永磁同步电机二阶迭代学习控制

陈才学，刘偲艳，兰永红（湘潭大学信息工程学院，湖南湘潭411105）



永磁同步电机二阶迭代学习控制

陈才学，刘偲艳，兰永红
（湘潭大学信息工程学院，湖南湘潭411105）

摘要：针对永磁同步电机存在的周期性脉动问题，提出了一种二阶PD-型迭代学习控制策略，该算法能够有效实现最优跟踪控制。利用卷积的推广Young不等式，获得了系统跟踪误差在Lebesgue-p范数意义下严格单调收敛的充分条件。进一步，在定义Q因子的基础上，将一阶和二阶迭代学习控制的收敛速度进行比较，获得了二阶迭代学习控制优于一阶迭代学习控制的充分条件。最后，仿真验证了该方法的有效性。

关键词：迭代学习控制；永磁同步电机；Lebesgue-p范数；跟踪误差

永磁同步电机（PMSM）由于其功率密度大、转动惯量较小和效率高等明显优势，而广泛应用于先进制造领域的伺服传动和机器人技术，但其转速脉动问题一直被认为是工业应用中不可忽视的问题［1］。为尽量减小永磁同步电机转速脉动，实现最优跟踪控制，多种方案曾被提出。这些方案大致可分为两大类［1］：第1类通过改进永磁同步电机的设计，使其更接近于理想状态，从而减小转速脉动。如斜槽和分数槽绕组［2］，但这并不能完全消除电磁、负载转矩，反而增加电机造价；第2类通过改善电机的主控系统来抑制脉动分量。文献［3］使用谐波电流注入法消除谐波，文献［4］提出一种自适应控制技术，文献［5］提出利用在线估计技术的闭环控制算法。这些控制技术能较好地减小转速，但都依赖于PMSM精确的数学模型。迭代学习控制（ILC）利用历史信息构成当前控制量，不依赖控制系统的精确模型，只根据实际与目标输出的误差来产生控制信号，使系统沿目标轨迹快速精确跟踪［6-7］；文献［8］提出ILC控制方法，但只利用系统当前的信息，没有应用历史信息。高阶ILC利用历史迭代数据构造学习律，可以获得更高的跟踪精度［9-12］。文献［9］证明了高阶ILC规则跟踪性能更好。

本文提出二阶PD-ILC，通过比例、积分的配置可获得快速、高精度的跟踪控制，在定义Q因子的基础上对二阶ILC误差收敛速度与一阶ILC误差收敛速度进行比较，最后，通过Matlab仿真及实验证明了系统的有效性。

1　PMSM数学模型

对于表面贴装式永磁同步电机，同步旋转（d-q）坐标下的等效数学模型为

式中：id，iq为d，q轴定子电流；ud，uq为d，q轴定子电压；L，R分别为定子电感、电阻；ω为转子机械角速度；Ψf为永磁体产生的磁链；J为转动惯量；B为摩擦系数；TL为电机负载转矩；p为同步电机的极对数。

由永磁同步电机数学模型可知，PMSM各状态量之间存在耦合关系，增大了PMSM控制系统的难度。这里运用id=0控制策略对PMSM进行解耦线性化，即令定子电枢直流分量的期望电流值为零，设x1=iq，x2=w。PMSM数学模型可简化为

2　迭代学习控制器

迭代学习作为一种有效的改善系统跟踪性能的控制方法，其实际上是一种纠错方法和存储前一周期数据和错误信息的存储器。控制器计算理想输出与实际输出之间的误差，生产新的控制量并存储起来以便下一周期使用。

式（4）等价于动态系统：

式中：［0,T0］为运行持续时间；xk+1(t)，yk+1(t)，uk+1(t)分别为系统第k+1次迭代运行状态量，控制输出量和控制输入量；A，B，C分别为相应维数的矩阵，且假设CB≠0。

L∈｛L(1)｝⋃｛L(c1,c2)｝对系统式（5）的控制过程被称为迭代学习过程（ILP(L)）。ILP(L)目标为生成控制输入量uk+1(t)，使系统式（5）的实际输出yk+1(t)精确跟踪目标yd(t)，即

定义跟踪误差为

定理：假设向量函数f：［0,T0］→Rm，f(t)= ［f1(t),…,fm(t)］T，那么向量函数f的Lebesgue-p范数［13］为

由文献［14］可知：

即上确界范数

是Lebesgue-p范数的1个特例。

引理［14］：设标量函数g∈R和h∈R均可积，1≤p,q,r≤∞，1/r=1/p+1/q-1；则g·h∈R且||g·h(·)||r≤||g(·)||q||h(·)||p。当r=p，q=1，即为Young不等式||g·h(·)||r≤||g(·)||1||h(·)||p。

定义1：设｛ek(·)｝=｛ek(t)|ek(t)∈R,k=1,2,…, t∈［0,T0］｝是误差极限为ek*(·)的收敛函数的集合。当k→∞时，有

且定义：

假设S(L,e*(·))是ILP(L)误差极限为e∗(·)的收敛函数数列的集合，定义ILP(L)的Q因子为

2.1二阶PD型迭代学习策略

设yd(t),t∈［0,T0］为目标输出，构造二阶PD 型ILC规则(L(c1,c2))如下：

式中：下标k为迭代次数；Γp1，Γp0分别为一阶、二阶比例增益；Γd1，Γd0分别为一阶、二阶微分增益；c1,c2分别为一、二阶迭代学习成分加权平均系数，满足0＜c1＜1,0＜c2＜1，c1+c2=1；ek为目标输出yd(t)与实际输出yk(t)的误差，ek=yd(t)-yk(t)。

由于x(0)=0，可得ek(0)=0,k=1,2,3,…。

结合式（5）、式（6），可得L(c1,c2)作用下系统跟踪误差为

对上式等式右边最后一项采用分部积分得：

对上式等式两边分别取Lebesgue-p范数，并应用广义Young不等式可得：

即可得：

2.2一阶PD型迭代学习策略

假设式（6）中，当c1=1时，控制律退化为一阶PD型ILC规则（L(1)）如下：

式（8）中Γp1,Γd1与式（6）相同，即uk(t)+Γp1ek(t)+ Γd1ėk(t)为式（6）一阶成分。

结合（5）、式（8），可得L(1)作用下系统跟踪误差为

因为ek(0)=yd(0)-yk(0)=0，则上式可化简为

对上式等式两边分别取Lebesgue-p范数，并应用广义Young不等式可得：

整理可得：

令

即可得：

3　收敛速度分析

定义2：设L1,L2∈｛L(1)｝⋃｛L(c1,c2)｝为任意2个迭代学习规则，Qp（L1，e*(·)），Qp（L2，e*(·)）分别为ILP(L1)和ILP(L2)的Q因子。

由文献［15］可知，Q因子越小，收敛速度越快。从而L(1),L(c1,c2)收敛速度快慢的比较问题转换为Q因子值大小的比较问题。

二次多项式ρ2-c1ρ1ρ-c2ρ2被称为ILP(L(c1,c2))的特征多项式。那么，不等式（9）解的范围在特征多项式2个零点内，即：

由于c1+c2=1，又ρ＞0。则上述不等式等价于0＜ρ＜F(c1)。这里

根据Q因子的定义，可得Qp(L(c1,c2),0)= F（c1）。若ILP(L(c1,c2))收敛，则L(c1,c2)收敛速度和Q因子Qp(L(c1,c2))可通过分析F(c1)的值来确定。对F(c1)进行微分可得：

假设1：若ρ12＞ρ2，那么

上式表明F′(c1)＞0，即F(c1)严格增，可得：

所以

证明ILP(L(c1,c2))误差收敛速度比ILP(L(1))的快。

Qp(L(c1,c2),0)=F(c1)=ρ1=Qp(L(1),0)

证明ILP(L(c1,c2))误差收敛速度与ILP(L(1))相当。

假设3：若ρ12＜ρ2，那么

又因为

可得

所以F′(c1)＜0，即F(c1)严格减，可得：

所以

证明ILP(L(c1,c2))误差收敛速度比ILP(L(1))的慢。

从上述分析可得，比例增益Γp1,Γp0和微分增益Γd1,Γd0的值决定不同的ρ1,ρ2的值，决定ILP(L(c1,c2))收敛速度与ILP(L(1))收敛速度的关系。

4　数值仿真

为了验证永磁同步电机在控制规律作用下的转矩跟踪效果，在Matlab2011平台上进行仿真。永磁同步电机额定参数为：转动惯量J=9×10-3kg·m2，极对数p=4，定子电阻2.58 Ω，定子交轴、直轴电感均为6.25 mH，永磁磁极与定子绕组交链的磁链为0.192 Wb，代入式（5）可得LTI系统为

设期望跟踪转矩轨迹如下：

4.1ILP(L(1))单调收敛性

一阶PD型ILC规则，选取Γp1=0.8，Γd1= 0.01，满足定理2的收敛条件ρ1=0.6＜1。跟踪误差的Lebesgue-2范数如图1所示。

图1　ILP（L（1））跟踪情况Fig.1 Tracking behavior of ILP（L（1））

仿真结果证明：跟踪误差严格，并且单调收敛。

4.2ILP(L(c1,c2))与ILP(L(1))收敛速度比较

二阶PD型ILC L(c1,c2)，选择加权系数c1=c2=0.5。

选取Γp1=0.8，Γd1=0.01，Γp0=0.3，Γd0= 0.006，可得ρ1=0.6，ρ2=0.04，满足ρ21＞ρ2。ILP(L(1))，ILP(L(c1,c2))跟踪误差的Lebesgue-2范数如图2所示。

图2　ILP（L（c1，c2））与ILP（L（1））跟踪情况Fig.2 Tracking behavior of ILP（L（1））and ILP（L（c1，c2））

仿真结果证明当ρ21＞ρ2时，ILP(L(c1,c2))收敛速度比ILP(L(1))快。

选择Γp1=0.8，Γd1=0.01，Γp0=0.3，Γd0= 0.01，可得ρ1=ρ2=0.6，满足ρ12＜ρ2。ILP(L(1))，ILP(L(c1,c2))跟踪误差的Lebesgue-2范数如图3所示。

图3　ILP（L（c1，c2））与ILP（L（1））跟踪情况Fig.3 Tracking behavior of ILP（L（1））and ILP（L（c1，c2））

仿真结果证明当ρ12＜ρ2时，ILP(L(c1,c2))收敛速度比ILP(L(1))慢。

5　结论

本文根据目前永磁同步的研究热点，结合Lebesgue-p范数研究了L(c1,c2)，L(1)中永磁同步电机收敛速度，分析不同比例、微分增益对收敛速度的影响。可得二阶迭代学习控制在选择增益方面更自由，具有更优的鲁棒性等特点。

参考文献

［1］Jahns T M，Soong W L. Pulsating Torque Minimization Techniques for Permanent Magnet AC Motor Drives-a Review［J］. Industrial Electronics，IEEE Transactions on，1996，43（2）：321-330.

［2］Chu W Q，Zhu Z Q. Investigation of Torque Ripples in Permanent Magnet Synchronous Machines with Skewing［J］. Magnetics，IEEE Transactions on，2013，49（3）：1211-1220.

［3］Lee G H，Kim S I，Hong J P，et al. Torque Ripple Reduction of Interior Permanent Magnet Synchronous Motor Using Harmonic Injected Current［J］. Magnetics，IEEE Transactions on，2008，44（6）：1582-1585.

［4］Kung Y S，Quynh N V，Huang C C，et al. Design and Simulation of Adaptive Speed Control for SMO - based Sensorless PMSM Drive［C］//Intelligent and Advanced Systems（ICIAS），2012 4th International Conference on. IEEE，2012，1：439-444.

［5］Xu Y，Parspour N，Vollmer U. Torque Ripple Minimization for PMSM Using Online Estimation of the Stator Resistances ［C］// Electrical Machines（ICEM），2012 XXth International Conference on. IEEE，2012：1107-1113.

［6］许建新，侯忠生.学习控制的现状与展望［J］.自动化学报，2005，31（6）：943-955.

［7］吴敬兵，罗安.混合有源滤波器的新型电流迭代学习控制［J］.电力自动化设备，2011（8）：58-61，65.

［8］李兵强，林辉.抑制PMSM周期性转矩脉动的迭代学习方法［J］.电机与控制学报，2011，15（9）：51-55.

［9］池荣虎，侯忠生，于镭，等.高阶无模型自适应迭代学习控制［J］.控制与决策，2008，23（7）：795-798.

［10］Chen Yangquan，Gong Zhiming，Wen Changyun. Analysis of a High-order Iterative Learning Control Algorithm for Uncertain Nonlinear Systems with State Delays［J］. Automatica，1998，34 （3）：345-353.

［11］Andres D，Pandit M. Convergence and Robustness of Iterative Learning Control for Strongly Positive Systems［J］. Asian Journal of Control，2002，4（1）：1-10.

［12］Yang Z，Chan C W. Conditional Iterative Learning Control for Non-linear Systems with Non-parametric Uncertainties Under Alignment Condition［J］. Control Theory & Applications，IET，2009，3（11）：1521-1527.

［13］Arimoto S，Kawamura S，Miyazaki F. Bettering Operation of Robots by Learning［J］. Journal of Robotic Systems，1984，1 （2）：123-140.

［14］Pinsky M A. Introduction to Fourier Analysis and Wavelets ［J］. Graduate Studies in Mathematics，2002，32（9）：169-174.

［15］Xu J X，Tan Y. Robust Optimal Design and Convergence Properties Analysis of Iterative Learning Control Approaches［J］. Automatica，2002，38（11）：1867-1880.

Second-order Iterative Learning Control of Permanent Magnet Synchronous Motor

CHEN Caixue，LIU Siyan，LAN Yonghong
（College of Information Engineering，Xiangtan University，Xiangtan 411105，Hunan，China）

Abstract：A kind of second- order PD- type（proportional- derivative- type）iterative learning control law was proposed for the problem that periodicity pulsations exist in permanent magnet synchronous motors（PMSM），which achieved optimal tracking control. By means of the generalized young inequality of convolution integral，the sufficient condition that the tracking error is monotone convergence in the sense of Lebesgue-p norm was achieved. Inaddition，on the basis of the definition of Q factor，the sufficient conditions that the second-order rule is more effective than the first-order rule was achieved. Lastly，simulation manifests the validity and the effectiveness.

Key words：iterative learning control（ILC）；permanent magnet synchronous motor（PMSM）；Lebesgue-p norm；tracking error

中图分类号：TM341

文献标识码：A

基金项目：湖南省自然科学基金：分数阶鲁棒自适应控制及其在配料控制系统中的应用（NO.14JJ2073，2014-2016）

作者简介：陈才学（1979-），男，博士，副教授，Email：liu15273289995@163.com

收稿日期：2015-09-20