空间光学遥感器次镜调姿机构多目标优化设计

韩春杨，徐振邦，吴清文，秦 超，夏明一(中国科学院长春光学精密机械与物理研究所空间机器人系统创新研究室，长春130033)



空间光学遥感器次镜调姿机构多目标优化设计

韩春杨，徐振邦，吴清文，秦 超，夏明一
(中国科学院长春光学精密机械与物理研究所空间机器人系统创新研究室，长春130033)

摘要:次镜在轨精密调姿技术是空间光学遥感器关键技术之一。针对用于空间光学遥感器次镜在轨调姿的Hexapod精密调姿平台机构的设计需求，以定位精度和静刚度为准则对其构型进行多目标优化设计。建立了Hexapod平台机构运动学模型，采用快速坐标搜索法分析了Hexapod平台的工作空间；按照次镜调姿机构性能要求，提出了定位精度指标和抗变形指标，并据此建立了以构型参数为变量的优化目标函数，利用遗传算法对两个单目标函数进行了优化；利用加权分配法构造了统一约束目标函数，利用遗传算法对其进行了多目标优化。优化后动平台定位精度提高8. 3%，抗变形能力提高62. 5%。

关键词:定位精度；静刚度；遗传算法；多目标优化；快速坐标搜索法

1　引言

大型空间光学载荷中同轴TMA系统和离轴TMA系统包含多项关键技术，其中精密调姿技术是高分辨率同轴或离轴三反空间相机必不可少的关键技术之一[1-2]。由于空间相机在发射过程中运载条件(如冲击、振动、过载等)和在轨运行时环境条件(如压力、温度、微重力等)改变都将导致空间相机的位姿发生不同程度变化，导致成像质量下降。因此，为了保证成像质量，需要对空间相机的位姿变化量进行修正，设计高精度、高稳定性的调姿机构十分必要[3-4]。

Hexapod型六维精密调姿平台因其高精度、无积累误差、高刚度和高承载能力等特点，在光学载荷尤其是大型光学望远镜次镜调姿过程中发挥着重要的作用[5-8]。大型光学望远镜次镜调姿机构通常有自由度、行程、精度和遮光面积等性能要求[9]，而对于调姿平台而言，将其应用于大型光学望远镜次镜调姿过程中面临的主要技术困难就是在修正姿态变化量时，次镜调姿机构定位精度能力，以及在外力作用下，次镜调姿机构对抗变形能力[10-11]。

近几年，国内外学者针对如何提高Hexapod型次镜调姿平台定位精度和静刚度做了大量的研究。文献[12]基于遗传算法对Stewart平台的运动学特性进行最优设计，但未提及如何提高Hexapod型调姿平台的抗变形能力。文献[13]基于大射电望远镜精调Stewart平台的设计准则，建立了综合衡量Stewart平台运动精度和质量的双目标优化模型，以其结构强度和固有频率为约束条件，采用自适应遗传算法对该优化问题求解，但没有提及Hexapod型次镜调姿平台在静载荷作用下的抗变形能力。

本文根据上面论述的不足，做了如下方面的研究。首先，建立次镜调姿机构运动模型，采用快速坐标搜索法分析Hexapod平台的工作空间。其次，按照次镜调姿机构性能要求，提出次镜调姿机构定位精度指标和抗变形指标，根据上述指标建立以构型参数为变量的优化目标函数，利用遗传算法对两个单目标函数进行优化。最后，构造多目标约束函数，利用遗传算法对上述多目标函数进行优化。从而提高次镜调姿机构定位精度能力和静载抗变形能力，以缩短设计、加工周期，节约设计、加工成本。

2　次镜调姿机构运动学模型

次镜调姿机构具有动平台、定平台和6根支腿组成，如图1所示。建立定坐标系B-OXYZ与动坐标系P-OXYZ，其中动、定坐标系分别固定在上、下平台的中心处。动坐标系随上平台一起运动，动坐标系在定坐标系的位姿用向量q = [t，qP]T表示，t = [x、y、z]T为动坐标系原点OP在定坐标系中的位置，qP= [γ、β、α]T为动坐标在定坐标系中的姿态角。上平台各铰点用Pi(i = 1～6)表示，下平台各铰点用Bi(i = 1～6)表示。Pi在P-OXYZ系的坐标为，在B-OXYZ系的坐标为。Bi在B-OXYZ系的坐标为。上铰圆半径为RP(P表示上平台动坐标系原点)，下铰圆半径为RB(B表示下平台定坐标系原点)，铰点P6与P1的圆心角为φ(简称上圆心角φ)，铰点B6与B1的圆心角为θ(简称下圆心角θ)。

第i个支腿BiPi在定系中的向量用表示如公式(1):

为坐标变换矩阵，其中s(˙) =sin(˙)，c(˙) =cos(˙)。

公式(1)左右两边对时间求导，可得次镜调姿平台的雅克比矩阵J，它描述了关节空间支腿的运动速度与动平台运动速度之间的线性关系，如公式(2):

3　次镜调姿机构工作空间分析

3. 1 工作空间的影响因素

Hexapod型次镜调姿平台的工作空间是操作器上某一给定参考点(大多数为动平台的中心点)可以到达的点的集合[14-15]。工作空间是位姿的函数，通常需要在六维空间内进行描述。影响该机构的工作空间的主要因素有各支撑杆伸长量限制、上下平台运动副转角限制以及支撑杆干涉限制。

3. 1. 1 支撑杆杆长限制

设Lmin、Lmax分别为支撑杆伸长量的最小值和最大值，则约束条件如公式(3):

3. 1. 2 支撑杆铰链的限制

由于次镜调姿平台自身结构的限制，设支撑杆上下铰链的转角极限为θPmax、θPmin、θBmax和θBmin，θPi与θBi为支撑杆与动静平台法向向量nP和nB的夹角，如图2所示。

图2　铰链转角约束示意Fig. 2 Schematic diagram of the hinge angle constraint

针对图2所示的铰链转角的约束关系，可得铰链转角的约束条件公式(4)～(5):

3. 1. 3 支撑杆的运动干涉

假设各支撑杆均是圆柱形，其直径为D，若Di，i +1(i，i +1 =1，2，…，6)为相邻的第i条支撑杆与第i +1条支撑杆之间的最短距离，则两支撑杆不发生干涉的条件如式(6):

3. 2 利用快速坐标搜索法计算工作空间

由于六维空间很难建立，通常是通过描述工作空间的子空间来间接地反映工作空间。本文参考文献[16]做法，忽略连杆之间的干涉影响，采用快速坐标搜索法来确定Hexapod型次镜调姿平台的工作空间。

首先，将工作空间内的坐标点用极坐标表示，如图3所示。在起始角γ0时，极径A0从零递增直至机构的各支撑杆杆长或关节的最大转角约束条件之一，极坐标A1就是工作空间的边界点，其极径为ρ0，计算流程如图4所示。其次，给极角γ一个增量Δγ，所以得到极坐标为(ρ0，γ+Δγ)点T(如图3所示的点T1)，如果点在工作空间内，则递增极径直至满足上述约束条件之一，即可得到工作空间的边界点A2；如果点T在工作空间的外边(如图3所示的点T2)，则递减极径直至满足约束条件之一，即可得到工作空间的边界点A3。最后，重复上述步骤，直到计算Hexapod型次镜调姿平台的所有工作空间。

图3　快速极坐标搜索法示意图Fig. 3 Schematic diagram of the fast polar coordinate searching method

图4　工作空间计算流程图Fig. 4 Schematic diagram of the workspace calculation

Hexapod型次镜调姿平台的结构参数为:下平台半径RB=0. 2 m，上平台半径RP=0. 15 m，上铰点投影点圆心角φ=20°，下铰点投影点圆心角θ=104°，上平台零位高度H = 0. 123 m。当下平台相对上平台的位姿[0，0，0. 123，0，0，0]时，求得Hexapod平台工作空间如图5～图7所示。

图5　工作空间三维图Fig. 5 3-D diagram of the workspace

图6　工作空间x-y平面图Fig. 6 x-y workspace diagram

图7　工作空间y-z平面图Fig. 7 y-z workspace diagram

从图5～图7可以看出，由于铰链是对称分布在两个圆周上，但都不是均匀分布。因此，工作空间的轮廓线呈对称性，但不是圆周线。

4　次镜调姿机构构型优化

4. 1 次镜调姿机构优化设计性能指标

4. 1. 1 定位精度指标

文献[17]提出了一些用于Hexapod型平台优化设计的灵巧度性能指标，即Jacobian矩阵。如果Jacobian矩阵为非奇异矩阵，假设驱动杆伸长变化量为6×1的矩阵L，驱动杆的输入速度有一定偏差，那么，动平台的运动速度也会有一定的偏差，可得公式(7):

对于公式(7)两边取范数可得公式(8):

由公式(8)得出，C( J )相当于关节空间驱动杆运动速度相对偏差的放大因子。因此，在对Hexapod型次镜调姿平台结构参数优化设计时，为了提高运动的精确性，应使机构的Jacobian矩阵的条件数C( J )在其操作范围内尽可能取最小值。

4. 1. 2 抗变形指标

假设基于次镜调姿机构的广义刚度矩阵为K，则6×1的外力矩阵为F与6×1的位姿变形量矩δq之间的关系为:

由公式(9)可以得出，变形的大小与机构本身的刚度和作用力有关[18]。原则上，变形极值越小，次镜调姿机构平台机构的刚度越大。假设C为柔度矩阵，则C = K-1，式(9)可表示为式(10):

对于式(10)取2-范数，可得公式(11):

由公式(11)可以看出，在给定力F的作用下，‖C‖2相当于位姿变形量δq的放大因子。因此，我们选择柔度矩阵C的2-范数作为优化设计的目标之一，在进行Hexapod型次镜调姿平台结构参数优化设计时，为了提高次镜调姿机构的静刚度，应使其柔度矩阵C的2-范数在其操作范围内取得尽可能小的值。

4. 2 基于遗传算法的次镜调姿机构结构优化设计

为了同时考虑到次镜调姿机构定位精度指标和抗变形指标，在Hexapod型次镜调姿平台工作空间内选取10组位姿，采用分配权重因子法[19]将上述两指标统一，目标函数如公式(12):

式中，wi为权重因子，且w1+ w2= 1，cond(Ji)和‖Ci‖2分别代表第i个位姿的雅克比矩阵条件数和柔度矩阵2-范数。

公式(12)目标函数的设计变量、设计变量初值和设计变量边界条件如表1所示:

表1　次镜调整机构结构设计相关参数Table 1 The related design parameters of TSMAM

本文采用MATLAB优化工具箱遗传算法，对定位精度指标和抗变形两单目标函数进行优化，同时，对上述多目标函数进行优化，优化结果如表2所示。

表2　次镜调整机构结构优化结果Table 2 The structure optimization of TSMAM

从表2可以看出，优化前后构型设计参数在数值上有较大的差别。

针对表2优化结果，分别计算初始设计参数、定位精度优化以及多目标优化下的雅克比矩阵的条件数，如图8所示。从图8可以看出，在10组位姿下的雅克比矩阵条件数优化之后与优化之前相比减低36. 8%，而定位精度优化及多目标优化下的雅克比矩阵的条件数在数值上差别不明显，多目标优化下的结果最优。

图8　优化前后的雅克比条件数Fig. 8 Cond(J) before and after optimization

设各支腿6×1的伸长误差矩阵ΔL为[5 μm，5 μm，5 μm，5 μm，5 μm，5 μm]T，可以求出在10组位姿下动平台6×1的位姿误差Δq 的2-范数，如图9所示。从图9可以看出，在10组位姿下6×1的位姿误差矩阵Δq的2-范数多目标优化之后与优化之前相比减少8. 3%，而多目标优化下的Δq的2-范数相对于定位精度优化下的，也降低了3. 5%，该数据表明多目标优化下对降低位姿误差起到很好的作用

图9　优化前后的位姿误差Fig. 9 Position error before and after optimization

针对表2的优化结果，分别计算出初始设计参数、抗变形优化以及多目标优化下的柔度矩阵的2-范数，如图10所示。从图10可以看出，在10组位姿下的柔度矩阵的2-范数优化之后与优化之前相比减低63%，而抗变形优化及多目标优化下的柔度矩阵的2-范数在数值上差别不明显，多目标优化下的结果最优。

设各支腿的轴向刚度为k = 3×106N/ m，对上平台施加单位外力以及力矩，可以求出在10组位姿下动平台6×1的位姿变形量δq的2-范数，如图11所示。从图11可以看出，在10组位姿下

6×1的位姿变形量δq的2-范数优化之后与优化之前相比减低62. 5%，而抗变形优化和多目标优化下6×1的位姿变形量δq的2-范数在数值上没有明显的变化，但多目标优化下的结果略优。

图10　优化前后的静柔度数Fig. 10 ‖C‖2before and after optimization

图11　优化前后的位姿变形量Fig. 11 Position deformation before and after optimization

5　结束语

本文对某大型空间光学遥感器次镜调姿机构进行结构多目标优化设计。采用快速坐标搜索法分析了次镜调姿机构的工作空间，得到次镜调姿机构动平台的工作范围。基于优化设计性能指标，即定位精度指标和抗变形指标，对次镜调姿机构结构参数进行多目标优化，优化前后动平台定位精度提高8. 3%，抗变形能力提高62. 5%。

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Multi-objective Optimization Design for Secondary Mirror Adjusting Mechanism in Space Optical Payload

HAN Chunyang，XU Zhenbang，WU Qingwen，QIN Chao，XIA Mingyi
(Innovation Lab of Space Robot System，Changchun Institute of Optics，Fine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Science，Changchun 130033，China)

Abstract:The precise positioning of the second mirror in space is a key technology for space optical payload. To adjust the second mirror of the large optical payload，a Hexapod precision positioning mechanism called the secondary mirror adjustment mechanism(TSMAM) was designed and the configuration was optimized based on the positioning accuracy and anti-deformation. First，the kinematic model of the hexapod platform was established and the workspace of the Stewart platform was determined with the fast polar coordinate searching method. Secondly，the positioning accuracy and anti-deformation index were put forward. Then the optimization function was established and two single objective functions were optimized by genetic algorithm. At the same time，a unified constraint function of weight factor was constructed and the multi-objective function was also optimized by genetic algorithm. The results showed that the positioning accuracy was improved by 8. 3% and the anti-deformation capacity was improved by 62. 5% after optimization.

Key words:positioning accuracy；static stiffness；genetic algorithm；multi-objective optimization；fast polar coordinate searching method

作者简介:韩春杨(1987 - )，男，硕士，研究实习员，研究方向为光学望远镜次镜微调机构、空间载荷力学分析。E-mail:hanchunyang. 312 @163. com

基金项目:国家自然科学基金资助项目(11302222)；中国科学院长春光学精密机械与物理研究所所创新基金(Y4CX1SS141)

收稿日期:2015-09-15；修回日期:2015-12-22

中图分类号:TH703；TH743

文献标识码:A

文章编号:1674-5825(2016)01-0081-07