保持拓扑连通的有限时间有界聚集控制

王　兵， 王思奇， 董　巍， 康朝海

( 1. 中国石油大庆炼化公司，黑龙江 大庆　163318；　2. 中海油安全技术服务有限公司，天津　300452；　3. 东北石油大学 电气信息工程学院，黑龙江 大庆　163318 )



保持拓扑连通的有限时间有界聚集控制

王兵1， 王思奇1， 董巍2， 康朝海3

( 1. 中国石油大庆炼化公司，黑龙江 大庆163318；2. 中海油安全技术服务有限公司，天津300452；3. 东北石油大学 电气信息工程学院，黑龙江 大庆163318 )

针对个体动态为一阶积分器的多智能体网络，在有界控制输入情况下，研究保持拓扑连通的有限时间聚集控制问题。基于网络误差设计有界控制协议，采用代数图论、矩阵理论及非光滑分析中的不变集原理，通过引入约束函数方法设计控制协议，使多智能体网络保持拓扑连通，并实现有限时间聚集控制。仿真实验表明，文中控制协议采用的算法可实现初始拓扑连通的无向网络的有限时间有界聚集控制。该研究结果为多智能体网络有限时间有界聚集控制提供新的思路。

多智能体网络； 聚集控制； 有限时间控制； 保持拓扑连通； 有界控制

0　引言

近年来，多智能体网络协调控制[1-3]作为控制领域的前沿热点问题受到人们关注，其应用包括无人机、分布式传感器网络、空中和地面交通系统、空间卫星编队，以及通信网络的协调控制等。聚集控制作为多智能体协调控制中的典型情况，在军事及民用等方面具有大量潜在应用，如人们希望具有有限移动和通信能力的机器人，仅通过局部交互后可以到达共同目的地，进行搜寻、营救、地质勘探[4]和环境勘测等。

Ando H等首次提出机器人聚集问题[5]，从而激发人们对多智能体网络聚集控制问题的研究兴趣。针对连续时间线性多智能体网络，Hu J P等研究多领导者的静态集合聚集问题[6]，其中假设所有领导者静止且与跟随者之间无向连通，设计控制方案使所有跟随者聚集在多个领导者组成的凸包区域内。针对个体具有非线性动态的多智能体网络，在个体移动过程存在拓扑变化情况下，Shi G等设计控制协议使系统实现渐近聚集[7]。Cortés J等将Ando H等提出的实现聚集控制的外接圆算法拓展至更为一般情况，使智能体的运动可以不在同一平面内时，即使通信中断的情况下也能实现聚集[8]。对于非完整的多机器人网络，Dimarogonas D V提出不连续反馈控制协议而实现聚集任务[9]。这些成果实现渐近协调控制。Hui Q研究一阶积分器网络在无向拓扑连通情况下的有限时间聚集控制[10]，体现快速、准确和强鲁棒性等优点[11]，是有限时间聚集控制研究方面的代表性成果之一。于镝等采用势能函数法和变结构控制思想，设计分布式非光滑有界控制协议，解决二阶积分器的多智能体网络的有限时间聚集控制问题[12]。

由于智能体之间存在有限的传感和通信范围，因此在执行协调任务过程中可能出现个体间通信失败的情况。若多智能体网络个体在运动过程中能够保持拓扑连通，将有助于提升整个系统的执行效率与安全性，如一组机器人在完成救灾搜救任务时，如果不存在个体失踪或掉队的情况，则这组机器人可以更加顺利高效地完成任务。因此，在保持拓扑连通前提下，研究聚集控制具有重要的理论意义和实际应用价值。目前，多数保持拓扑连通聚集控制算法设计基于势能函数的控制协议[13-14]，但当多智能体间距离接近传感范围时，控制输入趋于无限大，在实际应用中很难实现，促使人们开始研究保持拓扑连通的有界控制策略。Gustavi T、Zhao D和Dimarogonas D V等通过引入不同的导航函数，提出分散控制律以保证输入有界[15-17]。

笔者借鉴约束函数方法[18]，设计保持多智能体网络拓扑连通的有界控制协议，分别从有限时间聚集控制和保持拓扑连通的有界控制两方面证明该控制方案的有效性。

1　理论基础和问题描述

1.1图论基础

多智能体网络中智能体间的信息交换可用有向或无向图G加以描述。令λn={1,2,…n}代表指标集，图G=(V,E)由节点集V(G)={vi,i∈λn}和边集E(G)⊆{(vi,vj)∶i,j∈λn}构成。若(vi,vj)是图G的一个边，那么vi称为父节点，vj称为子节点。在无向图中边均为无向，即节点vi和节点vj能够互相获取信息。有向图由一系列有序的边(vi1,vi2),(vi2,vi3),…构成，其中vtj∈V(G)。若边(vi,vj)∈E，表示节点vj能够获取节点vi的信息，则邻接矩阵元素aij>0，vj∈Ni；否则，aij=0，∀i,j∈λn,其中Ni={vj∈V,(vi,vj)∈E}为节点vi邻居集。多智能体网络中智能体之间的拓扑关系用Laplacian矩阵L=[lij]∈Rn×n表示，其中

1.2非光滑分析基础

(1)

定义3[20]若给定一个局部Lipschitz函数F:Rd→R和一个集值映射f:Rd→B(Rd)，则在x处F相对于f的集值李导数为

(2)

1.3问题描述

考虑由n个智能体构成的无向网络，其中第i个智能体的动态表示为

(3)

式中：xi和ui分别代表第i个智能体的位置状态和控制输入，xi∈Rn，ui∈Rn。

每个智能体的传感范围设定为r。假设初始时刻多智能体网络拓扑G(t0)连通，设计分布式控制协议ui(t)，使当所有的t>t0时，通信拓扑G(t)保持连通，且所有智能体可以实现有限时间聚集。此外，控制输入需要满足‖ui(t)‖≤B,B为正实数。

2　具有有界输入的保持拓扑连通有限时间聚集控制

设计保持拓扑连通有限时间有界聚集控制协议，满足对任意j∈Ni(t)，都有lim‖xi(t)-xj(t)‖→0成立。控制协议为

(4)

式中：ξi为控制增益，ξi>0；Ni(t)为第i个智能体的时变邻居集。

(5)

整个多智能体网络系统保持拓扑连通的控制协议为

(6)

由于Ψr(·)有界，因此设计的控制协议也有界。

2.1有限时间聚集控制

定理1考虑由动态式(3)描述的n个智能体组成的无向网络，在控制协议式(4)的作用下可实现有限时间聚集控制。

证明首先由控制协议式(4)和微分包含概念定义网络误差动态，进而将有限时间聚集问题转化为网络误差有限时间收敛问题；然后根据Lyapunov函数的集值李导数的二阶信息，得出网络可实现有限时间聚集控制。

(7)

则式(7)的Filippov解为微分包含

(8)

的绝对连续解，从而将由动态式(3)描述的n个智能体组成的无向网络的有限时间聚集问题转化为网络误差有限时间收敛问题。

①当xi≠xj，i,j=1,2,…n,i≠j,有

②对于某些i,j∈{1,2,…n},i≠j，有xi=xj，LfU(x)=Ø。

③当x1=x2=…=xn，有LfU(x)={0}。

对于所有的x∈Q，有maxLfU(x)≤-ε或LfU(x)=Ø成立，由引理1可得该多智能体网络是有限时间聚集的。

2.2保持拓扑连通的有界控制

定理2考虑动态式(3)描述的n个智能体组成的无向网络。令Ψr(·)满足约束函数的两个属性。在控制协议式(4)的作用下，若初始拓扑G(0)连通，则G(t)保持连通。若控制增益ξi≤B/APni，则智能体的控制输入范数有界，界限B为正实数。

证明对于任意存在的拓扑连接，以(i,j)为例，考虑第i个智能体与第j个智能体之间的距离dij=‖xi(t)-xi(t)‖。令第i个智能体与第j个智能体分别有ni个与nj个邻居，

得到

(9)

则

(10)

(11)

注Ψr(0)>0是多智能体系统实现聚集的必要条件。假设Ψr(0)=0，则在智能体运动过程中，当两个智能体运动到相同位置时，在控制协议式(4)作用下，控制输入变为0，多智能体停留在当前位置。因此，若多个类似智能体停留在不同位置时，多智能体网络不能实现聚集控制。

3　仿真实验

图1　初始多智能体网络拓扑结构Fig.1 Initial multi-agent network topology

通过仿真实例验证文中控制协议采用的方法的正确性，初始多智能体网络拓扑结构见图1，其中多智能体网络为无向连通。6个智能体(f1-f6)的初始位置可以随机从三维集合{[5,10],[5,10],[5,10]}中选取，智能体的有限通信传感范围r=4；控制输入范数界B=5。将P≤1作为设计的约束函数的最大值，约束函数[18]选为

在控制协议式(4)的作用下，多智能体网络的仿真结果见图2。在多智能体运动轨迹(见图2(a))中，蓝色圆圈代表智能体在初始时刻的位置，红色星形代表智能体聚集目标位置。所有智能体最终聚集到目标点，并且由在x、y、z轴方向上跟随误差曲线(见图2(b-d))可见，所有智能体大约在4 s内实现聚集。在控制增益满足ξi≤B/APni的前提下，控制协议式(4)可以使多智能体网络实现有界输入下保持拓扑连通的有限时间聚集控制，与定理1-2的结论相符。

图2　多智能体运动轨迹及在x,y,z轴方向的误差Fig.2 Moving trajectories of agents and error curves along x,y,z axis direction

4　结束语

针对个体动态为一阶积分器的多智能体网络，研究有界输入下的保持拓扑连通有限时间聚集控制。文中引入约束函数，设计有界的控制协议，并借助微分包含概念定义网络误差动态，将有限时间聚集问题转化成网络误差有限时间收敛问题。然后根据 Lyapunov 函数的集值李导数的二阶信息得出网络可实现有限时间聚集控制的结论，同时证明若初始多智能体网络拓扑连通，则它可以实现保持拓扑连通的有界聚集控制。最后通过仿真实验验证理论结果的有效性和正确性。

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2015-12-14；编辑：张兆虹

黑龙江省青年科学基金项目(QC2013C066)

王兵(1970-)，男，硕士，工程师，主要从事工业自动化控制、仪器仪表和多智能体协调控制方面的研究。

10.3969/j.issn.2095-4107.2016.02.013

TP391

A

2095-4107(2016)02-0099-06