Lagrange乘数法速解一类高考题

◎丁扬恺

(浙江省柯桥中学,浙江 绍兴 312030)

Lagrange乘数法速解一类高考题

◎丁扬恺

(浙江省柯桥中学,浙江 绍兴 312030)

本文通过引入Lagrange函数，解决了高考真题及调研题中一类多元函数的最值问题，再分别细化到二元参数单约束条件和双约束条件下的最值，归纳通性解法，拓宽了解题思路.

Lagrange函数；单约束条件；双约束条件；最值

在高考复习当中，不等式的最值问题常常是众多老师凝注的焦点，试图寻找通解法.简单的一元不等式最值常采用放缩或是构造函数，但基于二元函数的最值，如果不能单纯地利用条件变双变元为单变元，则需要比较高的构造技巧.笔者鉴于此引入高等数学中Lagrange乘数法，虽然涉及偏导数的知识，但对于基础好的学生来说并不难理解，在“高观点”下对于学生参加数学竞赛或是解答高考填空题大有裨益.本文以Lagrange函数为依托，试图解决高考中一类多变量下的最值问题，希望能引起广大读者的共勉.

Lagrange乘数介绍：在关系式：φi(p)=0(i=1,…,m;m

一、二元参数单约束条件下的最值问题

若改成Lagrange乘数，注意到条件极值2a+b=3ab，目标函数为4ab+2，只需构造L(a,b)=4ab+2+λ(2a+b-3ab).

例2 (2015宁波期末)若正数x,y满足x2+4y2+x+2y=1，则xy的最大值为________.

该题是2011年·浙江卷·理16改编，如果采用构造Lagrange函数得：

L(x,y)=xy+λ(x2+4y2+x+2y-1).

⟹(2x+y-1)(x-2y)=0.

二、单参数双约束条件下的最值问题

例4 (2014浙江高考文科)已知实数a,b,c,满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值________.

该问题是两个约束条件下的最值问题，故可构造L(a,b,c)=a-λ(a+b+c)-μ(a2+b2+c2-1).

欲使|2a+b|最大时，即(2a+b)2最大，构造Lagrange函数：

L(a,b)=(2a+b)2-λ(4a2-2ab+4b2-c).

代入4a2-2ab+4b2-c=0，得c=10b2.

通过以上两大类高考及调研试题分析，我们可以体会到在多元最值求解中，利用Lagrange乘数法具有同解性，可以有效回避不等式中复杂的思维过程和代数变形，希望能给读者带来启示.

[1]丁扬恺.一题引发的背景、变式及推广[J].上海中学数学，2015(12).

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]甘志国.初等数学研究(下)[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.