基于PSO优化算法的空间机械臂振动抑制研究

辛鹏飞，荣吉利，杨永泰(.北京理工大学宇航学院力学系，北京0008；.泉州装备制造研究所，中科院海西研究院，泉州36000)



基于PSO优化算法的空间机械臂振动抑制研究

辛鹏飞1，荣吉利1，杨永泰2
(1.北京理工大学宇航学院力学系，北京100081；2.泉州装备制造研究所，中科院海西研究院，泉州362000)

摘要:针对空间柔性机械臂的末端残余振动抑制问题，提出了一种基于逆运动学分析和粒子群优化算法的柔性机械臂笛卡尔空间轨迹规划和振动抑制的新方法。采用自然坐标法和绝对节点坐标法分别对柔性关节、柔性臂杆进行动力学建模，最终得到全面考虑柔性特性的柔性机械臂动力学模型；针对机械臂末端笛卡尔空间“点到点”和“静止到静止”的规划运动，采用五次多项式函数对末端轨迹进行离散规划，并通过逆运动学理论分析求解得到含冗余参数的关节空间电机转动轨迹；采用粒子群优化算法(PSO)，将满足机械臂末端振动最小化的轨迹规划问题转换为待定冗余参数的优化问题，并迭代优化求解该参数；最后以三自由度柔性机械臂开展仿真研究。仿真结果表明，提出的规划方法具有很高的收敛速度，节约了计算时间；能够实现预定的机械臂轨迹规划；对机械臂末端点的残余振动能够进行有效地抑制。

关键词:柔性机械臂；轨迹规划；振动抑制；逆运动学；粒子群算法

1　引言

空间机械臂具有适应微重力、高温差、高辐射太空环境的作业能力，采用空间机械臂协助或代替航天员完成一些太空作业工作，如完成释放、回收卫星以及空间站的在轨装配、维修等任务，在经济性和安全性方面都具有重要的意义，已成为空间技术研究领域内的一个重要的研究方向[1]。空间机械臂具有轻质、结构尺寸大等特点，其关节在跟随电机运动时有不同步的现象，从而导致振动难以消除的问题，不但使位置控制或力控制精度大大降低，激发系统共振，甚至使结构产生过早的疲劳破坏，影响结构的使用寿命[2]。因此，如何有效提高机械臂系统的定位精度并且同时降低弹性振动，是亟待解决的重要问题之一，该问题的研究得到了国内外众多学者的广泛关注。

利用轨迹规划优化方法来进行振动抑制，是柔性机械臂振动抑制研究领域的热点。主要是通过对机械臂的轨迹进行优化设计，从而达到振动抑制的目的。Park等[3[4]增加了力矩约束条件，通过在两连杆机械臂上的仿真证明无论在无约束还是有力矩约束的情况下，选出的最优轨迹对残余振动都有很好的抑制。但该领域的研究多采用欧拉方程或者假设模态法进行建模，一直未解决柔性机械臂建模不精确、不能求解大变形大位移的问题。Kojima等[5]研究了双连杆柔性机械臂的最优轨迹规划残余振动抑制的问题，基于遗传算法(Genetic Algorithms，GAs)进行了优化，证实该方法可以显著地抑制残余振动。但该模型仅考虑了臂杆柔性的问题，且需要迭代400代才能得到较优的振动抑制结果。徐文福等[6]采用正弦-梯形函数作为关节速度的基函数，结合粒子群优化算法来优化基函数的系数，从而优化关节速度，最终达到残余振动抑制的目的。但是，在其机械臂模型中，仅考虑了臂杆柔性，并且需要优化14个参数，这将消耗大量的计算时间。

本文采用自然坐标法(NCF)和绝对节点坐标法(ANCF)相结合，对空间柔性机械臂进行动力学建模，得到其多体系统动力学方程为指标-3的微分代数方程。结合广义α法及稀疏矩阵缩放技术，实现动力学方程的高效精确求解。利用五次多项式函数规划机械臂末端轨迹。利用逆运动学理论，将笛卡尔空间的末端轨迹转换为关节空间含自运动参数的关节转角轨迹。结合粒子群优化算法，针对柔性机械臂的空间定位和残余变形问题，对影响构型的自运动系数进行优化选择，以达到抑制机械臂残余振动幅值的目的。本文采用绝对节点坐标法建模，以精确描述空间机械臂系统的大变形大位移运动，并以较少的迭代优化次数优化关节自运动项，在完成轨迹规划的同时，较好地抑制机械臂末端残余振动的产生。仿真结果验证了提出的基于逆运动学理论和粒子群优化算法相结合的柔性机械臂轨迹规划与残余振动抑制方法的有效性。

2　柔性机械臂建模及动力学方程描述

根据不同的变形假设，出现了多种不同的描述柔性体的方法。在这些方法中，广泛使用的假设模态法和浮动坐标法仅仅适用于小变形假设，不能精确描述柔性体的大变形问题；而近年来发展起来的绝对节点坐标方法适合用于解决大变形与大位移相耦合的问题。

采用Shabana与Yakoub首次提出的ANCF三维二节点梁单元[7]对柔性臂杆进行建模，该单元如图1所示:

图1　绝对节点坐标法描述的三维二节点梁单元Fig. 1 Three-dimensional beam element of two nodes described by ANCF

该单元中任意一点P的全局位置矢量如式(1):

其中，S为单元的形函数，为常值矩阵；e为单元的坐标矢量，定义如式(2):

柔性关节对系统残余振动影响显著[8]，它本质上是两个刚性体之间通过扭簧进行连接，因此属于多刚体系统动力学建模的范畴。本文采用自然坐标法对刚性体建模，详细过程参见文献[9]。如图(2)为柔性关节示意图。本文采用Spong 等[10]提出的线性“转子-扭簧系统”模型，电机、关节受到的力矩如式(3):

其中，τ为电机受到的驱动力矩，由电流引起，与电流大小有关；τm表示电机受到的力矩，τj表示关节受到的力矩；θ为柔性关节系统转动角度，即电机与关节的相对转动角度；θm为电机实际转动角度；K表示扭转弹簧的非线性扭转刚度，一般通过实验手段测得。

图2　自然坐标法描述的柔性关节Fig. 2 Flexible joint described by NCF

结合绝对节点坐标法和自然坐标法，可以建立全面考虑柔性特性的空间机械臂动力学模型，且形成的刚柔耦合多体系统动力学建模方法，具有常数质量矩阵、不存在科氏力和离心力、约束方程简洁等优点。描述受完整约束的机械臂系统动力学特性的指标-3的微分代数方程组形式如式(4)[11]:

式中:M为系统质量矩阵，q为系统广义坐标，C为系统约束方程，Cq为系统约束方程对广义坐标的雅可比矩阵，λ为拉格朗日乘子，Q(q)为系统广义外力，F(q)为系统弹性力。

本文在求解上述微分代数方程组时，采用了Arnold等提出的广义α法迭代策略，这种算法的精度和效率已经得到了充分的验证[12]。

3　机械臂逆运动学分析

对空间机械臂系统而言，所谓逆运动学分析，是指已知笛卡尔空间轨迹，反求解关节空间轨迹。机械臂末端执行器的位置、姿态规划通常以笛卡尔空间内机械臂末端轨迹函数X为对象，而系统本身控制对象为关节空间的电机转动角θ，因此对机械臂系统进行逆运动学分析有助于更好地设计、控制末端执行器的轨迹和姿态。同时，由于空间机械臂往往具有冗余自由度，使得通过逆运动学得到的解不唯一，因此可以附加一些约束从而利用优化算法寻求满足符合这些约束条件的解或按一定准则寻求最优解。

末端轨迹速度与关节转角速度的关系如式(5):

其中J为雅可比矩阵。

由最小范数法[13]，求解式(5)的逆运动学关系，得到式(6):

其中，J+是J的伪逆矩阵，J+= JT(JJT)-1；I是n ×n的单位矩阵；∈ℝn是任意矢量；(I-J+J)是零空间N(J)的映射矩阵，X为笛卡尔空间规划轨迹函数，(I - J+J)是正交于J+的齐次解。这里齐次解的物理意义是，机械臂关节产生自运动，而不引起末端的运动。零空间的速度项会对机械臂产生构型上的改变，而不会影响末端的速度，因此可作为优化项来处理不同的优化目标。

在本文中，末端轨迹由笛卡尔空间规划函数获得，而关节的控制力矩是在关节空间施加。因此利用公式(6)、(7)，可以获得关节转动轨迹函数，同时冗余参数的存在使得优化其他目标函数成为可能。

4　粒子群优化算法

粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)，由Kennedy和Eberhart于1995年首次提出[14]。PSO算法从随机解出发，通过迭代寻找最优解，通过适应度(待优化的目标值)来评价解的品质，具有实现容易、精度高、收敛快等优点。

本文采用Clerc等[15-16]提出的收缩因子粒子群算法，与其他粒子群算法相比，具有更快的收敛速度。设在一个n维的搜索空间中，由m个粒子组成的种群，其中第i个粒子的位置为xi∈ℝn，其速度为vi∈ℝn；pbesti∈ℝn表示第i个粒子的最优位置，gbest∈ℝn表示所有粒子的最优位置。粒子将根据公式(8)改变速度和位置:

其中c1与c2为学习因子，r1与r2为[ -1，1]之间的任意值，χ称为收缩因子，定义为式(9):

其中，φ= c1+ c2，φ＞4。

图3给出粒子群算法的一般流程:

图3　粒子群算法流程图Fig. 3 Flow chart of PSO algorithm

5　数值算例

以平面三连杆机械臂末端直线运动为例，分析通过优化机械臂的自运动项来抑制残余振动的效果，验证上文所提出的空间机械臂末端振动抑制方法的有效性。三连杆机械臂构型如图4所示，其臂杆的几何参数和力学参数均相同，如表1所示。

图4　平面三连杆机械臂构型Fig. 4 Configuration of planar three-link manipulator

表1　柔性臂杆几何与力学参数Table 1 Geometry and mechanical parameters of flexible links

工程上常用五次多项式函数规划机械臂末端笛卡尔空间运动轨迹，假设满足初始及终止时刻速度、加速度均为零，则轨迹定义如式(10):

其中，tf代表规划时间，r0和rf分别代表机械臂末端初始位置和终止位置。

为了体现所提出的方法对于残余振动抑制的效果，设计了一个较短时间内运动较长距离的情况，以使得残余振动效果更加明显，具体描述如下:机械臂末端前1 s内由[2. 5339，1. 3623]运动至[1. 9056，1. 8864]，后0. 5 s用于研究残余振动的情况。

利用式(6)～(7)，并采用差分方法求得关节转角θ，如式(11):

利用PSO算法，以运动结束后末端残余振动幅值最小化为优化目标，通过同时优化参数和

，实现抑制残余振动的目的。该优化模型的数学表达式如式(12):

PSO算法基本参数设置:粒子个数设置为50，迭代次数为100代。学习因子c1与c2取常用值，均为2. 05。

图5为残余振动幅值随迭代次数的变化情况。

图5　最优目标函数的变化曲线Fig. 5 Time history of the optimal function value

由图中可以观察到，指标函数一直在单调递减，只要没有达到最优值，寻优就一直在继续。机械臂末端的振动幅值随着迭代次数的增加迅速降低，由最初的15. 6 mm降至6. 9 mm达到当前优化参数下的极限，降低了接近一个数量级，优化效果明显。图6为采用PSO算法优化之后得到的关节角度曲线，各个关节转动轨迹光滑连续，易于工程实现。

图6　最终轨迹图示与最终关节转角曲线Fig. 6 Final endpoint trajectory and curve trajectories

6　结论

本文提出了一种新的将逆运动学理论与粒子群优化算法相结合的轨迹规划与振动抑制方法。结合自然坐标方法以及绝对节点坐标方法，建立了全面考虑关节柔性和臂杆柔性的动力学模型；基于空间逆运动学理论将笛卡尔末端规划轨迹转化为关节空间轨迹；采用粒子群优化(PSO)优化设计方法，优化了求解逆运动学方程过程中产生的冗余参数，通过优化最大残余振动这一目标函数，从而达到控制柔性机械臂末端残余振动的目的，大大减小了机械臂末端的残余振动。文中给出的仿真实例说明了该方法的有效性。本文提出的方法具有以下优点:

1)每个关节轨迹需要优化的参数仅有1个，大大减少了待优化参数的数量，从而能够极大地提高优化效率，节约计算时间；

2)规划设计的末端轨迹能够准确快速地转化为关节电机转动轨迹，实现预定的机械臂轨迹规划方案，并且方便具体工程实现；

3)优化后的最优关节轨迹，非常有效地抑制了柔性机械臂末端的残余振动，残余振动幅值较未优化状态减小了一个数量级，效果显著。

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Research on Vibration Suppression of Space Manipulator Based on PSO Algorithm

XIN Pengfei1，RONG Jili1，YANG Yongtai2
(1. Department of Mechanics，School of Aerospace Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China；2. Quanzhou Institute of Equipment Manufacturing，Haixi Institutes，Chinese Academy of Sciences，Quanzhou 362000，China)

Abstract:A new method of trajectory planning and vibration suppression for the flexible manipulator based on inverse kinematics analysis and particle swarm optimization (PSO) algorithm in Cartesian space was proposed in this paper. Natural coordinate formulation (NCF) and absolute nodal coordinate formulation (ANCF) were employed to model flexible joints and flexible links respectively based on dynamics analysis. In the point-to-point and rest-to-rest planning movement of the endpoint of space manipulator in the Cartesian space，the fifth-polynomial function was used to discrete the planning trajectory，and then the inverse kinematics was solved which resulted in joint trajectories including redundant parameters in the joint space. Using the PSO algorithm，the problem of minimizing the residual vibration at the endpoint of the space manipulator was converted into an optimization problem of the redundant parameters. The flexible manipulator with three degrees of freedom was modeled to carry out the simulation research. The simulation results showed that the proposed planning method had high convergence speed，thus could save the computing time greatly；Space manipulator could achieve predetermined trajectory planning and effectively suppress the residual vibration of the endpoint.

Key words:flexible manipulator；trajectory planning；vibration suppression；inverse kinematics；particle swarm optimization algorithm

作者简介:辛鹏飞(1990 - )，男，博士研究生，研究方向为多体系统动力学。E-mail:pengfeixin@126. com

基金项目:中国航天科技创新基金(CAST20100141107)

收稿日期:2015-09-10；修回日期:2015-12-02

中图分类号:O313. 7

文献标识码:A

文章编号:1674-5825(2016)01-0023-06