“数与式”复习精讲

王有令

1.1实数

重点难点易混易错点剖析

复习重点：一是实数的有关概念如数轴、倒数、相反数、绝对值、平方根、算术平方根、立方根、无理数，以及实数的相关运算；二是平方根、算术平方根、无理数的意义及性质；三是加强与生产、生活及科学研究方面的联系，

复习难点：灵活运用实数的性质解决相关问题，准确进行实数的运算，学会探索规律的方法，

易混易错点：在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误：掌握好平方根、算术平方根的区别；对于实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关.

重要考点题型方法点拨

一、倒数、相反数、绝对值的概念

例1 -2015的倒数是（）.

A.-1/2015 B.1/2015

C.-2015

D.2015

解析：本题考查倒数的概念，根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数，据此解答.选A.

点拨：本题主要考查了倒数的概念，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫作互为倒数，倒数、棚反数、绝对值的概念必须掌握，并且要区分清楚，中考题一般以选择题或者填空题出现，题目不难，是每年中考必考题之一，解此类题的易错点是，求倒数以后改变了符号，如-2015的倒数写成了-1/2015，切记不要出现这类错误，弄清实数有关的概念，是避免此类错误发生的关键，

二、科学记数法

例2 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（）.

A.4.0570×10

B.0.40570×10

C.40.570×10

D.4.0570×10

解析：本题中40570亿，有13位整数，用科学记数法（形式为a×10）表示，10的指数为13-1=12.故40570亿=4057000000000=4.0570×10（另法：1亿=10，40570亿=40570×10=4.0570×10）.故选D.

点拨：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10，其中1≤|a|<10，n为整数.表示时关键要正确确定“的值以及n的值.在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，-n为它第一个有效数字前0（含小数点前的那个0）的个数，解此题易错点是：把单位“亿”错误认为是10，此类题是河南中考必考的内容，多年来中考评卷都发现，此类题错误点都是忘记或者不知道“1亿=10”，避免出现这类错误的关键是：一定要记牢“1亿=10”.

三、有理数与无理数的意义

解析：无理数是无限不循环的小数，即非有理数的实数，不能写作两整数之比，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并是无理数，故选C.

点拨：解决此类问题的关键是准确把握有理数、无理数及实数的概念，不能片面地从形式上判断属于哪一类数，对有关实数进行归类时，必须对已给出的某些数进行化简，对最简的结果进行归类，掌握常见无理数的三类形

四、平方根、算术平方根、立方根的概念

例4（2015.南京）4的平方根是____，4的算术平方根是____.

解析：根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x=a，则x就是a的平方根.因（±2）=4，故4的平方根是±2.根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0.因2=4.故4的算术平方根是2.

点拨：本题主要考查平方根、算术平方根的概念，解答这类题关键是弄清相关的概念，此题的易错点是错误得到4的算术平方根为±2.产生错误的原因是忘记了算术平方根必须为正数这个前提条件.

1.2代数式

重点难点易混易错点剖析

复习重点：列代数式、代数式的取值范围、整体代入方法.

复习难点：整体代入方法，整体思想的应用，

易混易错点：整体代入方法、解释代数式的实际背景或几何意义.

重要考点题型方法点拨

一、列代数式

例1

一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买a台这样的电视机需要____元.

解析：现在以8折出售，就是现价.与原价的80%，把原价看作单位“1”，根据一个数乘百分数的意义得：2500a×80%=2000a（元）.故答案为2000a元.

点拨：本题主要考查了打折问题，找准单位“1”，弄清各种量的关系是解答此题的关键.此题的易错点是：易把打折优惠的20%，当成商家出售的价格，错误认为最终购买a台这样的电视机需要2500a×0.2元，实际上2500a×0.2元是商家优惠的部分.仔细分析题意，是避免发生错误的关键.

例2 随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a元后，再次降价20%，现售价为b元，则原售价为（）.

A.（a+（5/4）b）元

B.（a+（4/5）b）元

C.（b+（5/4）a）元

D.（b+（4/5）a）元

解析：设原售价是x元，根据降价a元后再次下调了20%后是b元为相等关系列出方程，用含a，b的代数式表示x，则（x-a）（1-20%）=b，解得x=a+（5/4）b，故选A.

点拨：解题关键是要读懂题目的意思，根据题日给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程.此题的易错点是：一款服装按原售价降价a元后，“再次降价20%”易错误理解为原售价设为x元，降价a元后按照20%的价格售出，即错解为：20%（x-a）=b.

二、依据代数式求未知数的取值范围

点拨：（1）整式：未知数的取值范围是全体实数.（2）分式：未知数为满足分母不为零的取值.（3）根式：开奇次方，未知数使被开方数为任意实数；开偶次方，未知数使被开方数为非负数.依据代数式求未知数的取值范围，就是使代数式中的各项式子同时有意义，易错点是：只考虑了部分式子有意义的条件，忽略了另一部分式子有意义的条件，如错选A就是只考虑了式子

点拨：求代数式的值时，采取的步骤是：先化简，再代入求值，化简后，首先要思考的就是看看能甭运用整体思想来求值，本题就是将代数式化为含有a+b的代数式的形式，然后把a+

中考命题预测

1.为庆祝抗日战争胜利70周年，某市某楼盘让利于民，决定将原价a元/平方米的商品房降价10%销售，降价后的售价为（）.

A.（a-10%）元/平方米

B.a·10%元/平方米

C.a（1-10%）元/平方米

D.a（1+10%）元/平方米

2.某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值是（）.

A.（1-10%）（1+15%）x万元

B.（1-10%+15%）x万元

C.（x-10%）（x+15%）万元

D.（1+10%-15%）x万元

1.3 整式与分式

重点难点易混易错点剖析

复习重点：整式与分式的化简及代入求值.

复习难点：去括号与添括号时的符号与系数变化.

易混易错点：求分式值为零时易忽略分母不能为零：分式运算时要注意运算法则和符号的变化：当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，把分式化为最简分式.

重要考点题型方法点拨

一、整式的概念和加、减、乘、除及乘方运算

例1 （2015.恩施州）下列计算正确的是（）.

解析：选项A中原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，原式=8x，选项A错误；选项B中原式不能合并，选项B错误；选项C中原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得原式=-x，选项C正确；选项D中原式利川完全平方公式化简得到结果，原式=a-2ab+b，选项D错误.故选C.

点拨：此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键，易错点足：x·x易错得到x，（a-b）易错得到a-b，熟练掌握乘法公式和有关整式的运算法则，可以避免发生错解的现象.

二、因式分解

例2 （2015·黄冈）分解因式：x-2x+x=____.

解析：首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式，x-2x+x=x（x-2x+1）=x（x-1）.

点拨：对任意多项式分解因式，首先考虑提取公因式，此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键.此题的中考失分点是提取公因式后.原式变成x（x-2x+1）就不再继续分解F去了，错误的原因是没有分解完，这个结果不是本题的最终因式分解结果，因式分解的最终结果是分解到不能再分解为止，掌握这点可以避免出现类似错误，

例3 （2015·南京）分解因式（a-b）（a-4b）+ab的结果是____.

解析：首先去括号，进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式，得（a-b）（a-4b）+ab=a-5ab+4b+ab=a-4ab+4b=（a-2b）.

点拨：显然不能用提取公因式法，又不能直接用乘法公式，需要把（a-b）（a-4b），用多项式乘法法则展开，再与ab一起合并同类项.此题主要考查了多项式乘法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键.

三、分式的概念及性质

点拨：解分式值为零的问题时，学生易忽略分母不能为零这个隐含条件.要使分式的值为0，不仅需要分式的分子为0，而且需要分式的分母不能为0，这是分式有意义的条件.这两个条件缺一不可.

解析：根据分式的性质，分子分母都乘以-1，分式的值不变，可得答案1/（x-1）.故选D.

点拨：要熟练掌握分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不为零的整式，分式的值不变.还要牢记分式的符号法则：分式的分子、分母及分式本身，三者的符号改变其中两个分式的值不变，解此题的易错点足：只改变了分母的符号，原式错变成-1/（x-1）.

四、分式的运算

点拨：此题考查了分式的加减法，把异分母的分式化成同分母的分式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.本题是最简单的异分母的分式加减，此题的中考失分点是：原式化成（x-1）/（x-1），错得到x-1，错误的原因是对平方差公式掌握得不熟练.

1.4 数与式的综合计算

重点难点易混易错点剖析

复习重点：分式的化简，乘法公式的熟练运用，计算的准确性和快速检验.

复习难点：去绝对值符号及分类讨论问题，异分母分式加减问题.

易混易错点：分式的化简计算.

重要考点题型方法点拨

一、概念类综合问题

点拨：根据使式子有意义的条件，被开方数是非负数，且分母不为0，得出x的值，从而求出y的值及xy的值，此题的中考失分点是：易遗漏分式的分母不为零这个重要条件，从而得到错解x=±3.

解析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果.

点拨：此题考查了绝对值、负整数指数幂、立方根等概念，是运算类综合计算题，重点考查了实数的运算，熟练掌握实数的有关概念和运算法则是解本题的关键，解此题的易错点是：第

点拨：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则，熟练掌握乘法公式是解答此题的关键，此类题是河南省历届中考必考的题，预计此类型题也是2016年河南省中考题之一，同学们一定要高度重视，解此题的中考失分点是：在进行异分母的分式相加减时常常出错.多做一些异分母的分式相加减的题并找出错误的原因，可避免这类错误的发生.

6.【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而对于解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所渭“作差法”，就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作m它们的差M-N，若M-N>O，则M>N；若M-N=0，则M=N；若M-N

【问题解决】如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和Ⅳ的大小.

【联系拓广】小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b>a>c>0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，哪种方法用绳最长？请说明理由.