典型微扰力学系统的近似Lie对称性、近似Noether对称性和近似Mei对称性

楼智美　王元斌　谢志堃

1. 绍兴文理学院物理系, 绍兴 312000; 2. 绍兴文理学院数学系, 绍兴 312000;† E-mail: louzhimei@usx.edu.cn



典型微扰力学系统的近似Lie对称性、近似Noether对称性和近似Mei对称性

楼智美1，†王元斌2谢志堃1

1. 绍兴文理学院物理系, 绍兴 312000; 2. 绍兴文理学院数学系, 绍兴 312000;† E-mail: louzhimei@usx.edu.cn

利用3种近似对称性方法(近似Lie对称性法、近似Noether对称性法和近似Mei对称性法)研究典型微扰力学系统的一阶近似对称性和近似守恒量。结果表明, 利用近似Lie对称性法找到的6个一阶近似对称性和近似守恒量与利用近似Noether对称性法找到的相同, 而利用近似Mei对称性法只能找到其中5个一阶近似对称性和近似守恒量。

微扰力学系统; 近似Lie对称性; 近似Noether对称性; 近似Mei对称性; 近似守恒量

北京大学学报（自然科学版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 52, No. 4 (July 2016)

分析力学中研究力学系统的对称性与守恒量有3种对称性方法[1–2]: Lie对称性法、Noether 对称性法和Mei对称性法。引进群无限小变换, 微分方程在此变换下保持不变为 Lie 对称性, 哈密顿作用量在此变换下保持不变为 Noether 对称性, 力学系统的动力学函数在此变换下仍然满足运动方程为Mei对称性。事实上, 许多实际力学系统的某些参数常常会随着位移、速度和时间的变化发生微小的变化, 即力学系统受到微扰作用, 这样的力学系统称为微扰力学系统。此类系统的近似对称性和近似守恒量研究对于研究力学系统的特性至关重要。目前, 研究微扰力学系统近似对称性与近似守恒量有两种近似对称性法: 近似 Lie 对称性法[3]和近似Noether 对称性法[4]。引进近似的群无限小变换, 微分方程在此变换下近似保持不变为近似 Lie 对称性; 哈密顿作用量在此变换下近似保持不变则为近似 Noether 对称性, 所得的守恒量为近似守恒量。

近年来, 关于常微分方程、偏微分方程近似对称性和近似守恒量的研究已取得很多成果[3–16], 文献[3–14]采用的方法都是近似 Lie 对称性法或近似Noether对称性法, 其中文献[3–11]侧重近似对称性理论的研究, 文献[12–14]侧重近似对称性理论的实际应用, 文献[15]提出用直接积分法求近似守恒量的方法, 文献[16]将直接积分法应用于求二阶近似守恒量。但是, 到目前为止, 还没有建立用近似Mei对称性研究近似守恒量的理论, 关于3个近似对称性理论相互关系方面也没有深入的研究。事实上, 近似Lie对称性法和近似Noether对称性法是在Lie对称性法和Noether对称性法的基础上发展起来的, 那么在Mei对称性法的基础上也可以建立相应的近似Mei对称性法, 即引进近似的群无限小变换, 力学系统的动力学函数在此变换下近似满足运动方程为近似Mei对称性。

本文分析近似Lie对称性、近似Noether对称性和Mei对称性理论, 讨论3种对称性间的关系,并以频率比为2:1的弱非线性耦合谐振子为例, 研究系统的一阶近似对称性和近似守恒量。

1　近似Lie对称性、近似Noether对称性和近似Mei对称性理论

1.1近似Lie对称性理论［3］

具有n个自由度的微扰Lagrange力学系统, 其 Lagrange 函数可以表示为, 其中为广义坐标,为广义速度, 01ε＜≪为微扰系数。微扰 Lagrange 力学系统的运动微分方程可以表示为

方程(1)可简写为

则可求出所有的广义加速度:

引进近似的群无限小变换

其中s=1, 2, …, n, δ为无限小参数, τ 和ξs为无限小变换生成元。式(5)的无限小生成元向量为

式(6)的一次扩展为

二次扩展为

式(5)~(8)中,

其中s=1, 2, …, n, k为微扰项的阶数。

运动微分方程(1)的k阶近似Lie对称性是指式(4)在近似的群无限小变换(式(5))下近似保持不变[3], 即

若存在规范函数

满足

则系统存在k阶近似守恒量

且

满足

1.2近似Noether对称性理论

近似Noether 对称性[4]指在近似的群无限小变换(式(5))下, 哈密顿作用量在此变换下近似保持不变, 即则称无限小变换(式(5))为近似Noether对称变换。

若无限小生成元(式(9))和规范函数(式(11))满足确定方程(12), 则存在相应的近似守恒量(式(14))。

将式(9)和(11)代入式(12), 并比较式(12)两边的系数, 可求得无限小生成元τ 和ξs以及规范函数G。将 Lagrange 函数L及求得的无限小生成元τ 和ξs以及规范函数G代入式(14), 可求得系统的近似守恒量I。

1.3近似Mei对称性理论

假设经无限小变换(5)后, 系统的 Lagrange 函数变成*L:如果用变换后的 Lagrange 函数*L代替变换前的L时, 方程(2)的形式近似保持不变, 即

那么称这种不变性为系统的k阶近似Mei对称性。

将式(17)代入式(18), 忽略2δ及更高阶小量,并利用式(2), 得到

对于微扰Lagrange力学系统(式(2)), 如果无限小生成元,sτξ满足方程(19), 则相应的近似不变性为系统的k阶近似Mei对称性。方程(19)称为近似Mei对称性的判据方程。

若无限小生成元(式(9))和规范函数(11)满足确定方程(12), 则存在相应的近似守恒量(式(14))。

将 Lagrange 函数L代入式(19)并展开, 令ε0, ε1,…, εk的系数为0, 可求得无限小生成元 τ 和ξs。将所得生成元代入式(12), 并比较等式两边ε0, ε1,…, εk的系数可求得规范函数G。将Lagrange函数L及求得的无限小生成元τ 和ξs以及规范函数G代入式(14), 可求得系统的近似守恒量I。

1.43种对称性的关系

若无限小生成元(式(9))满足式(10), 说明系统具有近似 Lie 对称性。若无限小生成元(式(9))满足式(10)且满足式(12), 并能找到相应的规范函数, 则说明系统既具有近似 Lie 对称性, 又具有近似Noether 对称性, 找到的近似守恒量既是近似 Lie对称性守恒量, 又是近似Noether对称性守恒量。

若无限小生成元(式(9))满足式(19), 则说明系统具有近似Mei对称性。若无限小生成元(式(9))同时满足式(10)和(19), 则说明系统同时具有近似Lie对称性和近似Mei对称性。

若无限小生成元(式(9))同时满足式(10), (12)和(19), 并能找到相应的规范函数, 则说明系统同时具有近似 Lie 对称性、近似 Mei 对称性和近似Noether 对称性, 找到的近似守恒量既是近似Lie对称性守恒量, 又是近似 Mei 对称性守恒量, 也是近似Noether对称性守恒量。

2　典型微扰力学系统的一阶近似对称性和一阶近似守恒量

频率比为 2:1 的弱非线性耦合谐振子的Lagrange函数[13]为

运动微分方程为

2.1一阶近似Lie对称性与近似守恒量

研究系统的一阶近似 Lie 对称性与近似守恒量。将式(21)代入式(10)并展开, 令的系数为0, 可求得如下6组生成元[13]:

说明频率比为 2:1 的弱非线性耦合谐振子系统具有6个一阶近似Lie对称性。将式(20)和(22)代入式(12), 并比较等式两边的系数, 可求得与上述6组生成元相应的规范函数[13]:

将式(20), (22)和(23)代入式(14), 得到 6 个一阶近似守恒量[13]:

其中,

2.2一阶近似Noether对称性与近似守恒量

研究系统的一阶近似 Noether 对称性与一阶近似守恒量。式(22)表示的 6 组生成元和式(23)表示的 6 个规范函数均符合Noether恒等式(12), 因此,系统同时具有式(22)表示的 6 个一阶近似 Noether对称性和式(24)表示的 6 个一阶近似 Noether 守恒量。

2.3一阶近似Mei对称性与近似守恒量

研究系统的一阶近似Mei 对称性与一阶近似守恒量。将式(20)代入式(19), 只能求得如下5组生成元:

这5组生成元与式(22)中的前5组相同。将式(20)和(26)代入式(12), 并比较等式两边的系数,可求得与上述5组生成元相应的规范函数:

这5个规范函数与式(23)中前 5 个规范函数相同。

将式(20), (26)和(27)代入式(14), 得到5个一阶近似守恒量:

这5个守恒量与(24)式中的前5个守恒量相同。由近似 Mei 对称性只能求得微扰力学系统的哈密顿函数和4个平凡的一阶近似守恒量, 不能求得稳定的一阶近似守恒量。

3　结论

本文阐述了 3 种近似对称性理论及其相互关系, 并用 3 种近似对称性理论研究了频率比为2:1的弱非线性耦合谐振子的近似对称性与近似守恒量, 结果表明, 利用近似 Lie 对称性法和近似Noether对称性法能找到 6 个相同的一阶近似对称性和近似守恒量。6 个近似守恒量中, 1个是系统的哈密顿函数; 4 个是平凡的一阶近似守恒量, 1个是稳定的一阶近似守恒量。用近似Mei对称性法只能找到5个一阶近似对称性和近似守恒量, 且5个近似守恒量与用近似Lie对称性法和近似Noether对称性法找到的其中5个相同。用近似Mei对称性法只找到哈密顿函数和4个平凡的一阶近似守恒量, 不能找到稳定的一阶近似守恒量。结果说明,系统要具有近似Mei对称性的条件更严。

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Approximate Lie Symmetries， Approximate Noether Symmetries and Approximate Mei Symmetries of Typical Perturbed Mechanical System

LOU Zhimei1，†， WANG Yuanbin2， XIE Zhikun1
1. Department of Physics, Shaoxing University, Shaoxing 312000; 2. Department of mathematics, Shaoxing University, Shaoxing 312000; † E-mail: louzhimei@usx.edu.cn

Three methods, which are approximate Lie symmetry method, approximate Noether symmetry method and approximate Mei symmetry method, are adopted to study the first order approximate symmetries and approximate conserved quantities of a typical perturbed mechanical system. Six identical first order approximate symmetries and approximate conserved quantities of the typical perturbed mechanical system are obtained by approximate Lie symmetry method and approximate Noether symmetry method, but only five of them can be obtained by approximate Mei symmetry method.

perturbed mechanical system; approximate Lie symmetry; approximate Noether symmetry; approximate Mei symmetry; approximate conserved quantity

O320

10.13209/j.0479-8023.2016.080

国家自然科学基金(11472177)资助

2015-10-09;

2016-02-13; 网络出版日期: 2016-07-14