分析基于APOS理论的小学数学概念课设计——以“生活中的比”为例

□ 深圳市坪山新区坑梓中心小学 王锐利



分析基于APOS理论的小学数学概念课设计
——以“生活中的比”为例

□ 深圳市坪山新区坑梓中心小学 王锐利

数学概念是学好数学知识的必要条件之一。数学概念课教学设计最大的困难就是，如何让学生充分联系数学概念与生活实际应用。杜宾斯基的APOS学习理论为我们的概念课教学设计提供了有效的理论支持：学生对知识的理解经历操作阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）、图式阶段（Scheme）。

根据杜宾斯基的APOS学习理论，在数学概念学习中，首先处理的数学问题要有社会或现实生活背景，并要求学生开展各种各样的数学活动。一个人是不可能在对数学概念没有生活感知的基础上直接学习到数学概念的。更确切地说,学生应该透过心智结构（mental structure）对所学的数学概念产生印象。如果学生对于一个数学概念在课堂上无法建立起与之对应的心智结构，那么他是无法真正习得该数学概念的。下面我以“生活中的比”这节课的设计为例，具体阐述如何以“杜宾斯基概念教学理论”设计一节数学概念课。

一、情境导入，联系生活

皮亚杰认为，数学抽象活动的基本性质是一种“自反抽象”。它与通常所谓的“经验抽象”有着重要的区别。所谓的“经验抽象”即是以真实的事物或现象作为直接的原型，也就是由一类物质对象中抽象出共同的特性。

出示一张被遮挡的图片，如图所示：

教师提问：“大家猜一猜，这张照片会是谁呢？”在经过提示后，学生可能会想到“是老师自己”，在猜测的过程中活跃课堂的氛围，提高学生的学习兴趣。老师将这张照片进行编辑，想不想看看？请大家仔细观察，编辑后的哪几张照片与原来的照片A比较像？出示A、B、C、D、E五张照片，如图所示：

生：B和D。

师：大家都是这样认为B、D与A比较像，那为什么呢？我们能否从数学的角度来研究这个问题？大家想不想试一试？

二、动手操作——操作阶段（Action）

操作行为是数学认知的基础性行为。没有操作、体验，学生对知识的感知就没有附着点，对概念的理解如同无源之水、无本之木。实际操作和头脑中的心理操作——思想实验，将是学生对概念构建心智结构（mental structure）的基石。没有物理操作和心理的操作，学生对数学概念这一现象不可能发生。

约定：照片纵向的边称为照片的长，照片横向的边称为照片的宽。

课前准备：每个小组会有一套学具：ABCDE五张照片和两张透明的方格纸、一把直尺。

如图所示：

组成四人一个小组，通过已准备好的学具找一找照片的长和宽，并且试着发现照片相像的奥秘。

三、过程研究——过程阶段（Process）

此阶段是学生通过对课堂特定的“教学活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程。在此过程中，学生逐步在思维上、心理上形成对知识的心智结构（mental structure），当学生在头脑中对正在进行的活动描述和反思时，抽象出概念所特有的性质。正是通过此阶段的设计，学生虽然并未完全认识“比的概念”，但是已经能够根据此情境在不知不觉之中理解了“研究比的概念的原因”。在潜意识里，学生无形之中已经接受了比的概念。

生：A长为6、宽为4；B长为3、宽为2；C长为3、宽为8；D长为12宽为8；E长为12、宽为2。

生①：A图片的长是B图片长的2倍，A图片的宽也是B图片宽的2倍。

生③：照片的长和宽同时扩大或缩小相同的倍数，照片仍然会相像。

师：同学们的讨论、研究的成果，非常有道理，能够从不同的角度来分析问题、解决问题。

四、对象研究——对象阶段（Object）

在此阶段，是通过前面的抽象，认识到了比的概念本质。此时此刻，就是需要老师正式对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动。因而，比的概念就非常自然地出现在学生的面前。

师：其实，长除以宽，把两个数相除，在数学里面也可以叫作这两个数的比。像这样的两个数相除，也叫作两个数的比。

（板书：两数相除，也叫作两个数的比）

师：就以A照片为例：长除以宽，也叫做长与宽的比。

师：这里的6：4就是A照片长与宽的比！两个圆点就叫作比的比号；比号前面的一项就叫做比的前项，比号后面的一项叫比的后项；比的前项除以后项就叫作比值。

在这一对象阶段（Object），学生以之前的操作阶段、过程阶段为基础，非常自然地理解了比的概念。

五、形成图式——图式阶段（Scheme）

为了进一步巩固学生对比的概念稳固的心智结构，就需要在图式阶段经过长期的学习活动来完善、强化。起初的概型包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过图式阶段（Scheme）的学习，学生能够逐步完善地建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式。在学生初步的认识了比的概念、理清了比的概念与已经学习的“分数”、“除法”之间的关系之后，学生需要反复演练概念抽象的过程，在头脑中形成“比的概念”的心电图。

师：现在我们接触了比，咱们学习知识就是为了应用。那比到底怎么用呢？要不现在来试一试，好不好？

1.根据生活中的数学现象写比。

（1）照片BD的长与宽的比分别是多少呢？

（2）我们班男生人数与女生人数的比是多少？

（3）路程与速度的比：一辆汽车行驶120km大约需要2小时。路程与时间的比是多少？

2.根据具体的生活情境写出比的意义。

（1）ABD三张照片的长和宽的比分别为6：4、3：2，12：8，它们表达什么意义呢？为什么三张照片长和宽的比可以解释ABD三张照片相像？

（2）甘蔗汁和水的配比为1：2。

（3）树高和影长的比为6：3。

举出第一个实例，不仅可以与“对象阶段”中的形成比的概念呼应，而且还能够在熟悉的背景下，根据具体的生活情境进一步理解比的概念、分析比的意义。

六、值得尝试、探讨的问题

小学数学概念课的教学是小学课堂教学设计的难点之一。其中重要的困惑就在于学生难以形成对概念的“固着点”，就更加谈不上形成了对概念的“心电图”、“心智结构”。杜宾斯基的APOS数学学习理论为小学数学概念教学提供了可行的尝试；只是在概念课的教学设计过程中，教师需要在充分的考察学生的学习基本功、认知水平的基础之上，选择适合学生心智结构的“操作活动”、“现实生活背景”，这对教师的教学能力也是一大挑战。