追求数学课堂真善美的境界

【摘 要】美丽数学课堂应以促进学生核心素养的发展为基点，应体现数学的文化价值。课程形态的数学文化只有走进中小学课堂，渗入以学生为主体、教师为主导、问题为引领，学生主动积极参与的实际数学教学之中，成为教育形态的数学文化，才能真正发挥其功能与效应。以“极坐标系”的教学为例，展示引导学生领会数学的美学价值的过程，使学生明白数学不仅内容美，而且形式美；不仅思想美，而且方法美、技巧美。

【关键词】美丽课堂；探究活动；数学文化；数学美

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）46-0016-03

【作者简介】刘飚，江苏省张家港市暨阳高级中学（江苏张家港，215600）教师，高级教师，苏州市学科带头人。

一、教学设计理念

数学课应以促进学生核心素养的发展为基点。教学中，笔者采用“自主、合作、探究”的教学方式，以学生为主体、教师为主导、问题为引领，力图使学生主动积极参与到“极坐标系”的建立过程中。在教学过程中注重激发学生的数学学习热情，培养数学抽象概括能力、推理能力，促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯。通过丰富的实例引进“极坐标系”，让学生感受坐标系的作用，感受曲线的美和数学的魅力。

坐标系是解析几何的基础。建立了坐标系，我们就可以把几何图形用代数式表示出来，为用代数方法解决几何问题提供了基础。本节课是苏教版《高中数学》（选修4-4）中的内容，通过本节课的学习，学生了解在不同的坐标系中相同的几何图形有不同的表示形式，它为我们研究一些复杂的曲线（螺线、玫瑰线等）提供了工具。

二、教学片段

1.问题情境。

师：在我们的生活中到处都有一些优美的几何图形与曲线。如，植物叶子形状与嫩芽藤尖，特别是嫩芽藤尖与我们学习过的一些曲线不同，我们称它为“螺线”。

一动点沿一直线作等速移动，它的轨迹是什么？

生1：动点的轨迹是直线。

师：直线上一点绕另一点O作等角速度旋转时动点的轨迹是什么？

生2：动点的轨迹是圆。

师：一动点沿一直线作等速移动的同时，该直线又绕线上一点O作等角速度旋转时，动点的轨迹是什么？

生3：动点的轨迹是曲线。

（教学意图：让学生体会到生活中到处有数学，数学就在我们的身边，数学蕴藏在生活中的每个角落。数学不仅是冷冰冰的数字、符号、法则、公式，数学还与历史文化相勾连，让我们看到数学的美。研究曲线从直线到圆，再到两个运动的叠加，由简单到复杂，从特殊到一般，逐步激发学生的学习兴趣。）

2.学生活动。

师：大家想一想，以前我们是如何研究曲线的？

生4：建立坐标系后找到轨迹方程，可以通过方程研究曲线的性质。

师：很好！下面我们看一个具体的阿基米德螺线问题，动点沿一直线以2cm/s作等速移动的同时，该直线又绕线上一点O以1rad/s作等角速度旋转，动点的轨迹方程是什么？

生5：首先，建立直角坐标系。

师：很好！下面请同学们分组建立直角坐标系求出具体的阿基米德螺线问题中动点的轨迹方程。

（教学意图：引导学生了解直角坐标系的建立过程，理解建立直角坐标系的方法，为极坐标系建立做好准备。）

师：有没有哪组同学能在直角坐标系中求出动点的轨迹方程？

（学生感到有困难）

师：在小组讨论中我们发现直角坐标系里很难求出轨迹方程。通过研究发现坐标原点在O点时，t时刻动点到原点O的距离为多少？距离记作ρ。

生6：ρ=2t。

师：直线又绕原点O旋转的角度为多少？角度记作θ。

生6：θ=t。

师：曲线上任意一点距离与角度的关系式是什么？

生6：ρ=2θ。

（教学意图：设计这样一个特殊的问题情境，让学生体会用直角坐标系很难求出轨迹方程，从而思考有没有其他的解决方案，引出曲线上任意一点还可用距离与方向表示。）

师：在生活中有这样用一点的位置来表示的实例吗？比如说，有人在校门口问你人民医院怎么走？

生7：门口向西400米。

师：向西是角度，400米是距离。

师：大家想一想，在某些军事题材的影视剧中狙击手与观察手是如何确定目标位置的？

生8：用几点钟方向加距离来表示位置。

（教学意图：通过丰富的实例让学生体会曲线上任意一点位置可用距离与方向表示，甚至有时候用距离与方向表示更简洁，让学生体会建立极坐标系的必要。）

3.概念建构。

师：类似于直角坐标系，我们用距离与方向也可以建立一个坐标系，称为极坐标系。大家思考一下，如何建立极坐标系呢？

生9：类比直角坐标系的建立，要表示距离就必须在平面内取一个定点O。

师：定点记作O，叫作极点。

师：方向怎么表示呢？

生9：方向可以用角度表示，要有角度必须有初始位置，引一条射线。

师：射线记作Ox，叫作极轴。这样极坐标系建好了吗？

生10：再选定一个长度单位和角度单位以及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。

师：那极坐标系内一点的极坐标如何规定呢？

生11：对于平面上任意一点M，用 ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，有序数对（ρ，θ）就叫作点M的极坐标。

师：ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角。

（教学意图：概念教学的核心是“概括”，要将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开。教师通过恰当的教学设计把概念中隐藏的自然性生态还原出来，引导学生分析各事例的属性，抽象概括其共同的本质属性，以及归纳得出数学概念。）

师：那极点坐标如何表示呢？大家可以想一想，在数学学习中有没有遇到过类似的问题？是如何解决的？

生12：零向量。极点坐标（0，θ），θ是任意角。

师：如果极径为负值，例如H（-2，■），则H（-2，■）的位置在哪里呢？

生12：向量前面加负号表示相反方向。这里也可以作类似处理。

师：如果OM的长度为2，那么极角θ=■的点有没有其他表示方法？

生众：（2，2kπ+■），（k∈Z）或（-2，2kπ+π+■），（k∈Z）。

师：这些极角有何关系？

生13：这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说，它们是终边相同的角。

师：在极坐标系下点与它的极坐标的对应情况是怎样的？为什么？

生14：给定（ρ，θ），就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。但是，给定平面上一点M，却有无数个极坐标与之对应。这主要是因为极角有无数个。

师：一般地，若（ρ，θ）是某点的极坐标，那么有没有其他的表示方法？

生15：一般地，若（ρ，θ）是某点的极坐标，则（ρ，θ+2kπ）或（-ρ，θ+π+2kπ）都可以作为它的极坐标。

师：如何规定才可以使平面内的点和它的极坐标一一对应呢？

生16：如果限定ρ>0，0≤θ<2π或-π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了。

（教学意图：通过设问，与以前学过的相关知识进行联想、类比来解决问题，逐步完善极坐标的概念，从而加深学生对概念的理解。）

4.课后阅读。

相关数学史：（1）贝努利于1691年在《教师学报》上最先发表了有关极坐标系的理论；（2）关于极坐标系的建立，牛顿完成于1671年，于1736年发表论著，把极坐标看成是确定平面上点的位置的方法，并与其他坐标进行互相转化；（3）介绍在极坐标系下的一些曲线图形，如螺线、心形线、玫瑰线等。

（教学意图：在数学课堂上传授的知识是具有开放性的。除了强调学习书本里的知识以外，还应重视生活知识和社会知识，要求在扩展学生书本知识的基础上提高数学的应用技能，体会数学的文化价值。）

三、教学感悟

1.体现数学的文化价值。

《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称“标准”）强调：“数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。”标准还要求，“通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识”。但是，课程形态的数学文化只有走进中小学课堂，渗入实际数学教学之中，成为教育形态的数学文化，才能真正发挥其功能与效应。

那么，如何才能更有效地体现数学的文化魅力呢？笔者认为，对于学生数学思维品质与思考能力的培养，以及由于思考而带来的智力愉悦，恰恰体现了更为本质的数学文化的魅力，因为数学最内在的文化感受应该是数学本身，即数学思维、数学思考的灵动。如果数学课堂使得学生真正感受到了思维的快乐，并且思考的方式方法与思维的能力得到提升，那么数学文化的张力也就得到了真正的实现。

2.在教学行为层面上开展探究活动。

标准指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程。”在上述教学中，笔者引导学生经历数学知识的发生与发展过程，体会知识的结构化，从而构建学生自己的数学知识体系。例如，让学生通过回忆直角坐标系的相关知识来理解极坐标系的建立过程，进而探索在极坐标系内的点的极坐标的规定方法。这既能巩固直角坐标系这一重要的几何知识，同时也能让学生体会建立极坐标系的必要性。进一步地，教师还注重培养学生的“应用数学意识”，使学生充分了解数学在实际生活中的广泛应用，从而提高学生对数学学习的兴趣，形成在生活和工作中应用数学的良好习惯。例如，教师让学生扮演狙击手和观察手，以游戏的方式引导学生发现极坐标系在平面定位中的作用。这充分体现了新课程标准对数学学习的指向与要求。

3.感受数学美的简洁性和奇异性。

数学美具有科学美的一切特性。数学不仅内容美，而且形式美；不仅思想美，而且方法美、技巧美，简洁、匀称、奇异到处可见。要领悟数学美，就要善于捕捉数学美的因素，领悟数学美的内涵。在上述教学过程中，笔者着重从数学美的简洁性和奇异性入手，发展学生的数学思维。例如，通过在直角坐标系中研究阿基米德螺线问题中动点的轨迹方程，引导学生发现极坐标系在描述某些曲线图形时的简洁和实用；同时，在观察极坐标系下点与极坐标的对应情况时，教师引导学生发现其与在直角坐标系中的情况完全不一样，帮助学生理解这种变化产生的原因，由此培养学生在数学活动中的创造性。

数学课堂的眼界，从纯粹的数与形以及狭义的概念与定理提升到追求数学的真善美，数学便不再是枯燥抽象的，而是很有用。我们更应该通过聚焦数学学科的核心素养的教学，实现“追求美丽课堂”这一理想境界。