例谈初中生数学基本活动经验的积累

【摘 要】学生的数学基本活动经验需要在有意义的数学学习活动中逐步积累。基于此，积累数学操作的经验、积累数学交流的经验、积累数学反思的经验、积累数学迁移的经验，并将这些经验用于问题的解决，从而深化对数学问题的认知理解，促进“数学地思维”的主动建构。

【关键词】基本活动经验；积累；理解；建构

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）18-0039-03

【作者简介】张文明，江苏省常熟市外国语初级中学（江苏常熟，215500）教师，常熟市教科研能手。

《义务教育数学课程标准（2011版）》中明确指出：“通过义务教育阶段的学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。”由此可见，数学的基本活动经验是学生实现数学学习过程性目标的一个重要载体，它在数学学习中具有举足轻重的作用与价值。张奠宙教授等人认为数学的基本活动经验是：“在教学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。”也就是说，在经历有意义的数学学习活动中，学生能够了解数学知识发生发展的过程，体会数学知识和方法的运用，积累解题经验，逐步提升元认知水平，从而学会“数学地思维”。在初中数学学习中，学生需要积累哪些经验呢？笔者试作如下探讨。

一、积累数学操作的经验

此处的数学操作主要指具体行为的操作，而不是指思维的操作。日常教学中常说的“让学生亲身经历操作的过程”就是期望学生获得这种操作的经验。学生通过操作体验可以获取进行抽象的直接素材，从而获得直接经验。这种操作主要是为了获得第一手的直接感受、体验和经验，为探究和解决问题提供重要的基础与手段。在数学学习中，学生通过量一量、画一画、拼一拼等操作性活动来解决数学的高度抽象性与自身思维形象性之间的矛盾；以操作为突破口进行解疑释惑，为学生从感性认识过渡到理性认识打下坚实的基础，直至升华到对数学知识的程序性与创造性理解的层次。

例1：长为20，宽为a的长方形纸片（10

审读本题后，学生会发现不方便正向推演，但第三次操作后得到的图形是正方形，则我们可“倒推”，从而知道第二次操作后的图形，进一步可以知道第一次操作后的图形，再推理出原来的长方形纸片的宽。于是，结合小纸片在草稿上画出图2来，进而解出题目。

数学操作活动是集归纳推理与演绎推理于一体的数学学习手段，是学生发现问题和解决问题的重要途径之一。学生可从中提炼解决问题的操作要义和思想方法，在此过程中可使知识从内隐到外显，从操作活动中积累经验，获得从具体到抽象的深入认识，从而构建较为缜密的知识体系。

二、积累数学交流的经验

数学交流主要指通过对话分享思想和认识。数学交流活动是学生学习数学的重要方式之一。在数学学习活动中通过广泛的交流活动，使学生与外界信息接触，在碰撞、排斥、融化、吸收、沟通中不断地建构起自己的知识体系。它不仅有利于信息（问题分析、问题理解、问题解决等信息）的传输，还能唤起学生的问题意识，促进学生思维的升华，增进学生的理解，同时还有利于发挥学生学习的主动性，培养学生积极的学习态度和情感，促进学生和谐发展。师生对话、生生对话可以帮助学生在对话中复习数学概念、解析数学问题，去除对数学问题的盲点、疑点等，逐渐接近数学本原，理解数学本质。

例2：如图3所示，在矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，求AB的长。

教师在讲解此题时，可先提出如下问题：读题释义，你们能否说一下读完本题后的想法？接着根据学生的回答，不时地提出“是什么”和“为什么”的问题，学生在教师的引导下，会逐渐说出如下观点：

①“折叠纸片使AB边与对角线AC重合”中的“折叠”就是上一章我们学过的轴对称变换，折痕所在直线即为对称轴。

②轴对称性质之一是图形具有全等性：成轴对称的两部分是全等形，对应边、角相等。

③刚才的折叠可用符号表示为：△ABE≌△AFE，AB=AF，BE=FE，∠BAE=∠FAE。（符号化思想）

④建议立刻在图上标出BE=EF=3，易算CE=5，CF=4，但是AB无法直接计算出来。（显性化策略）

⑤可以用方程，不妨设AB=x，则AF=AB=CD=x。（方程思想）

⑥利用直角三角形的勾股定理建立方程。因为在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，所以x2+82=（x+4）2，解方程得x=6。

可以看到，在师生的讨论、对话中运用了符号化思想、显性化策略、方程思想等，同时也积累了学生数学交流的经验。

马丁·布格说：“在教学中，不是一种远距离的‘我—他关系，而是一种近距离的‘我—你关系，正是这种‘我—你的关系和敞开胸怀，才可以称之为对话。”在这种对话交流中学生大胆发言，合理猜想，自主推理，从而学会思考与质疑，从中健全自己的知识体系。从这层意义上说，数学交流是积累数学活动经验中极其重要的一环。

三、积累数学反思的经验

反思，即为反过来思考，回头反省。数学反思往往是学生经历一个学习历程后对解决方法、过程、策略等方面进行梳理与归纳，回顾问题解决的正误、得失等思维过程。史宁中教授认为：帮助学生积累基本活动经验，就是使学生会想问题，会做事情。皮亚杰提出“反省抽象”，即自己做了实践性活动后脱身出来，作为一个旁观者来看待自己刚才做了些什么事情，把自己所做的过程置于被自己思考的对象地位上加以考虑，并从中归纳出结论。

例3：已知平行四边形ABCD的周长为52，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F分别为垂足，若DE=5，DF=8，求BE+BF的长。

一般情况下，学生的第一反应，会画出如图4所示的图形，进而利用S□ABCD=AB·DE=BC·DF，这一等式，列方程解出答案为26+13。

教师此时需要提醒学生再思考下问题的已知条件与所画的几何图形是否恰好对应。学生在思索一番后，能够恍然大悟，画出图5，用同样的方法解出答案为6+3。

在教学中教师引导学生对审题、几何作图、表达形式、求解等方面的反思有助于寻求正确答案、规范解题的书写以及探寻思维的过程。弗赖登塔尔说过：“只要儿童没能对自己的活动进行反思，他就达不到高一级的层次。”只有经历了反思，才能让知识背后的方法、策略、思想等一一凸显出来。因此，引领学生进行学习活动的反思是提升经验的必要途径。在数学学习中，教师需着重引导学生进行两方面的反思：一是方法性反思，经历问题的思考和解决后，引导学生反思解题方法的优劣，哪种方法是通解通法，哪种是巧解妙法，在学生的反思中进一步感知问题的解决价值；二是过程性反思，教师引导学生回顾问题的解决过程，关注问题解决中条件和结论的联系过程，明晰学习与研究的方法与策略，获得策略性经验。

四、积累数学迁移的经验

数学迁移通常被理解为，把此问题的思想方法应用于彼问题之中（包括问题的提出、分析、解决、拓展等环节）。数学有效教学的重要指标之一是学生拥有较强的数学迁移能力。在问题的解决过程中，学生一般要经历“建立数学问题的心理表征→类比联想，建立数学问题空间→具体匹配，转换数学问题空间→概括解题经验，改组原有认知结构”的过程。学生结合问题进行合理表征，并能够联系自己的认知结构，将已有的思维方法映射于待解决的问题中，数学迁移能力渐次得到提升。

例4：如图6，在△ABC中，AB=6，AC=3，∠BAC=120°，∠BAC的平分线交BC边于点D，求AD的长。

某学生的思路和解法如下。我记得以前做过这样一个题目：如图7，在△ABC中，AB=6，AC=10，求BC边上中线AD的取值范围。该题有两种解法：①延长AD到E，使DE=AD，易证△ECD≌△ABD，从而可得DE=AD，EC=AB=6，由于4

如图8，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于E。

因为∠BAC=120°，AD是∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠CAE=60°。因为CE∥AB，所以∠E=∠BAE=60°，且△ABD∽△ECD。所以△ACE是等边三角形，且 = ，所以AE=EC=AC=3。又因为AB=6，所以AD=2。

在问题的解决过程中，教师可比较相似问题间的结构、模式、表征、衍生等方面的区别和联系，促使学生提升数学迁移意识和数学迁移能力。为此，教师需注意以下几个方面：首先，在平时的教学中教师需重视基本知识的渗透，否则数学迁移就变成无源之水；其次，可对诸问题进行重组和二次开发，形成问题链，以提高学生对问题迁移的意识；最后，教师要有意识地将数学思想方法显性化，将一些基本模型凸显出来，以方便学生在解决类似问题时进行“模式识别”，顺利进行迁移。

综上所述，数学基本活动经验的积累是一个长期而艰巨的过程。活动经验要靠点滴渗透，逐步积累，因此，教师在教学活动中要持续不断地构建灵活多样的学习形式，让学生循序渐进地获得感知、体悟，直至建构出缜密的知识网，从而实现基本活动经验的积淀。

【参考文献】

[1]张奠宙，竺仕芬，林永伟.“基本数学经验”的界定与分类[J].数学通报，2008（05）：4-7.

[2]郭玉峰，史宁中.“数学基本活动经验”研究：内涵与维度划分[J].教育学报，2012（05）：23-28.

[3]郭桂芳.初中生数学基本活动经验积累的实践研究[D].长沙：湖南师范大学，2008.