进价比1件乙礼品的进价多1元，购进2件甲礼品与1件乙礼品共需11元.

（1）求甲种礼品的进价.

（2）经市场调查发现，若甲礼品按6元/件销售，每天可卖40件；若按5元/件销售，每天可卖60件，假设每天销售的件数y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系，求y与x之间的函数关系式.

（3）在（2）的条件下，当甲礼品的售价定为多少时，才能使每天销售甲礼品的利润为60元？