分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用

杨琳

数学思想是人们在长期的实践经验和社会生活中得出的有关现实世界的数量关系、空间结构等科学意识的反应，是人类思维活动的结晶。数学思想在漫长的历史演变中逐渐发展，帮助人类掌握学习知识的技巧，提供最优质的解决方案，常见的数学思想包括数形结合、分类讨论、换元思想、函数与方程、等效思想等等。本文就以分类讨论思想为例，探讨其在初中数学中的具体运用。

一、分类讨论思想的意义

分类讨论思想其最主要本质就是“化整为零，积零为整”的解题策略。当我们在解决数学问题时，当所面对的问题不能进行整体统一的研究时，根据数学的本质属性需进行分类讨论和研究，这种逻辑思维解决方法就是“分类讨论思想”。而分类讨论思想在中学数学中，历年是考试的侧重点，主要是考查学生对于知识面的分析能力和解题思路技巧，分类讨论思想不仅有利于提高学生在学习数学中的广泛兴趣，还有利于培养思维能力的条理性和缜密性。学生可以通过分类讨论思想掌握数学当中分类方法、一题多解和对知识结构认知的能力。在教学中，教师可以利用小组合作充分发挥分类讨论的作用，为学生营造一种合作交流积极应变的氛围。因此，分类讨论思想可以有效地培养学生的思维灵活性和解题思路的能力，在初中数学解题应用中具有非常重要的作用和意义。

二、分类讨论思想具体解题步骤探讨

在学生能够基本掌握分类讨论思想的情况下，教师要引导学生运用正确的解题思路，大体可以从以下几个方面去引导，一是要认真仔细阅读题目，明白题目要考查的知识点；二是要明确分类讨论的对象，列举所有可能的结果，不可以遗漏，不可以重复；三是要讨论出所有列举问题的结论；四是要认真总结归纳，对于做过的题目要能够总结出规律和解题思路。对于数学问题的研究要有效针对各种属性的对象，研究的结果也自然会因为研究对象的不同而产生差异，因此对于不同的研究对象就需要采用不同的研究思想，又或者说在研究过程中出现了不同的状况，就需要采用不同的分类研究的思想。

三、分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用实例分析

例1.已知：一次函数y=-x+8和反比例函数y=k/x（k≠0）；①当k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标平面中的图象有两个交点？②设①中的两个交点为A、B，试比较∠AOB同90°的大小。

分析：第①小题求得k<16且k≠0；解第②小题时，鉴于k<0或090°；当0

例2.让|b+1|=|b|+1式子成立的条件是什么？

（A）b为任意实数值（B）b≥0（C）b≤0（D）b≠0

分析：在破解这道题目时，可以采用分类讨论的思想，该题题干中等号两边的都含有绝对值符号，且已知条件中没有给出实数b的具体取值范围，因此绝对值符号去掉较为困难。此时我们可以通过“零点分段”的分类讨论法，令|b+1|=0，|b|=0，可以分析得出b=0和b=-1；依次假设b<-1，b≥0，-1≤b≤0。

解：当b<-1时，该式中左边=-（b+1），右边=-b+1，左边≠右边；当-1≤b≤0时，左边=b+1，右边=-b+1，左边≠右边；当b≥0时，左边=b+1，右边=b+1，左边=右边。因此该题（B）为正确答案。

例3.某超市推出如下优惠方案：一次性购物不超过100元不享受优惠；一次购物超过100元，但是不超过300元一律9折；一次购物超过300元一律8折。王波两次购物分别付款80元和252元。如果他一次性购买与上两次相同的商品，则应付款为多少？

解：第一次购物显然没有超过100元，因为80/0.9=88，所以第一次实际购物价值为80元。第二次购物分两种情况：第一种情况是不超过300元时，实际购物价值为252/0.9=280，又因为（80+280）×0.8=288，则应该付款总额为288元；另一种情况是实际购物价值超过300元，则实际购物价值是252/0.8=315，又因为（80+315）×0.8=316，所以应付款总额为316元。由此可得如果王波一次性购买与上两次相同的商品，付款金额为288元或316元。

总之，在数学教学中，教师要转变教育思想，努力创新教育方式，在课堂中不断渗透分类讨论的思想，在课后习题中加强分类讨论思想的深化和运用，这样才能帮助学生培养正确的分类讨论思想，使其在以后的数学学习能够更加轻松。并且，分类讨论的思想也帮助学生们开拓了学习的思维，培养了严谨的学习态度和全面的思考方式，使其在以后的学习和生活中能够受益终生。

作者单位 甘肃省平凉市华亭县皇甫学校

编辑 张晓楠