浅谈高中数学的恒成立题

王龙

摘 要 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。因此它对应的有六种常见方法。

关键词 高中数学 恒成立

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）18-0065-02

恒成立问题一直以来都是高中数学的一个重点、难点。它涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此它也成为历年高考的一个热点。

一、一次函数型 （函数法）

例1：对于满足0≤a≤4的所有实数a，求使不等式x2+ax>4x+a-3都成立的x的取值范围。

解：不等式变形为x2+（x-1）a-4x+3>0

设f（a）=（x-1）a+x2-4x+3则其是关于a的一个一次函数：是单调函数，结合题意有即

得x<1或x>3

二、二次函数型（分类讨论法）

例2：已知函数f（x）=x2-2ax+4在区间[-1，2] 上都不小于2，求a的值。

解：由函数f（x）=x2-2ax+4的对称轴为x=a

所以必须考察a与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论

①当a≥2时f（x）在[-1，2]上是减函数，此时

f（x）min = f（2）=4-4a+4≤2

即a≥，结合a≥2，所以a≥2

②当a≤-1时，f（x）在[-1，2]上是增函数，此时f（-1）=1+2a+4≤2

f（x）min=f（-1）=1+2a+4≤2，结合a≤-1，即a≤-

③当-1即a≥或a≤-，所以≤a<2

综上①②③满足条件的a≤-的范围为：a≥-或a≥

三、（不等式型）不等式法

例3：若关于x的不等式|x-2|+|x+3|≥a恒成立，试求a的范围。

解：由题意知只须a比|x-2|+|x+3|的最小值相同或比其最小值小即可，得a≤（|x-2|+|x+3|）min

由|x-2|+|x+3|≥|x-2-（x+3）|=5，所以a≤5

四、（对数函数型）导数法

例4：已知f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（2x+t），若当x∈[0，1]时f（x）≤g（x）在[0，1]恒成立，求实数的取值范围。

解：f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立

即-2x-t≤0在[0，1]上恒成立

即-2x-t≤0在[0，1]上的最大值小于或等于0

令F（x）=-2x-t所以

F '（x）=-2=

又x∈[0，1]所以F '（x）即F（x）在[0，1]上单调递减

所以F（x）max=F（0）

即F（x）≤F（0）=1-t≤0得t≥1

五、變量分离型（分离常数法）

例5：已知二次函数f（x）=ax2+x+1对x∈[0，2]恒有f（x）>0，求a的取值范围。

解：对x∈[0，2]恒有f（x）>0即ax2+x+1>0变形为ax2>-（x+1）

当x=0时对任意的a都满足f（x）>0只须考虑x≠0的情况a>即a>--

要满足题意只要保证a比右边的最大值大就行。

现求--在x∈[0，2]上的最大值。令t=∴t≥

g（t）=-t2-t=-（t+）2+（t≥）

g（t）max=g（）=-所以a>-

又f（x）ax2+x+1是二次函数∴a≠0

所以a>-且a≠0

六、（直接根据函数的图象）数形结合法

例6：不等式ax≤在x∈[0，3]内恒成立，求实数a的取值范围。

解：画出两个函数y=ax和y=在x∈[0，3]上的图象

如图

知当x=3时y=，a=

当a≤x∈[0，3]时总有ax≤

所以a≤

高中数学恒成立问题也没有一个固定的思想方法去解决它，但各类考试以及高考中却都屡见不鲜。以上是我自己对高中数学恒成立问题的一些解法，仅供参考！