影响高中数学概念学习外部因素及对策研究

赖彩玲

[摘 要] 概念是高中数学知识大厦的基石，影响高中数学概念学习的外部因素包括概念的类型、直观背景、原型等等，有效解决的对策在于概念教学的问题化，引导学生在问题的解决过程中越发接近概念的本质.

[关键词] 高中数学概念；问题；问题解决

概念是高中数学知识大厦的基石，影响高中数学概念学习的因素分为外部因素和内部因素，本文研究影响高中数学概念学习的外部因素，并从问题解决法的视角探索提高概念学习的实际效果.

影响高中数学概念学习的外部因素

1. 概念的类型

从概念的来源来看，我们教材中的数学概念分为两类：第一类是客观世界中的直接抽象，源于客观世界的数量关系和空间形式，如几何图形、自然数等，这类概念由于有直观的原型，学生更容易理解；第二类是从已有数学理论出发，以此为基础从逻辑关系建构的，如映射、函数等，这类概念要求学生有更高的抽象思维的能力. 两类概念相比，学生在学习第二类概念时难度高于第一类.

2. 概念的直观背景

什么是数学概念的直观背景呢？

学生的学习并非孤立的，数学学习亦是如此，数学概念的直观背景指的是包括图形、符号、实物模型等在内的与概念相关的直观形象，“直观背景”有助于学生理解抽象的数学概念，能有效减轻学生从数学现象和感知转向抽象概念过程中存在的理解上的负担，促进学生对数学概念本质的提取，促进概念意象的形成和理解. 不过，任何的直观性背景材料都存在局限性，学生在学习的过程中容易出现部分代替整体，或受到非本质背景的学习干扰，对学生的概念学习产生影响. 在概念学习的初期，最好选择低干扰的例子避免学生被非本质背景的影响，在概念学习的后期尤其是复习阶段，学生对于概念有了较深的理解后，可以选择具有高干扰背景的例子引导学生在辨析的过程中进行概念的巩固和内化.

3. 概念的原型

所谓的原型，指的是在表征数学概念的本质属性时最具典型性的标准实例.高中数学教学概念的原型分为如下几个：

（1）实例原型：例如我们在和学生一起学习等比数列时举的《国王与棋盘》的故事；

（2）图像原型：例如我们在和学生一起学习“圆”的概念时，圆的图像就很典型；

（3）表达式原型：例如我们在和学生一起学习“双曲线”时，-=1（a>0，b>0）这个原型就比y=更容易想到；

（4）操作式原型：例如线面角的概念.

高中数学概念学习的有效对策：概念教学问题化

新课程强调学生学习的主体性，但是所有的概念都由学生自己去探究和发现，显然又会与有限的课时相冲突，怎么办？笔者认为通过概念教学问题化，可以有效改善高中数学概念学习外因的影响，促进数学概念学习质量的有效提升. 下面就如何进行问题的设置结合具体的实例进行分析.

1. 研读教材，改造并设置问题

教材是我们进行数学学习的重要资源，认真研究教材，深度挖掘并设置问题有助于概念学习的外因趋向积极的方面.

例如，笔者在和学生一起学习“倾斜角与斜率”这节内容时，结合教材中的文本描述设置了如下问题串.

问题1：回忆一下初中的学习，你有什么办法确定一条直线？（两点确定一条直线）

问题2：为什么一点就不能够确定一条直线呢？

问题3：想一想在变化的过程中，怎样可以确定一条直线呢？

设计意图：通过上述几个问题的思考，将学生的思维转向“倾斜程度”，有了这一基础，提出“倾斜角”的概念就显得很自然，而且学生的理解也会较为深入.

2. 联系生活，增强学习的直观性

从当前的数学学习来看，由于高考数学学科是拉分的利器，平时的数学训练也大多是和数学题目打交道，加上数学概念具有高度抽象性的特点，很多学生感觉数学学习就是为了高考拿分，与生活实际联系不大，事实是不是这样呢？实践经验表明，数学与生活密不可分，生活是抽象数学概念的重要本源，也是数学概念形成的最为直观的背景所在. 为此，笔者认为我们的概念教学在问题的设计上可以从生活情境出发，提高概念学习的直观性，有效激发学生的学习兴趣，切身感受数学学习的价值.

例如，笔者在和学生一起学习“函数”这一概念时，选择生活化的情境引入，引导学生解决实际的问题.

生活化情境：位于意大利的水城威尼斯有一个“马尔克”广场，这个广场的一端为一教堂，而在教堂的正前方则是广场，从广场的另一端走到教堂正前方，大约有175米的直线距离. 在过去有相当长的时间，有很多人在这里做过同一个游戏，就是把眼睛蒙起来，然后看是否可以从广场一端成功地沿直线走到教堂的正前面，但是所有的人尝试后都没有取得成功，要么向左、要么向右，走的都是弧线，这是为什么呢？到1896年，有一位挪威的学者解开了这个谜底，他在收集了大量事例后进行分析，最终得出结果：出现这一现象的原因是因为人的两条腿的长短问题，由于长年累月的习惯，每个人伸出的步子一条腿要比另一条腿长一段很微小的距离，而正是这一微小的步差x，导致人们走出了一个半径为y的大圆圈. 设某人两脚踏线间隔为0.1米，平均步长0.7米，当人们在走路的过程中打圈子，圆圈的半径y与步差x之间存在的关系如下：y=（0

通过这种事例学生能够感受到数学学习的价值，同时催生出思考，生活中还有这样的对应关系和问题么？思维向着发现问题和解决问题的方向延伸与发展.

3. 研究学情，在最近发展区内设置问题

根据维果茨基的“最近发展区”理论.我们的教学必须符合所教班级学生的智力水平、数学学习基础、习惯和思维水平等等，在问题的设计前应该认真地研究学生的学情，确保问题设置的针对性和有效性.

例如，在和学生一起学习“概率”这个概念时，分析学生的认知基础，学生在初中阶段学过“等可能事件”的概念，同时也会用“双向列表”将事件的个数列出来的方法. 然后分析，高中概率教学的起点在哪里？从人教版教材来看，一开始就涉及“必然事件”、“不可能事件”和“随机事件”等等概念，以及“用概率度量随机事件发生可能性的大小”这一方法，如何在学生的初中认知基础上跨越到教材的起点呢？这之间就是最近发展区. 我们的问题设计就应该在这两者之间进行合理的设计.

当然，遇到比较抽象的概念，我们还可以从学生身边的实际情境出发，借助于问题的设计帮助学生寻找原型，促进概念本质特征的理解.

例如，对于学生而言，“映射”这个概念理解上有难度，笔者为了促进学生理解，设置了学生感兴趣的话题：“每个同学考入高中的时候，都有一个中考分数，每个人和自己的中考分数有什么对应关系？”这样的设计落在最近发展区内，学生很快就可以通过这个身边的实际问题的解决，揭示出映射的本质特征，概念的学习的效果自然提升.

4. 采用变式，多维度深化对概念的认识

概念初步形成以后，为了促进学生概念的巩固与内化，我们应该采用变式问题的方式给学生提供多维度的直观背景，让学生通过分析、鉴别提高概念认识的深刻性、准确性.

例如，在学习“抛物线”这节内容时，定义给出后，可以采用如下变式训练促进学生内化：

问题1：满足的点P（x，y）的轨迹是什么曲线？

问题2：若点A是定直线l以外的一个定点，则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹是什么曲线？

问题3：到直线l：x+y-2=0和到点P（1，1）距离相等的点的轨迹是什么？

从这3个问题的设计来看，前面2个问题分别引导学生从代数与几何两个角度对抛物线的本质特征进行分析，问题解决的过程则是概念认识逐步深入的过程，当学生有了较深的认识后，抛出问题3这一个反例，旨在引导学生在剔除非本质特征完成问题的思考与解决，在这个过程中学生对概念的理解越发准确.