数学猜想及猜想方法

段胜梅

摘 要：数学猜想作为人们认识世界的重要方法，在人们发现自然界规律的进程中发挥了重要的作用。本文从数学猜想的概念出发，总结了当前数学界广泛使用的数学猜想的方法并分析其在数学教学中的应用，以为在教学中培养学生应用数学猜想的能力提供借鉴。

关键词：数学教学；数学猜想；猜想方法

所谓数学猜想是指根据某些已知的事实，材料和数学知识，以已有的数学理论和方法为指导，对未知的量及其关系所作的一种预测性的推断，它是数学研究常用的一种科学方法，又是数学发展的一种重要形式。猜想作为一种手段，目的是为了验证猜想的正确性。拉喀托斯指出：朴素的猜想构成了数学发现的逻辑实际出发点。“数学事实首先是被猜想，然后才被证实。”猜想是一种合情推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成。对于未给出结论的数学问题，猜想的形式有利于解题思路的正确诱导；对于已有结论的问题，猜想也是寻求解题思维策略的重要手段。

一、数学猜想的概念

猜想是对研究的对象或问题进行观察、分析、比较、类比、归纳等，依据已有的材料和知识做出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法。人们认识事物是一个复杂的过程，往往需要经历若干阶段才逐渐从现象认识到事物的本质。开始只能根据已有的部分事实及结果，运用某种判断推理的思维方法，对某类事实和规律提出一种推测性的看法，这种推测性的看法就是猜想。猜想是人们依据事实、凭借直觉所做出的合理推测，是一种创造性的思维活动，具有真实性、探索性、灵活性和创造性等基本特点。

二、数学猜想的方法和在数学教学中的应用

怎样教猜想？当然首先要鼓励学生大胆去猜，引导学生猜，发展学生的实验、观察能力，教给学生归纳、类比等方法。另外，还特别要发展想象力。因为“猜想”离不开想象，“想象力是科学研究中的实在因素”，它比知识更重要，所以，我们要挖掘教材的潜力，放手让学生大胆想象，实现猜想的途径，可以探索实验、类比、归纳、直觉、非常规以及它们之间的组合等。

（一）直觉猜想。数学直觉是一种直接反映数学对象结构关系的心智活动形式，它是人脑对于某种直接的领悟或洞察。它在运用知识组块和直感时都得进行适当的加工，将脑中的与当前问题相似的块，通过不容的直接进行联结，它对问题的分解、改造整合加工具有创造性的加工。数学直觉是可能产生的，也是可以加以培养的。数学直觉的基础在于数学知识的组块和数学形象直感的生长。因此如果一个考生在解决数学新问题时能够对它的结论做出直接的迅速的领悟，那么我们就应该认为这是数学直觉的表现，无数事实证明，如果没有直觉思维，就没有假说和猜想，创造发明也就不复存在。在日常生活和工作中，如果没有直觉思维，人就会表现出优柔寡断。在学生的学习过程中也是离不开直觉思维的，如有时表现为学生提出“怪”问题，有时表现为突然“悟”出一个道理，有时表现为别出心裁地“应急”性回答，有时在脑海中出现一种新奇景象等等，均是直觉思维活跃的反映，如著名的“哥德巴赫猜想”等。

（二）类比猜想。类比猜想是根据两个事物之间类似或相同的特点。猜想出它们类似或相同的规律的一种数学思想方法。我国古代数学家刘微说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知。发其一端而已。”因此，课堂教学活动中应重视类比思想的一般思路是：“观察——联想——类比——猜想。”在这一过程中联想是基础，类比是关键，猜想是飞跃。类比的事物是参照。类比猜想虽然是解决问题的捷径，但是只有本质相同的两个问题才能进行类比，否则将导致错误的结果。

（三）验证猜想。数学猜想和数学证明是数学学习中两个相辅相成、密切联系的方面。所以波利亚提出，数学猜想的方法与数学证明的方法“必须两样都教”。上述多个数学猜想，都需要数学证明来检验其准确性。在学生有初步的猜想后，教师要积极鼓励学生开阔思维，给学生营造一种宽松和谐的良好猜想范围，鼓励学生积极寻找猜想的依据，索求猜想的合理性和准确性，不迷信已有证据，不满足现成答案，通过自己的实践操作来检验猜想的真伪。如教学“数学广角”中，学生已经具备了简单的有关知识，会用实际来计算，给学生各种简单的条件，让学生通过去做、做出来去观察等办法，提出猜想，再验证，得到正确的结果。经常让学生经历猜想—验证—获取的过程，学生的创造能力才能得到发展。在小学数学中应用猜想来发现问题和解决问题的例子比比皆是。让学生猜想，既能激发学生的学习积极性，又可使学生的观察力、注意力、概括能力、想象能力得到发展，所以说，从培养学生能力这个意义上说，教会学生猜想比教会学生知识更重要。让我们结合中学生的年龄特点，结合教材的实际内容，采取各项措施手段，培养中学生的“数学猜想力”，提高他们的数学水平。

（四）猜想与归纳。数学猜想是迷人的，适当的猜想常常会促进数学的发展，并且数学中许多结论的发现，都是靠猜想得到的，因此在数学教学中培养学生猜想能力是必需的。观察在培养猜想能力的过程中起着非常重要的作用。因此在教学中，从特殊结论的观察中引导学生猜想，培养学生归纳能力，是培养学生猜想能力的一种重要途径。

数学猜想常常是数学理论的萌芽和胚胎，因此它具有创新性，创新是数学猜想的灵魂，没有创新就没有猜想。一个学科只有大量的问题提出，才能使它永葆青春。正因为历史上有诸如哥德巴赫猜想、费尔马猜想等猜想的提出，数学科学才发展到今天壮观的现代数学。猜想作为一种直觉思维活动，虽然在很大程度上依赖于灵感或超前思维。但作为一种思维活动，也存在着自身的一些规律，这些规律的掌握，对于学生掌握正确的方法，培养与提高能力往往起着事半功倍的作用，在数学教学中应用数学猜想，具备十分积极的作用和重大的意义。