不等式中恒成立问题的探究

计进

【摘要】 高中数学的恒成立问题是高考重要题型，函数与不等式中的恒成立问题，一般综合性强，可考查函数、数列、不等式等诸多方面的知识，同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力. 本文结合例题浅谈恒成立问题的常见解法及恒成立问题的基本类型，以帮助学生更好地理解不等式恒成立问题关键，熟练掌握解决此类问题的技巧.

【关键词】 不等式；一次函数；二次函数；参数；恒成立.

数学教育以教会学生解答数学问题为重要目标，数学教育离不开解题教学，老师在学生研究、思考、理解的基础上，可以给学生总结一些特征题型的特定解法，让学生能够专题专解，既快又准地解题. 高中数学的函数与不等式中恒成立问题是高考重要题型，这类问题一般综合性强，可考查函数、数列、不等式等诸多方面的知识. 同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力. 它涉及不等式，一次函数，二次函数，函数最值、单调性、奇偶性和图像分析. 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最值法、数形结合等解题方法求解. 下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法及恒成立问题的基本类型：

类型一：一次函数

Ⅰ.可参数分离情形

对于不等式f（x） > 0对一切x∈[α，β]恒成立，若f（x）中含有字母参数a，且可以转化成a > g（x）（a < g（x））的形式，那么如果g（x）（x∈[α，β]）的最大值（或最小值）存在？圳a > g（x）max（或a < g（x）min）

例4 当x∈[1，2]时，不等式x2 + mx + 4 < 0恒成立， 求实数m的取值范围.

Ⅱ. 不可参数分离情形

对一些不能把参数放在一侧的或者能够放在一侧但很难求解的，可以利用对应函数的图像法求解. f（x） > g（x）对一切x∈D恒成立？圳f（x）的图像在g（x）的图像的上方.（例题略）

类型四：形如f（x1） > g（x2）（例题略）

在教学中，教师喜欢一题多解来培养学生解决问题的能力，培养学生的兴趣，而且在考试时，如果学生掌握了一些解题的技巧，在解题时游刃有余，会更加自信.

不等式恒成立的题型和解法还有很多，只要充分利用所给定的函数的特点和性质，具体问题具体分析，选用恰当的方法，对问题进行等价转化，就能使问题获得顺利解决. 只有这样，才能真正提高分析问题和解决问题的能力.

【参考文献】

[1]刘国华.数列中恒成立问题的求解思想[J].中学数学研究，2011（8）：45-46.

[2]刘昌龙.函数教学中学生辨析思维能力的培养[J].上海中学数学，2011（219）：7-9.