用图形运动变换的思想添辅助线

上海市沙田学校 冯 祺

在初中几何学习中，如何添置恰当的辅助线，一直是学生们觉得有困难的问题。其实根据条件或结论，快速、有效、合理地添置辅助线是有章可循的。例如根据常见的基本图形补缺添辅助线；根据所用的几何定理所在的基本图形补缺添辅助线；“截长补短”“倍长中线”等。下面，介绍一种自己在多年的教学实践中感悟到的用图形运动变换的思想添辅助线的一些想法，供大家参考。

一、平移变换

平移变换主要出现在与梯形有关的几何题中，如添一腰的平行线、添对角线的平行线等。

如图1，添腰的平行线可以看成是将一腰平移；

如图2，添对角线的平行线可以看作是平移一条对角线。

例1：如图3所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+ ∠B= 9 0°，点M、N分别是AB、CD的中点。

求证：MN=(AB-CD)

分析：

所证等式右边有AB－CD，通过平移一腰至DP，即可证得AP=AB－CD，且有∠ADP=90°，在Rt△ADP中，AP上的中线等于 ，故平移MN至DG，本题归结证点G是AP的中点的问题。

用平移变换思想得到的是辅助线的添置位置，但书写时仍必须使用演绎证明的规范的数学语言：“过点D分别作DP∥BC，DG∥MN，分别交AB于点P、G”（证明过程略）。

本题也可以通过如图4的平移变换方法，即分别平移BC至NP，平移AD至NG得Rt△GNP，且GP=AB－CD，本题归结为证点M是GP的中点。辅助线的书写方法是：

“过点N分别作NP∥BC，NG∥AD，分别交AB于点P、G”。

这种图形运动变换的实质是将相对分散的元素∠A、∠B；AD、BC变得相对集中（集中在同一个直角三角形中），使得条件与结论之间的关系变得相对明朗起来。若能领会平移变换的这一实质，有些变化了的有难度的问题就能容易解决，无形中降低了学习难度。

二、翻折变换

翻折变换是将图形中的一部分沿某条直线翻折，利用轴对称性质，翻折后的图形与原图形是全等形，实现图形位置迁移而利于解题的方法。当题目中出现角平分线或垂线时，我们可以尝试将某个三角形沿着角平分线或垂线翻折，翻折后的图形所在的位置就是所要添线的位置。

例2：如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC，

∠B=2∠C，BD=2，AC=6，

求：AB的长。

分析：

因为∠B=2∠C，可知AC＞AB，由AD平分∠BAC可知将△ABC沿AD翻折，线段AB必定落在AC上，设点B的对称点为点E，则△ADE≌△ADB，得AB=AE=ACEC=6－EC，BD=ED=2，∠1=∠B=2∠C，根据三角形外角定理可以得到∠2=∠C推出ED=EC=2，从而求得AB=6－2=4。基于上述分析可得本题辅助线的写法：“在AC上截取点E，使AE=AB，联结ED”。（证明过程略）

本题通过翻折变换，将AB变换到AC上，一看即知，只要求出EC即可，而根据已知条件和全等三角形的性质是不难求得结果的。倘若不经过翻折变换，很难将AB 、AC、 BD三者挂上钩。本题还可以将△ADC沿角平分线AD翻折，同样可求得AB=4。

三、旋转变换

旋转变换是将图形中的一部分绕某一定点旋转一定的度数到一个新的位置，同样使部分元素相对集中，利于找到各个元素之间的互相关系的方法。

如图7所示，“倍长中线”一类的辅助线添法，完全可以看成是将△ADC绕着中点D旋转180°后得到的。

例3：如图8，AD是△ABC的边BC上的中线，AE

是△ABD的边BD上的中线，且BA=BD。

求证：AC=2AE。

分析：

AE是△ABD的边BD上的中线，则点E是BD的中点，我们可以将△ABE绕点E旋转180°变换到△FDE的位置，则△FDE与△ABE全等，∠B变换到∠2，AB变换到DF，AE变换到FE，∴AF=2AE，故只要证AC=AF。∵BA=BD，∴∠BAD=∠1，∵∠3=∠BAD+∠B，∴∠3=∠1+∠2，即∠3=∠ADF，∵AD是BC上的中线，∴CD=BD=AB=DF，∵AD=AD，∴△ADC≌△ADF，得AC=AF=2AE。

本题辅助线添置的书写方法是：“延长AE至点F，使EF=AE，联结DF”，这样写可以保证证得△FDE≌△ABE。这种添线的思路与常说的“倍长中线”一致，但我总结的规律是：“看见中点，尝试绕这个中点将某个三角形旋转180度”。因为有很多的几何题只出现中点但并没有中线，所以倍长中线的说法明显有较大局限。本题通过旋转变换，将原本相对分散的元素AB、CD；AE、AC集中在了两个全等的三角形中，从而便于思考并解决问题。本人在多年的教学实践中觉得这种思考问题的方式可应用的范围更广。

总结用图形运动变换的思想添辅助线的实质，就是通过图形运动变换实现图形位置迁移，使相对分散的元素变得相对集中，从而更容易找到题设和结论之间的关系。当然，有些几何题的条件符合上述规律，用上述总结的方法，不一定能百分之百地解决问题，有时还得结合其它添线的方法综合使用。当你在解几何题碰到添线困难时，不妨用一用上述总结的方法，或许会让你柳暗花明。