数学建模在概率论与数理统计教学中的应用

李小衬

摘 要 本文介绍了将数学建模思想融入到《概率论与数理统计》教学中的必要性，并以贝叶斯公式应用、正太分布应用以及参数估计应用为例说明了数学建模在《概率论与数理统计》教学中的应用。最后结合近几年教学经验，提出了把数学建模融入到《概率论与数理统计》教学过程中应注意的几个问题。

关键词 数学建模 概率论与数理统计 应用

中图分类号： 文献标识码：A

《概率论与数理统计》是理工科专业的一门公共基础课。随着科学技术的发展，它的理论和方法在医学、经济、管理、生物等方面都有广泛应用。它的重要性已被越来越多的人所认识。但是《概率论与数理统计》中的方法和理论都是抽象的，理解和应用起来都比较困难，如果在《概率论与数理统计》教学过程中加入数学建模思想，不仅有利于激发学生学习的兴趣，还有利于帮助学生理解课本中抽象的理论和方法。

1数学建模融入到《概率论与数理统计》教学中的必要性

数学建模主要包括两个方面：一是将现实问题转化为数学模型；二是对数学模型分析和求解。下图为建立数学模型的示意图

数学建模是连接数学和现实问题的桥梁，它的作用在工程界越来越被重视，把数学建模融入到《概率论与数理统计》教学中是当今大学数学教学改革的主流。传统的《概率论与数理统计》教学基本上是纯理论知识的传授，学生在学习过程中，所掌握的基本上都是理论的推导和计算，无法和实际问题联系在一起，这不利于学生应用能力的培养。如果在《概率论与数理统计》教学过程中加入数学建模思想，教会学生如何把现实问题转化为数学问题，用已有的数学知识去解决，则学生在今后的学习中就可以利用已有的数学思想去解决生活中遇到的疑难问题。所以将数学建模融入到《概率论与数理统计》教学中是很有必要的。

1.1加强学生“用数学”的教育

在《概率论与数理统计》教学中，把概率论中的理论知识融入到案例中，把现实中的案例，通过数学建模，转化为一个数学问题，从分析以及求解模型的过程中，教会学生所应掌握的理论知识。这不但提高了学生学习的积极性还培养了学生的应用能力。这在学生以后的学习和生活中，都有极大的帮助。并且在教会学生理论知识的过程中，也训练了学生的实际应用能力。

1.2提高学生查找资料以及团队合作等方面能力

目前各大高校都在提倡案例教学，在概率论与数理统计中要进行案例教学，就要把讲授的知识穿插在案例中。一般教师要提前一周把案例发给学生，让学生利用课余时间查找相关资料，学生在查找资料的过程中，或多或少地都从中学到一些知识。在案例教学中，教师首先要给学生分组，便于案例教学顺利高效的进行。学生在上课之前，上交本组解决方案。学生在做这个方案的过程中，会和组内成员相互讨论，通过讨论，不但可以提高学生应用概率中知识解决实际问题的能力，还可以提高学生团队合作能力。

2数学建模在《概率论与数理统计》中应用举例

案例1：贝叶斯公式应用

近几年关于冤狱的事件时有报道。比如2014年5月，媒体曝光了安徽省某村民未通过测谎仪测试而蹲七年冤狱，还有最近云南省最高法院改判的钱仁凤案。这些冤案都给个人和家庭带来了巨大的伤害。警察在审犯人时，为了辨认犯人所说是否真实，就会用测谎仪来测试。那问题就来了：测谎仪测试结果是否可以作为审判的证据呢？

测谎问题背景：测谎仪根据记录一个人被提问时的应激生理改变，来判断他是否说谎的仪器。一般用于犯人审查、部队征兵等领域。

问题：测谎仪测试结果若为说谎，则被测试者一定说谎吗？测谎结果是否适合作为审查证据？

建模：设事件A表示测试结果为说谎，事件B表示被测对象确实在说谎。根据有关统计有P（A|B）=0.88，P（A|B）=0.14。

模型求解：由于部队征兵和安全审查属于常规性筛查，大部分都是诚实的，所以可以假设人群中说谎者概率P（B）=0.01，由贝叶斯公式有

P（B|A） = = 0.04

结果分析：上面结果表示被检测为说谎的对象中，有高达96%的比例没有说谎。这是因为在部队征兵等常规性检查中说谎者比例很低。但是对于罪大恶极的犯罪嫌疑人，假设说谎者概率是0.5，则由贝叶斯公式得

P（B|A） = = 0.86

由此可见测谎仪只在针对特定的人群时，有较高的概率可靠，但它的法律性还有待商榷。

案例2：正太分布应用

2010年4月14日，青海省玉树县结古镇发生了7.1级地震。指挥部命令格尔木某汽车团在35小时内到达地震灾区进行救灾。从格尔木到结古镇有两条路线可以选择，一条是从格尔木途径不冻泉到达结古镇的750KM的简易公路，另一条是从格尔木途径南宁到达结古镇的1400KM的国道。该团要从中选择一条最佳路线，以最大可能的在规定时间内达到灾区。

问题：选择一条最佳路线。

知识准备：最佳路线就是在规定时间内以较大概率赶到救灾灾区的路线。

建模：假设走简易公路所需要的时间为t1，走国道所需要的时间为t2，根据相关统计知，t1服从正太分布N（28，32），t2服从正太分布N（26，52）。

走简易公路及时到达灾区的概率P（0

模型求解：走简易公路及时到达灾区概率为

p（0

P（0

由于p（0P（0

案例3：参数估计应用

雷达测量精度，从理论上要用参数估计进行分析。在加性白噪声下，一般用极大似然估计法进行参数估计，用极大似然估计可以估计信号的延时。

时延背景：为了搜寻目标，雷达向四周发射信号，信号传到目标后，一部分被反射回雷达接收系统，根据发出与接收信号间的延时（主动时延），确定目标的距离。

3数学建模融入到《概率论与数理统计》应注意的几个方面

（1）教师要不断扩充自己的知识面。数学模型都是从现实生活中提炼出来的，所以它所涉及的不光是数学方面的知识还有其他领域的知识，比如说上面提到的处理雷达信号的问题，不但涉及到统计部分的知识还涉及到雷达方面的知识，教师在进行教学之前，就要查找资料了解和雷达相关的知识点。因此为了提高教学效果，教师在进行教学过程中，要不断的扩充自己的知识面。

（2）教师要避免以自我为中心。传统的《概率论与数理统计》教学，基本上都是以教师为中心。整堂课下来都是教师在讲，学生在听，师生之间互动几乎为零。这就导致了学生上课积极性不高，出现打瞌睡、做小动作等违反课堂纪律的情况。要想提高教学效果，教师就要转变角色，要以学生为中心，让学生主动参与到课堂上来。学生上课积极性提高了，那前面出现的那些违反课堂纪律的情况就可以避免了，这也有利于学生学习能力的培养。

（3）案例选取要避免脱离学生专业。教师在选取案例的时候，要尽可能地选取和学生专业相关的案例。这样可以让学生感受到数学的用处进而激发学生的求知欲。如果教师选取的案例脱离学生专业，学生会认为，所学数学知识对他们未来学习或者生活没有用，导致学生对数学失去兴趣，甚至产生数学无用论。

4结语

数理统计中的很多问题都与我们的生活有关，比如说“三个臭皮匠顶个诸葛亮”就可以用概率论中的独立事件概率去分析，再比如我们小时候大人经常给我们讲的“狼来了”的故事，就可用贝叶斯公式去分析。在分析以及求解的过程中，都用到了数学建模的思想。要把现实问题与我们数学知识联系起来，就要用到数学建模思想。所以将数学建模融入到《概率论与数理统计》教学中是很有必要的，不但有利于培养学生的实践能力，也有利于调动学生学习的积极性。

参考文献

[1] 孙建英.概率论与数理统计中的数学建模案例[J].长春工业大学学报，2014（4）.

[2] 赵树杰.雷达信号处理技术[M].清华大学出版社，2010（8）.

[3] 吴传生.经济学——概率论与数理统计[M].高等教育出版社，2009（12）.

[4] 刘晓歌.数学建模思想融入概率论课程的初步研究与探索[J].科教文汇，2011（11）.

[5] 傅文玥.案例教学法在《概率论与数理统计》教学中应用[J].教育教学论坛，2013（1）.