一类“显隐混搭型”分段函数的图像及其应用——以零点相关问题为例

浙江省衢州第二中学　(324000)　傅建红



一类“显隐混搭型”分段函数的图像及其应用
——以零点相关问题为例

浙江省衢州第二中学(324000)傅建红

一、策略分析

我们知道，图像法是解决函数零点相关问题的重要手段，但本题中这类函数将如何作图？让我们从分析f(x)的构成入手：因为当x∈D1时，f(x)=g(x)，即f(x)在D1上的图像已定；但当x∈D2时，f(x)=Af(ωx+φ)+k，故f(x)在D2上的图像未能直接给定.然而，y=f(x)与y=Af(ωx+φ)+k的图像之间有着“天然”的联系，所以我们只要以f(x)在D1上的图像为起点，一步一步的往上“攀”(拾级而上)，即可作出f(x)在D2上的图像.为明晰图像由来，先给出如下性质：

性质1(平移变换) 设f(x)=

证明：因为当x∈[a,b]时，有f(x)=g(x)，所以当x-l∈[a,b]，即x∈(a+l,b+l]时，有f(x-l)=g(x-l)(迭代)，由于(a+l,b+l]⊂(b,+∞)，所以f(x)=f(x-l)+k=g(x-l)+k；再当x-l∈[a+l,b+l]，即x∈(a+2l,b+2l]时，f(x-l)=g(x-2l)+k(再迭代)，因为(a+2l,b+2l]⊂(b,+∞)，所以f(x)=f(x-l)+k=[g(x-2l)+k]+k=； …；以此类推，故当x∈(a+nl,b+nl](n∈N)时，f(x)=g(x-nl)+nk得证.

说明：由性质1的证明过程可知，此时分段函数f(x)可以写成

性质2(伸缩变换)设f(x)=

性质3(对称变换) (1)设f(x)=

(其中a

证明：(1)因为当x∈[a,b]时，有f(x)=g(x)，所以当2b-x∈(a,b]，即x∈(b,2b-a]时，有f(2b-x)=g(2b-x)(迭代)，所以f(x)=f(2b-x)=g(2b-x).

(2)证明同(1)，略.

说明：由性质3知，函数f(x)在区间(b,2b-a]上的图像可由f(x)在[a,b]上的图像关于直线x=b(点(b,c))对称得到.

评注：(1)性质1仅考虑了l>0且k>0时的平移变换，性质2仅考虑了A>1且0<ω<1下的伸缩变换，而性质3仅考虑了函数在连续区间上的对称变换，其它情形下的变换性质可由读者自行推导；

二、应用举例

(1)零点个数问题

例1设函数f(x)=

A.4B.5C.6D.7

图1

变式1定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足：(1)f(2x)=2f(x)；(2)当2≤x≤4时，f(x)=1-|x-3|.则函数g(x)=f(x)-2在区间x∈[1,28]上的零点的个数为(答案：4)

(2)零点之和问题

A.3n2+3nB.3×2n+2+9

C.3n+2+6D.9×2n+1-3

图2

变式2已知函数f(x)=

(3)参数范围问题

例3已知函数f(x)=

区间[-2,4]内有3个不同实根，则实数a的取值范围是().

A.(-2,0)B.(-2,0]

C.(-2,0)∪(1,2)D. (-2,0)∪{1}

图3

解:方程f(x)=x+a在区间[-2,4]内有3个不同实根，即函数y=f(x)(x∈[-2,4])图像与动直线l:y=x+a在同一坐标系下有3个不同的交点.先作y=f(x)的图像：作函数y=1-|x+1|(x∈[-2,0])的图像→将所得图像向右平移2个单位再纵向伸长为原来的2倍→重复这两个动作，即得函数f(x)图像(如图3)；然后作直线y=x+a.观察图像易知：当动直线l平移至l1与l2之间以及在l3上时，两图像有3个交点.易知a为直线l在y轴上的截距，所以a∈(-2,0)∪{1}，故选D.

变式3已知函数f(x)=

说明:不难看出，上述三例的命题手法如出一辙(均以混搭函数为背景，考察函数零点相关问题)，其解题思想也完全一致(数形结合)，因此，只要能作出函数(尤其是混搭函数)的图像，即可为后续解答铺平道路.限于篇幅，本文变式只给出答案.

综上，本文通过函数迭代，揭示了f(x)=

参考文献

[1]应立君,余雪赞.例说函数图像的变换[J].中学教研(数学),2014,7.