一类带有参数的分数阶差分方程边值问题正解的存在性和不存在性

葛　琦， 侯成敏

( 延边大学理学院 数学系，吉林 延吉　133002 )



一类带有参数的分数阶差分方程边值问题正解的存在性和不存在性

葛琦， 侯成敏

( 延边大学理学院 数学系，吉林 延吉133002 )

研究一类带有参数的分数阶差分方程正解的存在性和不存在性。首先,分析该方程的格林函数的一些性质;然后,利用Banach空间锥上的不动点指数定理和Krasnosel'skii不动点定理,证明当参数属于不同范围时,该方程正解的存在性;最后,利用反证法,证明当参数属于不同范围时,该方程正解的不存在性。

Green函数； 不动点指数定理； 不动点定理； 不存在性

0　引言

近年来,随着分数阶差分方程理论研究的深入,关于分数阶差分方程解的存在性研究取得很大进展[1-17]。大多数文献在研究带有参数的分数阶差分方程边值问题时,只讨论正解的存在性[13,15-16],而关于其正解的不存在性的研究相对较少[17]。如2001年，Goodrich C S[13]研究成对的离散分数阶边值问题

正解的存在性,但未讨论正解的不存在性,其中,t∈[0,b]N0,1<νi≤2,λi>0,ai:R→(0,∞),Φi,Ψi:Rb+3→R是给定的泛函,fi:[0,+∞]×[0,+∞)⟹[0,+∞)是连续函数,i=1,2。

Kang Shugui等[16]于2014年研究阶数在(1,2]内的分数阶差分方程

正解的存在性,其中,1<ν≤2,t∈[0,b]N0，参数λ>0,f:[0,+∞)→[0,+∞)是连续函数,Φ,Ψ:Rb+3→R是给定的线性泛函,h:[ν-1,ν+b-1]Nν-1→[0,∞)。利用Krasnosel'kii不动点定理建立正参数λ属于不同区间时,方程存在一个正解和至少存在2个正解的充分条件,但对于正解的不存在性,文献没有讨论。

Han Zhenlai等[17]于2014年研究阶数在(1,2]内的分数阶差分方程

正解的存在性和不存在性,其中,1<ν≤2,t∈[0,b+1]N,λ是参数,f:[ν-1,ν+b]Nν-1×R→(0,+∞)是连续函数。也是利用Krasnosel'kii不动点定理,建立参数属于不同区间时,方程至少存在一个正解的充分条件,再利用反证法建立方程不存在正解的充分条件。

由于研究分数阶差分方程边值问题正解不存在性的文献相对较少，并且对于带有参数的分数阶差分方程,研究参数λ属于不同区间时,正解的存在性和不存在性具有一定的实际意义。笔者研究阶数在(2,3]内的分数阶差分方程

(1)

其中,2<ν≤3,0≤α,β<1,ν-β>2,参数λ>0,η∈[0,T-1]N0且满足下列条件：

(D1)f:[0,+∞)→[0,+∞)是连续函数;

(D2)g:[ν-1,T+ν-1]Nν-1→[0,+∞)，且不恒为0。

首先将分别利用不动点指数定理和Krasnosel'skii不动点定理,建立当参数属于不同区间时,分数阶差分方程式(1)至少存在一个正解或2个正解的充分条件;再利用反证法建立方程式(1) 正解不存在的充分条件。

记Nα∶={a,a+1,a+2,…},[a,b]N0∶={a,a+1,a+2,…b}(b-a∈N1)。

1　预备知识

定义1[15]对于ν>0,函数f的ν阶分数和定义,有

对于N∈N,0≤N-1<ν≤N,函数f的ν阶分数差分定义有Δνf(t)=ΔNΔν-Nf(t)(t∈Na+N-ν)。

引理1[15]设N∈N,0≤N-1<ν≤N,那么Δ-νΔνy(t)+C1tν-1+C2tν-2+…+CNtν-N(Ci∈R,1≤i≤N)。

(A1)‖Sw‖≤‖w‖,w∈P∩∂Ω1;‖Sw‖≥‖w‖,w∈P∩∂Ω2;

(A2)‖Sw‖≥‖w‖,w∈P∩∂Ω1;‖Sw‖≤‖w‖,w∈P∩∂Ω2。

关于分数阶差分理论的相关基本概念和性质见文献[7-16]。

2　Green函数及其性质

定理1设2<ν≤3,0≤α,β<1,ν-β>2,η∈[0,T-1]N0,h(t+ν-1)∶[ν-1,T+ν-1]Nν-1→[0,+∞),则与方程式(1)有相同边值条件的方程

(2)

的唯一解是

(3)

这里记

(4)

(5)

证明由引理1有

由边值条件x(ν-3)=0得出C3=0。由于

则由边值条件[Δβx(t)]|t=ν-β-2=0,得出C2=0。再由边值条件x(T+ν)=αx(η+ν),得

由此知式(3)成立。

证明当0≤max{η+1,t-ν+1}≤s≤T时,记G(t,s)=g1(t,s); 当0≤η+1≤s

当0≤s

由G(t,s)的定义知,对于(t,s)∈[ν-1,T+ν-1]Nν-1×[0,T]，有

当0≤η+1≤t-ν+1≤s≤T时,g1(t,s)>ρφ(s)显然成立。所以性质成立。

注1由定理2.2知,方程式(2)有解x(t)≥0,t∈[ν-3,T+ν]Nν-3。

3　正解的存在性

由定理1知,求方程式(1)的解,等价于求方程

的解。先定义Banach空间B,即

并且范数为‖x‖=max|x(t)|,t∈[ν-3,T+ν-1]Nν-3。

定义B上的锥P0和P,即

定义算子A:B→B,即

(6)

x是方程式(1)的解,当且仅当x是算子A的不动点。由于算子A是离散的有限集上的和算子,所以A是平凡完全连续算子。

引理6假设条件(D1)和(D2)成立,那么对于∀x∈P0有Ax∈P,特别,算子A是锥P到P上的映射。

证明对于∀x∈P0,由定理2.1和条件(D1),有(Ax)(t)≥0(t∈[ν-1,T+ν-1]Nν-1)。由定理2.2的知‖Ax‖。所以,对于∀x∈P有Ax∈P成立。

为了方便,记

(7)

定理3假设条件(D1)和(D2)成立,且f∞>0,f0<∞,N/f∞

证明对于∀λ∈(N/f∞,M/f0),由f00,当0

对于∀x∈P∩∂Ω1,当0<μ≤1,‖x‖=R时,有μAx≠x。

(8)

产生矛盾。因此，根据引理4有

(9)

注2如果f∞=∞,那么记N/f∞=0;如果f0=0,那么记M/f0=∞。定理3包含N/f∞=0,M/f0=∞的情形。

定理4假设条件(D1)和(D2)成立,且f0>0,f∞<∞,N/f0

由类似于定理3的证明可得,对于∀x∈P∩∂Ω3,当0<μ≤1,‖x‖=R3时,有μAx≠x。因此，算子满足引理4的条件,根据引理4有

(10)

另一方面,由N/f0<λ及f0的定义,存在常数R4(00使得(N+ε4)/λ

(11)

注3如果f0=∞,那么记N/f0=0;如果f∞=0,那么记M/f∞=∞。定理4包含N/f0=0、M/f∞=∞的情形。

注4由式(7)知，如果f∞N2>f0N1成立，那么当λ∈(1/(f∞N2)、1/(f0N1))时，定理3成立；如果f0N2>f∞N1成立，那么当λ∈(1/(f0N2),1/(f∞N1))时，定理4成立。

定理5假设条件(D1)和(D2)成立,且存在2个不同的正数r1、r2，使得

那么方程式(1)有一个解x∈P,且满足min{r1,r2}≤‖x‖≤max{r1,r2}。

证明设Ω5={x∈P0:‖x‖

另外，设Ω6={x∈P0:‖x‖

由引理5知方程式(1)有一个正解x∈P,且满足min{r1,r2}≤‖x‖≤max{r1,r2}。

记

(12)

根据条件(D1)和(H1),有0<λ1≤+∞和0≤λ2<+∞。

定理6假设条件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0=+∞和f∞=+∞,那么对于∀λ∈(0,λ1),方程式(1)至少有2个正解。

因此有

(13)

(14)

另外,由条件f0=+∞和f∞=+∞知,存在常数n1、n2(0

(15)

(16)

由式(13)和式(15)、式(14)和式(16)及定理5知，对于∀λ∈(0,λ1),方程式(1)至少有2个正解。

推论1假设条件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0=+∞或f∞=+∞,那么对于∀λ∈(0,λ1),方程式(1)至少有一个正解。

定理7假设条件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0=0和f∞=0,那么对于∀λ∈(λ2,+∞),方程式(1)至少有2个正解。

(17)

(18)

另外,由条件f0=0知,存在常数d3(0

(19)

(20)

由式(17)和式(19)、式(18)和式(20)及定理5知,对于∀λ∈(λ2,+∞),方程式(1)至少有2个正解。

推论2假设条件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0=0或f∞=0,那么对于∀λ∈(λ2,+∞),方程式(1)至少有一个正解。

4　正解的不存在性

首先建立方程式(1)不存在正解的充分条件。

定理8假设条件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0<+∞和f∞<+∞,那么存在λ0>0,使得对于∀λ∈(0,λ0)，方程式(1)不存在正解。

证明由于f0<+∞和f∞<+∞,那么存在正数l1,l2,r3和r4,使得r3

产生矛盾,所以方程式(1)不存在正解。

定理9假设条件(D1)、(D2)和(H1)成立,如果f0>0和f∞>0,那么存在λ0>0,使得对于∀λ∈(λ0,+∞),方程式(1)不存在正解。

证明由于f0>0和f∞>0,那么存在正数l3、l4、r5和r6,使得r5

产生矛盾,所以方程式(1)不存在正解。

5　结束语

利用Banach空间锥上的不动点指数定理和Krasnosel'skii不动点定理,研究一类带有参数的分数阶差分方程正解的存在性,利用反证法研究该方程正解的不存在性。分别建立当参数属于不同区间时,该方程存在正解和不存在正解的充分条件。

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2015-12-07；编辑：关开澄

国家自然科学基金项目(11161049)；吉林省教育厅“十二五”科技项目(吉教科合字[2015]第36号)

葛琦(1975-),女,硕士,副教授,主要从事微分方程理论及应用方面的研究。

10.3969/j.issn.2095-4107.2016.02.015

O175.6

A

2095-4107(2016)02-0112-09