分段函数在分段点求导的讨论

薛秋

[摘要]分段函数在分段点的求导问题，现行的电大教材中很少提及，为了帮助电大学生了解这部分内容，本文就此谈谈相关内容。

[关键词]高等数学；分段点；导数

在高等数学中，分段函数是经常遇到的函数，面对分段函数在分段点的导数，现行电大教材中很少提及。为了拓宽电大学生的视野，从而进一步提高电大学生分析问题与解决问题的能力，本文就分段函数在分段点的求导问题作一些粗浅的讨论。

一、利用导数的定义求导

方法：若f（x）在点x0处连续，且利用导数定义可以求出f′+（x0）及f′-（x0）（或直接求出f′（x0）），此时如果f′+（x0）=f′-（x0），则f（x）在点x0处可导，且f′（x0）=limx→x0f（x）-f（x0）x-x0。

例1 设f（x）=1-x，x≤0，e-x，x>0，求f′（0）。

解 因f（x）在点x=0处连续，且由导数定义可以求出：

f′+（0）=limx→0+f（x）-f（0）x-0=limx→0+e-x-1x=-limx→0+e-x=-1，

f′-（0）=limx→0-f（x）-f（0）x-0=limx→0-（1-x）-1x=-1，

因f′+（0）=f′-（0）=-1，所以f′（0）=-1。

二、利用导数极限法求导

方法一：利用以下定理：

定理 若f（x）在[x0，x0+δ]上连续，在（x0，x0+δ）内可导，且limx→x+0f′（x）存在，则f′+（x0）=limx→x+0f（x）。

方法二：利用以下推论：

推论 设f（x）在点x0处连续，在点x0处的某去心领域内可导，且limx→x0f′（x）存在，则f′（x0）=limx→x0f′（x）。

在导数极限法中，当limx→x+0f′（x）=∞，limx→x-0f′（x）=∞，limx→x0f′（x）=∞时，定理及推论的结论依然成立。

导数极限法表明，对于分段函数在分段点的某一δ领域内连接，去心δ领域内可导，则如果分段函数在分段点一侧的导数极限存在时，可用定理求出单侧导数，而不需要用导数的定义求出单侧导数；如果分段函数在分段点两侧的导数极限存在时，可用定理求出双侧导数，而不需要用导数的定义求出双侧导数；如果分段函数在分段点两侧的导数极限存在且相等时，则由推论可得f′（x0）=limx→x0f′（x）。

在通常情况下，分段函数在分段点两侧的导数是比较容易求出的，因此用导数极限法求分段点的导数比直接用导数的定义求分段点的导数方便的多。

例2 设f（x）=x2，x≤1，2x-1，x>1，求f′（1）。

解 因f（x）在点x=1处连续，且f′（1）=2x，x<1，2，x>1。

而limx→1+f′（x）=limx→1+2=2，limx→1-f′（x）=limx→1-2x=2。

由导数极限法可得，

f′+（1）=limx→1+f′（x）=2，

f′-（1）=limx→1-f′（x）=2，

故f′（1）=2。

例3 设f（x）=e-1x2，x≠0，0，x=0，求f′（0）。

解 因f（x）在点x=0处连续，且

limx→0f′（x）=limx→0e-1x2·（2x-3）=0，

由导数极限法可得： f′（0）=limx→0f′（x）=0。

[参考文献]

[1]赵树姬。微积分学习与考试指导[M]。北京：中国人民大学出版社，1998（10）。

[2]姚孟臣。MPA入学考试综合知识应试指导与模拟试题[M]。北京：北京大学出版社，2002（6）。