改进的多目标启发式粒子群算法及其在桁架结构设计中的应用

李丽娟　梁靖昌

摘要：针对工程结构多目标优化设计中出现的约束条件处理能力差、编程复杂，计算效率低且收敛精度差等问题，对启发式粒子群算法（HPSO）进行改进，提出了多目标启发式粒子群算法（MOHPSO），并与多目标粒子群算法（MOPSO）和改进的多目标群搜索算法（IMGSO）进行比较。通过对15杆平面桁架、40杆平面桁架和72杆空间桁架3个经典算例的计算，证明了所提出的MOHPSO算法的有效性。结果表明：MOHPSO算法具有收敛精度高、约束处理能力强、全局最优解选取更合理、非劣解集维护效率高等特点。

关键词：桁架结构；启发式粒子群；多目标优化；约束改进；收敛精度

中图分类号：TU318文献标志码：A

Abstract： According to the common problems in the multiobjective optimization of engineering structures， such as difficulties in dealing with the constraints， the complexity of programming， low calculating efficiency and bad convergence precision， a multiobjective heuristic particle swarm optimizer （MOHPSO） was proposed by improving the heuristic particle swarm optimizer （HPSO）. Then the MOHPSO was compared with multiobjective particle swarm optimizer （MOPSO） and improved multiobjective group search optimizer （IMGSO）. Through three classic examples of 15bar plane truss， 40bar plane truss and 72bar spatial truss structure， the validity of MOHPSO was proved. The results show that the MOHPSO has better convergence accuracy， constraint handling is powerful， the global optimal solution selection is more reasonable and the maintenance efficiency of the noninferiorsolution set is much higher.

Key words： truss structure； heuristic particle swarm optimizer； multiobjective optimization； improved constraint handling； convergence accuracy

0引言

优化问题按目标函数数量可划分为单目标优化和多目标优化[1]，尽管近60%的研究是有关单目标优问题[12]，但实际工程绝大多数是多目标问题优化[3]。结构优化设计一般包括尺寸优化[46]、形状优化[78]和拓扑优化[910]等。对多目标优化问题，经典的处理方式是将其以加权的方式转化为单目标优化问题进行求解[11]，由于加权因子难以精确确定，研究者一直在寻求更合理的多目标优化问题求解方法，其中基于Pareto最优解思想的方法得到广泛关注[12]，包括基于群智能的多目标遗传算法[12]、多目标粒子群算法[13]、改进的多目标群搜索算法[14]等。

本文在启发式粒子群算法（HPSO）[7]的基础上，结合Pareto最优解理论、自适应网格机制[13]和过度可行域[14]，提出了一种适用于结构多目标优化设计的实用算法，即多目标启发式粒子群算法（MOHPSO），并将其应用到桁架结构优化中，试验结果表明，该算法的收敛精度优于目前性能优异的多目标粒子群算法（MOPSO）和改进的群搜索算法（IMGSO），具有较好的应用前景。

1启发式粒子群算法

启发式粒子群算法是在粒子群算法（PSO）[15]的基础上改进并提出的单目标优化算法。

2多目标启发式粒子群算法

鉴于启发式粒子群算法在单目标优化中具有良好的收敛速度和精度，同时也考虑到基于粒子群算法的多目标优化算法[13]在多目标优化中的广泛应用，本文在HPSO的主程序上引入在MOPSO中应用的Pareto最优解集合处理方法——自适应网格机制，以实现基于HPSO的多目标优化算法。

2.1全局最优解的选取

自适应网格技术[13]是应用在MOPSO中处理非劣解集的方法，相对于拥挤度计算机制，自适应网格的管理更为合理，主要体现在其收集的非劣解分布均匀，同时可有效地选取全局最优解。本文在采用自适应网格选取全局最优解时加入禁忌表[14]进行改进，其计算规则如下：

（1）非劣解集的维护与更新：①当非劣解集中为空时，新解直接放进非劣解集中；②若新解被非劣解集中的解支配，丢弃新解；③若新解支配非劣解集中的解，加入新解，并去掉被支配的解；④当新解与非劣解集中解互为非支配关系时，加入新解；⑤对于加入新解的情况，若加入的时候非劣解集已经达到容量最大值，且其值在当前网格范围内，则加入前含有个体数目最大的网格将等概率地被选中一个，然后对该网格中的个体随机删除一个；⑥若加入新解的时候，新解不在目前网格的范围内，则重新划分网格。

（2）整体最优解Pkg的选取：对于包含个体的网格，以赌罗盘[13]的方式选中一个，其中包含个体数越大的网格在罗盘中占的比例越小，当网格被选中以后，再随机选取网格中的一个个体作为全局最优Pkg。此时，该个体被记录到禁忌表中，如果新个体与禁忌表中的个体重复，那么Pkg将再一次通过赌罗盘的方式重新选择，直至其与禁忌表中个体不重复为止。禁忌表的引入可以有效地避开出现相同的Pkg，因此能加强种群的多样性。

2.2变异算子

多目标粒子群算法是一个收敛速度相当快的算法，当处于迭代前期时，该算法有较大可能陷入局部最优解，带来的是收敛精度不高。因此Coello等[13]在MOPSO中加入被广泛用于遗传算法中的变异算子，其计算公式如下

当随机数的值满足式（3），对应的个体将再次产生一个随机数，并运行公式（4）的变异操作；文献[13]建议变异率R取值为0.5。由于在迭代后期，过渡可行域的范围和变异率的值都不大，当达到一定的迭代次数后，两者的取值都归零，本文建议的迭代次数为int（Imax/3），int为取整函数。

2.3过渡可行域

过渡可行域允许一些违反约束条件的个体当作可行解，由于这些伪可行解可能具有较好的适应度值，因此能帮助种群找到最优解，同时利用了原本被丢弃的不可行解，提高了优化的效率。在改进的多目标群搜索算法[14]中，为了避免不可行解对最终优化结果的可行性造成影响，在迭代过程中每经过k次迭代后过滤掉不可行解，k的取值为0.3Imax。

MOHPSO算法流程如下：

（1）随机地初始化粒子群的位置、速度。

（2）对种群中所有粒子计算适应度值，并检查每个粒子是否处于过渡可行域，若不处于过渡可行域，则重新初始化，至所有粒子都在过渡可行域内为止。

（3）由步骤（2）得到在过渡可行域内的初代粒子群初始化Pbest，同时根据自适应网格技术生成外部精英集，并从中选取个体作为Pg。

（4）按公式（1），（2）更新粒子群的速度与位置，其后执行变异算子，对超出位置向量的任一维分量（如第j维）许可范围的粒子取该边界值，如大于上边界时，取上边界值，小于下边界时，取下边界值（拉回自变量边界）。

（5）计算新一代粒子群的适应度值。

（6）检查每个粒子的位置是否违反了约束条件，若粒子飞出了约束条件边界，则采用“回飞技术”[7]使其返回原来的位置。

（7）更新Pbest和Pg，收集非支配解，根据自适应网格技术更新和维护外部精英集，然后采用自适应网格技术从中选取个体作为Pg。

（8）若满足终止条件，结束优化，否则返回步骤（4）进行迭代。4算例分析

3个算例算法参数设置如下：种群大小为300，迭代次数为300，非劣解集的容量大小为50；MOHPSO与MOPSO变异率为0.5，各维网格划分数为30；MOHPSO和IMGSO过渡可行域的范围分别取0.5倍和0.1倍的位移、应力允许值。

4.115杆平面桁架

相对前2个算例，该算例各算法收敛的曲线比较接近。IMGSO独立运行5次的优化结果如图13所示，该算法依然出现收敛不稳定、收敛精度较差的问题，仅1次独立运行非劣解分布在范围7.491～9.534 t上，说明了IMGSO在该优化问题中的收敛离散性较大；MOPSO和MOHPSO在该算例中的收敛情况基本一致，如5次独立运行收敛稳定，得到的非劣解支配了IMGSO，较优的支配优势说明收敛精度良好。从图16可以看出，MOHPSO在Pareto曲线中部，即1.135 t附近的非劣解，出现了支配MOPSO的情况，但大部分区域MOPSO与MOHPSO互为非劣关系，且解的分布较为均匀，这也说明了基于粒子群算法的多目标算法是适合解决72杆空间桁架结构优化问题的。

在文献[8]中，多目标群搜索算法（MGSO）在对10杆、25杆和40杆桁架结构的优化结果中存在收敛精度不足、收敛速度慢以及非劣解分布不均匀等问题，李丽娟等[14]采用过渡可行域、庄家法和禁忌表等方法分别对MGSO的约束处理能力、非劣解排序和发现者的选取进行改进并提出改进的多目标群搜索算法（IMGSO），计算结果表明IMGSO的改进方法有一定的有效性和可行性。综合上述3个桁架结构的优化算例可以看出，同样采用了过渡可行域的MOHPSO算法比IMGSO更加稳定，作为MOPSO的改进算法，MOHPSO的收敛稳定性大为提高；上述的一些约束处理方法在启发式粒子群算法中同样适用，本文通过测试算例的计算结果说明MOHPSO在约束处理能力上比IMGSO更有力，同时收敛精度有较大提高，说明了过渡可行域算子更适合在粒子群算法中应用。5结语

本文提出了一种新型MOPSO改进算法——多目标启发式粒子群算法，其目的是为了有效地改善MOPSO在多约束多目标优化问题上的寻优能力。通过3个带约束含离散变量的桁架结构优化结果对比，发现本文改进算法非常有效，主要体现在MOHSPO的收敛效果比较稳定，解在Pareto最优前端的分布比较均匀，收敛精度较MOPSO和IMGSO有所提高。结果表明，多目标启发式粒子群算法是一种能有效应用于结构多目标优化研究的新型改进算法。参考文献：

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