四问“方程”感悟本质 静待花开——观吴正宪老师“方程的认识”一课的思考

◇林蕊馨 王 岩

四问“方程”感悟本质 静待花开
——观吴正宪老师“方程的认识”一课的思考

◇林蕊馨 王 岩

方程是代数知识的起始，是小学生首次由算术思维转向用代数思维分析数量关系的知识，对于小学生来说，这是一种认识与思维方式的巨大转变。在小学数学教材中，对方程的定义是这样描述的：含有未知数的等式叫方程。然而在教学中，我们经常看到：学生把定义背得滚瓜烂熟，但到了用方程解决问题时，却难以列出正确的方程。这让我陷入了思考：学生知道了概念就真正认识方程了吗？方程的本质含义到底是什么？概念描述与真正理解运用之间的距离到底有多远？作为教师，如何帮助学生跨越这个距离，从而帮助学生实现对方程意义的真正建构呢？在一次教研活动中，我有幸倾听了吴正宪老师执教的一节“方程的认识”，让我在迷茫中找到了问题的答案。教学中，吴老师创新性地用四问“方程”贯穿“方程的认识”这节课。她以问题为导向，将教学的重心由常规课堂上对方程概念的“静态”定义，转向了让学生主动地“动态”建构对方程的认识。在问题引领中，慢慢唤醒学生的思维，使学生从对方程表面的认识，逐步走向深入，感悟本质。

一 问“什么是方程”——引发思考，唤醒已有经验

师：（板书：方程）请读一读这两个字，你们听说过吗？在哪儿听说过？

……

师：这节课你想了解点什么吗？方程啊方程，你们不想问问它吗？

生：我想知道用一个字母表示数，那个字母应该怎么算出来？

师：方程啊方程，我怎么算？

生：还能用别的字母表示吗？

师：是呀，什么样子的式子才是方程？是不是含有 x那个样子的式子才是方程？

生：我想知道方程之间的关系。

师：你的意思就是说，学习方程，要了解它们之间的关系。

生：方程在生活中能做点什么？

师：多好啊，在没有方程的日子里，咱们的日子过得挺好的，今天方程闯进了我们的课堂，闯进了我们的生活，会给我们带来什么呢？有什么用呢？同学们提的问题特别有水平，但一节课只有40分钟，我们聚焦一下，这节课我们重点研究：方程啊方程，你到底是什么样子的？光了解样子还不够，那只是外衣。刚才有一位男孩提的问题特别深刻，方程啊方程，你是研究什么样关系的？什么关系，这很重要。

思考：上课伊始，吴老师开门见山，直接板书“方程”两个字，然后让学生思考文字背后所承载的内涵，提出想了解的问题，并引领学生将问题聚焦到：什么是方程？方程到底是研究什么关系的（即方程的本质）？让学生带着问题进入本课的学习，细节处彰显了吴老师的教育教学观。

二 问“什么是方程”——层层分类，初步感知方程

师：我给大家介绍一位新朋友（出示天平），当两个托盘里物体的质量相等时，天平什么样？

生：平衡。

师：能用体态语言表达天平的状态吗？质量不相等的时候呢？

（生演示）

师：将300克砝码放在天平的右侧，天平怎么样？

（生将天平倾斜）

师：要想使它平衡，你们有办法吗？

（生操作：在天平左侧的盘子里放两个苹果，分别重180克和120克）

师：你们能用数学式子记录下这个状态吗？

生：180+120=300。

师：（从左盘取走一个苹果）天平怎么样了？你能用数学式子表达吗？

生：180＜300。

师：我又拿来一个苹果，它多重不知道，可以用什么表示？

生：x、y、a、b。

师：这些都可以，我们就用x表示。（手拿苹果）它即将被放入盘中，想一想，可能会出现什么情况？你能把这些情况用数学式子表达出来吗？

生：180+x=300，180+x＞300，180+x＜300。

师：将3个完全一样的苹果放入左盘，右盘放300克砝码和500克砝码，这时天平平衡。你能用式子记录下来吗？

生：300+500=3d。

师：将 300克砝码放入左盘，500克砝码放入右盘，又会发生什么情况？记录下来。

生：300＜500。

师：天平左边继续放200克砝码，现在怎么样了？记录下来。

生：300+200=500。

师：现在拿下200克砝码，放上一个小香蕉，可能怎样？有几种情况？请你记录下来。

师：（指黑板上的式子）黑板上这么乱，该到什么时候了？

生：整理、分类。

师：分类是最好的整理办法。这些式子可以怎么分类？根据天平的现象，你有什么建议？

生：可以分成三类。第一类，天平是平衡的；第二类是左边大于右边的；第三类是左边小于右边的。

师：大于也好，小于也好，它们都怎么样？

生：不平衡。

师：从这个角度分，可以分成几类？

生：两类，一类是平衡的，一类是不平衡的。

师：请一组同学上来分类……这些不平衡的式子都放在这边，这些都是平衡的式子，你们能给它起个名字吗？

生：等式。

师：（板书：等式）这些式子都可以叫作等式，那些式子呢？

生：不等式。

师：同学们，有关不等式的事，我们先不研究，今天我们就聚焦等式。这些式子，都是你们儿时熟悉的吗？

生：不是。

师：有没有新鲜的？从这个角度，你有什么好的建议？

生：这些等式中，有一部分是纯数字的，如120+180=300；还有一部分是含有未知数和数字的，比如300+500=3d。

生：等式还可以分成2类。

（师请学生上来分类）

师：黑板上这些式子都是等式。（生圈）这个男孩儿把什么都圈起来了？

生：等式。

师：我们又发现这些等式是儿时熟悉的，幼儿园小朋友都知道5+3=8，2-1=1，今天我们又遇见一些含有未知数的，我们再圈一圈。

（学生圈）

师：好极了，这名同学把长成这样的式子圈上了，这样的式子，你们知道叫什么吗？

生：方程。

师：在这个圈里，有没有不是方程的？好好看看。

生：我认为“20+□=500”不是方程。

师：想一想，什么叫方程？

生：含有未知数。

生：等式。

师：含有未知数的等式叫方程，我们再从这个角度思考一下“20+□=500”，这个是不是方程？

生：是。

师：为什么？

生：虽然这个没有未知数，但这个“□”也代表未知数。

师：从这个角度看，“20+□= 500”也是方程。只不过这个方程的外衣是x，这个方程的外衣是y，这个方程的外衣是“□”，脱了马甲，也是方程。“□”就表示什么？

生：未知数。

师：快把“20+□=500”请进来。同学们，我们刚刚完成了第一步，就是认识方程的外衣是什么样子的。

师：回忆一下，一年级的时候，老师出过这样的题吗？3+苹果=8，老师问“苹果是几呀”，你们就猜，苹果是……

生：5。

师：这是不是方程？

生：是，苹果就是未知数。

师：就是嘛，只不过当时你们太小，老师没敢告诉你们，其实那就是方程。

生：啊！

思考：分类思想是一种基本的数学思想，它是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。利用分类思想，可以将繁杂的知识系统化、条理化，有助于对概念的概括与理解。课上，吴老师带领学生借助天平得到了一系列式子，并在此基础上，引领学生根据天平的平衡与不平衡的特点将这些式子分类，随着这些式子被越来越细化的分类，方程概念的内涵也就越来越丰富、清晰。此时，随着吴老师“什么叫方程”问题的抛出，学生们立即迸发出“等式、含有未知数”等关键词语，看来，学生对方程的外在样子有了深刻的感知。然而，吴老师并没有止步于此，继续说：现在我们能在众多的式子中辨别什么是方程了，但这离认识方程还差十万八千里呢！一句话又激发了学生进一步的思考，将学生的思维继续引向深入。

三 问“什么是方程”——建构方程，感悟本质含义

师：刚才是谁帮你们认识方程的？

生：天平。

师：现在这个看得见，摸得着的天平被我藏起来了，没有了，但老师愿化作48个天平送给你们，同学们心中的天平在哪儿？

生：心里，脑子里。

师：能把它拿出来吗？平了，怎么办？（体态语言）不平怎么办？（生体态演示）

师：观察屏幕，你看出了什么？

生：1个热水壶装 2000毫升水，可以倒满2个暖水瓶和1个水杯。

师：真好，一下就发现了重要的数学信息，2000毫升的水要倒满2个暖水瓶，每个暖水瓶倒的水一样多，能不能倒满？

生：能。

师：装满以后，还剩一丁点儿，这一丁点儿要倒哪？

生：杯子里。

师：看来大家看懂了，这里面有天平吗？

生：心里有。

师：拿出来呀！……右手拿的是2000毫升的水，什么样子？（体态语言），不考虑容器的质量，只考虑水的质量，左手边是1个暖水瓶（体态语言），又1个暖水瓶，还差一丁点儿，一丁点儿是多少？

生：200毫升。

师：平了吗？

生：平了。

师：能把这个现象用数学式子表达出来吗？1个暖水瓶里有多少水我们不知道，但不要讨论，独立思考，并写在本上。（教师巡视，找有特点的写在卡纸上）写完了吗？天平找到了吗？

生：找到了。

师：天平一边是多少？

生：2个暖水瓶水和一点水。

师：2个暖水瓶水和一点水，1个暖水瓶里的水是多少？有的同学已经算出来了。

生：900。

师：[指着（2000-200）÷2= 900]解铃还须系铃人，你能讲讲道理吗？

生：我先用2000-200，就剩下2个暖水瓶的水，再除以2，就能算出1个暖水瓶的水。

师：再看2000=2x+200、2x+ 200=2000，这两个式子一样，只不过一个把2000写在前面，一个写在后面，我用一个式子来说，好吗？

师：（挑出2x+200=2000）谁给它提个问题？

生：为什么这么写？这个 x指的是什么？

生：x指的是1个暖水瓶的水，2x指的是2个暖水瓶的水。

师：听懂了吗？2个x再加上200，正好是2000。

师：[指（2000-200）÷2=900]这是思路1。

师：（指2x+200=2000）这是思路2，这两个思路一样吗？

生：不一样。

师：（指着2x+200=2000）这就是……

生：方程。

师：[指着（2000-200）÷2= 900]这就不是方程了，你们过去习惯这样解决问题，先把知道的拿出来，1个暖水瓶的水是多少呢？是直接用算式求出来。（指着2x+200=2000）它呢？是把不知道的拿出来，跟知道的怎么样？

生：加一块。

师：去找什么呀？

生：找等量关系。

师：有点感觉没？不着急，思路1、思路 2不一样，思路1是很快得出结果了，思路2也很有价值，它和你们的想法不一样，它先把不知道的当作什么？

生：当作知道的。

师：知道的也找出来，干什么？

生：找关系、找平衡。

师：用谁找平衡呀？

生：天平。

师：什么是方程？

生：含有未知数的等式叫方程。

师：你们说的仍然是外衣，再体会体会方程是什么，现在有点感觉了吗？

生：有点说不出来的感觉。

师：这感觉就对了，我刚开始学方程的时候也说不出来，反正它和算术有点——

生：不一样。

思考：对于小学生来说，方程是一种全新的解决问题的模型，方程的出现，打破了学生已经建立了4年之久的解决问题的固定方式——算术思维。这种打破是一种思维的颠覆，对小学生来说，这种颠覆需要一个接受的过程，而接受的过程中更需要理解方程的本质意义。

在吴老师的这节课上，她没有让学生归纳定义，淡化方程定义的形式外衣，而将教学重点直接指向了对方程的本质意义的理解。在初步感知方程之后，吴老师出示暖水瓶的情境题，让学生将情境中的数量关系用一个式子表达出来，使学生经历由具体问题抽象出数量关系的过程，初步构建方程模型。在汇报交流环节，吴老师充分利用心中的天平引导学生找到等量关系，并有意将算术思维列出的等式与方程方法列出的等式进行对比，体会二者思维方式的不同。在建构与对比的过程中，学生逐步感受着方程的本质意义。他们在慢慢地悟，心中已有所感觉，却又难以表达清楚。此时吴老师第三次追问：什么是方程？学生答道：“有点说不出来的感觉。”吴老师要的就是这种感觉。她在静静地等待，等待方程的本质深入学生的头脑，将感觉转化为理解，转化为语言。

四 问“什么是方程”——再次建构，升华理解

（师板书线段图）

师：甲有几本书不知道，可以把它作为x，乙的书比甲的3倍多5本，乙有65本书，求甲有几本。怎么解决这个问题？你能列个式子吗？

[生汇报：(65-5)÷3，3x+5，65= 3x+5，x+x+x+5=65]

师：有什么意见？

生：是算式，不是等式。

师：是啊，他没找到等量关系呀，找到等量关系特别重要，3x+5和谁相等？

生：65。

师：3个x加上 5等于65，这才平衡呢。3x+5是一头沉了，所以得找到这个重要的等量关系。x+x+x+5=65，这个式子大家认可吗？

生：认可。

师：（指着3x+5=65，65=3x+ 5，x+x+x+5=65）这些都是什么？

生：方程。

师：列方程的方法和算术的方法一样吗？

生：不一样。

师：大家有想法吗？

生：我有不同想法，也可以这样列“（1+3）x+5=65+x”。

师：太好了，不管怎么样，你们都找到了什么？

生：等量关系。

师：真了不起！原来的算术方法和今天的方程方法到底有什么不同？什么是方程？

生：我觉得方程就是在式子里添加一些不知道的东西，先把不知道的搬出来，再把知道的搬出来，天平就平衡了。

师：天平就平衡了，就是找什么？

生：等量关系。

师：太好了。

生：方程就是把不知道的东西和知道的东西全都弄一块，把它弄平衡了，再慢慢解它。

师：真是太棒了。

生：方程就是把不知道的当成知道的，和其他知道的放在一起，给它们弄平衡了，再慢慢求不知道的。

师：听懂了吗？真好，你们的发言让我想起了一位张爷爷。张爷爷是个数学大师，他说：算术方法和方程哪儿不一样呀？就好像有一条弯弯的小河（画一条小河），在小河的对岸有一块宝石，我们想得到它，怎么办呀？算术方法就是根据已经知道的情况一步一步地摸着石头过河，去找宝石，这是我们多年来解决问题的习惯和思路。今天的方程方法，也想得到宝石，它们的目标一样不一样？

生：一样。

师：都想知道这个未知数到底是几，都是想得到宝石，但思路不一样，方程就是用一根绳子把宝石套住，这样就建立了一种关系，然后利用绳子这个关系把宝石慢慢拉过来。

师：张爷爷讲的这个故事对我们学习方程有很大帮助，算术法、方程法都是为了找未知数，但它们的思路不一样。同学们，或许你们今天还不能完全体会像方程这样的解题思路，但我相信，随着学习的数量关系越来越复杂，你们一定会对方程这种解题思路情有独钟，不信你们就走着瞧！

思考：建构主义认为：学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程。为了让学生更加深入地理解方程的本质含义，吴老师最后又出示甲、乙买书的情境图，让学生在情境中再次尝试建构方程，一次次动态的建构，帮助学生积累了经验，使他们逐渐体会到了方程是表示已知量与未知量之间相等关系的一种数学模型。学生的感受越来越丰富，认识越来越深入。当吴老师再次提出问题——什么是方程时，学生的思维像泉水一样喷涌而出。毋庸置疑，方程思想的种子已在学生的头脑中扎根、发芽，相信在不久的将来，方程思想的花朵一定会在学生的头脑中美丽绽放。

（作者单位：北京市通州区第一实验小学）