抓住本质 建立模型——『打电话』教学实践与思考

◇ 牛献礼

抓住本质 建立模型
——『打电话』教学实践与思考

◇ 牛献礼

教学内容

人教版教材五年级下册“打电话”。

教学思考

“打电话”一课的一个重要教学目标是要让学生在设计打电话方案的过程中发现规律，建立解决这类问题的“最优模型”，从而帮助学生感悟初步的模型思想，激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。教材中提供的活动分为三个部分。1.探讨最优方案。教材通过三个逐步递进的提示：可以一个一个地通知—分组通知会更快些—是不是分的小组越多用的时间就越少，由此引出最优方案。2.寻找规律。3.应用规律解决问题。从学生的视角分析，由于已经有了“烙饼问题”等优化思想的知识和经验基础，理解“知道消息的人不能闲着，都去通知”这个方法实际上并不困难，并不需要花费太多时间，而探索规律和建构“最优模型”才是教学的重点和难点，教学中应给学生提供充足的时间，让学生在充分积累数学活动经验的基础上建立模型。

综观已有的该课诸多教学设计，大部分是从教材例题提供的 “打电话通知15个人”情境引入。从教学实践来看，学生能想到“分组通知”比“逐一通知”省时间，但大多数学生只会将人平均分成几个小组，且由于学生还未学会用直观图表达自己的想法，所以在分小组通知的过程中思维比较零乱，活动的目的性较差，最后多数学生根本计算不出最短用时到底是几分钟。同时分组打电话的方案有很多种，教师面对杂乱无章的生成资源很容易陷入窘境。殊不知，最节省时间、最优化的方案其实并不是将学生分成几组，它其实是一种单线联系的“树型”设计方案，“让知道消息的人都去通知”才是“打电话”所提出问题的本质所在。

首先，要为学生搭建更恰当的探究“脚手架”，把教学起点放得再低一些，不是从例题设置的“通知15人”开始，而是从“通知3人”入手，改造后的问题让所有的学生都能参与到通知方案的设计当中。交流时，教师要注重不同方案直观图的对比，引导学生分析“知道消息的人都去通知”的方案省时的原因，自然地引出优化思想。起点的降低和教师适时的“介入”换来的是探究活动得以实实在在地展开，学生接下来“通知更多人”的探究不再盲目，规律的发现也不再“难产”，从而提高了自主探究的有效性和学习效率。

其次，让学生用直观图来呈现打电话的方案，使学生内隐的认知过程外显化。虽然学生明白“让知道消息的人都去通知”才最节省时间，但在具体画图时，很可能还会出现知道消息的人没有去通知或重复通知的情况。因此，教师要紧紧抓住问题的本质，数形结合，既让每个学生扎实掌握“怎样才能做到不重不漏”的画图方法，又让学生在画图的过程中初步认识到每分钟新通知的人数就是上一分钟知道消息的总人数，感悟模型，为建立数学模型积累丰富的数学活动经验。

再次，让学生抓住“知道消息的人都去通知”这个问题的本质进行想象和推理，引导学生的思维，辅之以数形结合的直观图示的方法，使数学现象、数学规律和数学模型之间建立起联系，使学生发现规律，真正理解规律背后的道理。在此基础上，引导学生抓住本质进行归纳，真正理解数学模型。

学生学习数学的过程其实就是不断建立一类问题的数学模型的过程，引导学生抓住数学问题的本质进行猜想、尝试、想象、归纳，是建立数学模型的重要方法，也只有这样，才能促进学生有效建立数学模型。

教学过程

一、创设情境，提出问题

师出示：周五晚上，学校健美操队贺老师打电话紧急通知3名队员（珂珂、睿睿、小朱）在周六上午去学校排练节目。如果每分钟通知一个人，最少需要几分钟？怎么通知呢？请把想法用你喜欢的方式表示出来。（可以用画图、文字叙述等方式）

（生独立思考、尝试解决，小组讨论后全班交流）

生 1：第 1分钟通知珂珂，第 2分钟通知睿睿，第3分钟通知小朱，一共需要3分钟。

生2：我觉得2分钟就够了。第1分钟通知珂珂，告诉珂珂让她通知睿睿，这样，第2分钟贺老师去通知小朱，珂珂去通知睿睿。

师：谁听明白生2的意思了？

生3：他的意思是贺老师通知小朱的时候，珂珂同时去通知睿睿。

师：为什么会节省1分钟呢？

生：因为珂珂知道消息后也去通知，第2分钟就会同时通知两个人，所以省时间。

师：是的，人多力量大！知道消息的人都不闲着，都去通知，就能节省时间，这是一种优化思想。我们可以用下面两个图来表示这种打电话的方式。

课件显示：

?

二、探索规律，感悟模型

师：想一想，照这样的方式打电话，第3分钟能再通知多少人？

（学生尝试画图表示通知的方案，然后全班交流）

生：能再通知4个人，因为知道消息的一共有4个人，让他们都去通知。

（课件动态呈现知道消息的人都去打电话通知的过程）

?

师：像这样打电话通知，会不会有什么规律呢？我们先把数据整理一下，大家仔细观察，看看有没有什么发现。

1分钟5分钟……3分钟新通知的人数22分钟14知道消息的总人数244分钟8

（学生小组讨论后，全班交流）

生：我发现后1分钟“知道消息的总人数”总是前1分钟的2倍。

师：能举个例子吗？

生：第 1分钟“知道消息的总人数”是2，第2分钟“知道消息的总人数”就是4，4是2的2倍，第 3分钟“知道消息的总人数”是 8，8是 4的 2倍。

生：我补充，第2分钟“新通知的人数”也是第1分钟“新通知的人数”的2倍，第3分钟“新通知的人数”是第2分钟“新通知的人数”的2倍。

师：确实，不管是“新通知的人数”，还是“知道消息的总人数”，每多1分钟，人数都是2倍2倍地增加，数学上叫作“倍增”，这是一个重要发现！还有别的发现吗？

生：我发现新通知的人数跟前1分钟知道消息的总人数一样。

师：你能举个例子吗？

生：比如第2分钟新通知的人数是2，第1分钟“知道消息的总人数”也是2，第3分钟新通知的人数是4，第2分钟“知道消息的总人数”也是4。

师：为什么会是这样呢？

生：因为知道消息的人都去通知，所以前1分钟有多少人知道消息，后1分钟就会再通知多少人。

师：说得真好！我们再来观察一下，知道消息的总人数跟时间有什么样的关系。

（小组讨论后全班交流）

生：第1分钟时知道消息的总人数是2，第2分钟时是2个2相乘，就是4，第3分钟时是3个2相乘，就是8。所以，是第几分钟就用几个2相乘，就能算出知道消息的总人数。

师：了不起！又是一个重要发现！照这样，第4分钟能再通知多少人？为什么？

生：因为第3分钟时已经有8个人知道了消息，他们都去通知，就能再通知8人。

师：那么，4分钟一共通知了多少人呢？

生：16人。

师：4分钟一共通知了16人，确定吗？我们再来仔细读一读问题。

（生齐读问题：4分钟一共通知了多少人）

师：有什么发现吗？

生 1：哦，我知道了，应该是一共通知了 15人，不是16人。

师：说一说你的想法。

生1：题目中问“一共通知了多少人”，老师是已经知道消息的，所以不能把老师也算上，应该用16-1=15（人）。

生1的发言使全班同学恍然大悟，计算“一共通知了多少人”不能把老师也算上，应该用“知道消息的总人数减1”。

课件显示：

老师珂珂13小朱3睿睿2 4 4 2 4 4 3 4 4 3 4 4

师：算一算，5分钟一共能通知多少人呢？

生：因为 5分钟知道消息的总人数是 5个2相乘，是32，去掉老师，通知的人数就是31。

课件显示：

老师珂珂133 5555小朱 睿睿2 4 4 2 4 4 3 4 4 35555 45555 4 5555

师：6分钟呢？

生：6个2相乘再减1，64－1=63（人）。

师：n分钟呢？

生:n个2相乘再减1。

师：它们之间的这种关系还可以在数轴上表示出来。

课件出示：

师：看图想一想，要通知10名队员一共需要几分钟？

生：需要4分钟，因为 3分钟只能通知 7个人，4分钟能通知15个人，所以通知10名队员需要4分钟。

师：健美操队一共有24名队员，想一想，照这样的方式，通知完这24名同学一共需要几分钟呢？

生：需要5分钟，因为第4分钟有16人知道了消息，第5分钟就有32人知道了消息，去掉老师，一共通知的人数是32－1=31，24比31小，5分钟就通知完了。

师：我们全年级大约有 120名同学，照这样的方式打电话通知这 120人，一共需要几分钟？

生：需要7分钟，第5分钟有32人知道消息，第6分钟就有32×2=64（人）知道消息，第7分钟就有64×2=128（人）知道消息。

师：通知120个人，需要用7分钟，看到这个结果，你有什么想法？

生：我觉得数学的本领真大！

生：我觉得数学很神奇，运用好的数学方法真能节省不少时间！

生：我想以后在生活中要多应用数学方法。

师：看来大家已经体会到数学的魅力了。想一想，为了使这个最优方案在现实生活中切实可行，还需要注意些什么？

生：每个人在接到电话后应该很清楚：他接下去第1个要通知谁，第2个要通知谁……不能重复。

生：知道消息的人都要去通知，不能遗漏。

……

三、应用模型，拓展知识

师讲述故事：国际象棋发明人的酬劳。

这是印度的一个古老传说，国王打算重赏国际象棋的发明人——宰相达依尔。这位聪明大臣的胃口看来并不大，他跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒……就这样下去，每一个小格内都是前一个小格内麦子数的 2倍。陛下，把这样摆满棋盘上所有 64格的麦粒，都赏给您的仆人吧!”国王听了，心里为自己不至于破费太多而暗自高兴，于是下令如数付给达依尔。计数麦粒的工作开始了，第一格内放 1粒，第二格内放 2粒，第三格内放 4粒……还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快地增长着，国王很快就看出，即便拿印度全部的粮食，也兑现不了他对达依尔的诺言。原来，所需麦粒总数是264-1=18446744073709551615。这些麦子究竟有多少呢？打个比方，如果造一个仓库来放这些麦子，仓库高 4米，宽 10米，那么仓库的长度就等于地球到太阳的距离的 2倍！而要生产这么多麦子，全世界要1500年！

（学生不断发出阵阵惊叹）

师：听完这个故事，你有什么想说的？

生：我觉得数学真是太神奇了！

生：我以前在书上读到过一句话：知识就是力量！以前不怎么懂，现在觉得这句话真的很有道理！

……

四、回顾与反思

师：回顾刚才的学习过程，我们用到了哪些方法？你有什么学习体会？

（生答略）

（作者单位：北京亦庄实验小学）