数学分析与复变函数论的类比教学研究

王宏宇　孟宪吉

[摘要]在数学体系里，数学分析与复变函数看似是两门不同的学科，但是这两者之间紧密相联。对两者之间的联系进行研究，更好地对这两类知识体系进行了解，应用类比的方法将二者的相同点和不同点细致区分。由此得出，解决复变函数的问题时可将其转换为数学分析里的解决方法，但由于二者的不同之处，所以在此过程中要注意二者的不同。在教学过程中合理利用二者间的联系，以达到更好地教学目的。

[关键词]复变函数论；数学分析；教学

[基金项目]辽宁省普通高等学校本科教育教学改革研究项目（UPRP20140526）

相对于数学分析而言，复变函数是在其之后接触的课程，是数学分析的拓展。二者在很多概念和理论上有共通之处，这就为我们在教学上提供了很好的便利。我们可以利用二者之间的联系，对复变函数论的教学有一个更好的切入点。

从总体来看，数学分析与复变函数最大的区别就是：数学分析所研究的范围是实数，而复变函数研究的自变量则是复数。单从这一方面来看，我们可以狭义的认为复变函数比数学分析所适用的范围要更广泛。这也正是在学习过程中学生感到二者之间相似所在。学习复变函数这门课程的同时更是提升数学分析的理论基础的最好时段。正是由于实数到复数的拓展，才使得在实数范围内不能解决的问题而在复数范围内能用复数的理论解决，例如在实数范围内x2+1=0无解，但是在复数范围内却有解。这也正是学习复变函数论的用途，同时这也从侧面反映出数学分析与复变函数论二者的联系。

一、相同之处

1。连续性

复变函数的连续性与数学分析里的函数连续性一致，都是说在一点的极限值与其函数值相等。例如，f（x）=sinx在数学分析里是连续函数；f（z）=sinz在复变函数里也连续。

2。可微性

在钟玉泉所编撰的《复变函数论》一书里，第二章的解析函数中对复变函数的导数及微分的定义与数学分析里导函数的定义形式上相同，都是应用极限的思想对变量比值的极限取值，并且两者的几何定义都是一样的。例如，f（x）=x在数学分析里是可微的，f（z）=z。

在复变函数里也可微。

二、不同之处

1。自变量

在钟玉泉所编撰的《复变函数论》一书里，从第一章对复数及复变函数介绍的开始所引入的数域中，对复数的阐述与高中所接触的知识重合，其中所涉及的复数的模和三角不等式都是我们在此之前说接触过的。但从数学分析的整体来看，其课程的主要研究范围是实数域，不涉及复数域。

2。初等多值函数

在数学分析的学习中，我们接触的函数是单值函数。而在复变函数里，初等多值函数占据着举足轻重的地位，对应关系是从一个集合的几个元素对应到另一个集合的多个元素的问题，所以对于多值函数的研究是必要的。例如根式函数w=nz在w平面上是多值函数，并且不是解析函数。对于z=reiθ，ω=nz=nreiθ+2kπn，（k=0，1，…，n-1）。文献[3]指出，根式函数w=nz出现多值性的原因是：当z确定后，其辅角并不唯一确定。为了得到单值解析分支，将z平面割破，割破的z平面形成了以割线为界的区域。在此区域内，对于任意一点的一个辅角值都可由指定一点的辅角的连续变化而唯一确定。下面以w=3z为例说明。

例： 由w=3z得w3=z，令z=reiθ，则有ρ=3r，3φ=θ+2kπ，其中（k=0，1，…，n-1）

由此可得，φ1=θ3，φ2=θ+2π3，φ3=θ+4π3。

即w1=3reiθ3w2=3reiθ+2π3w3=3reiθ+4π3。

所以，w=3z是多值函数。

3。复变函数的可积性

根据复变积分的定义，对f（z）积分其实是对u（x，y），v（x，y）的积分。所以在复变函数的积分计算问题中，这是一种计算思路。但相对于后续所接触的柯西积分定理和柯西积分公式而言，定义所涉及的方法就不是那么常用了。柯西积分定理是针对于在区域内部都是解析的，并且在此区域内没有奇点的被积函数而言，则由一闭曲线所围成的路径的积分值为零。例如，以|z|=r2 为积分路径，对f（z）=z2进行积分，积分值为零。因为在积分区域内f（z）=z2没有奇点，并且积分路线为一个闭曲线，所以由柯西积分定理得出该积分值为零。而在数学分析里，对f（x）=x2 进行积分时，应用牛顿-莱布尼茨公式所得的积分值只与起点和终点有关，而与积分路径无关的一个定数。

柯西积分公式是f（z0）=12πi∫Lf（z）z-z0dz，用区域的边界值代替区域内奇点的积分值的公式。在这里，主要应用柯西-古萨基本定理。在应用柯西积分公式时应该注意它的

使用前提：（1）在区域内有且仅有一个奇点。（2）对于f（z）而言，在规定区域内必须是解析的。例如，求积分∫Lezz（z-2）dz的值，其中L是圆环1≤|z|≤3。对于这道题而言，在所给区域内只有z=2时的一个奇点，并且这里的f（z）=ezz在此区域内解析，所以此题可以直接带入公式求得积分值。但有些题是不能直接应用积分公式求解的，例如∫Lcoszz2-1dz，其中L为圆周|z|=2。对于上述的积分而言，在所给区域内有两个奇点：1，-1。这时我们需要将原式因式分解，应用复周线的柯西积分定理将被积函数转化为在区域内仅有一个奇点进行计算。所以正确解答为：

∫Lcoszz2-1dz=12（∫Lcoszz-1dz-∫Lcoszz-1dz）=12（2πicoszz=1-2πicoszz=-1）=0。

虽然两者有本质上的差别，但在复变函数论的学习过程中，我们可以看出解决复数的问题时，很多都讲其转化为实数范围内的问题。而当问题变到实数上求解时，我们自然的就想到数学分析里的知识体系，实际上也确实如此。例如，在证明复函数项级数收敛时，就将复数列的收敛证明转化到实数列的证明，即实部和虚部的收敛证明。在连续性的问题上，二者虽然定义是共通的，但在证明上，我们将复变函数里的连续性转化为实数范围里的连续性，即实部与虚部的连续性，这也同样变为数学分析里的连续性的证明。再如，证明复数列级数一致收敛的问题时，所应用的优级数判别方法是同样也是将复数列转化为实数列的证明，因为在这种方法下所取的收敛的正项优级数只与n有关，不涉及复数问题。而谈到这里，我们也该想到数学分析里正项级数的一系列的证明方法，在这里就不一一说明了。

复变函数论和数学分析即紧密相联，又各有不同。例如，在复变函数里，f（z）在区域内解析，那么就可以得出在此区域内原函数有各阶导函数，并且各阶导函数也解析，这在数学分析里是没有的。再如，数学分析里的罗尔中值定理在复变函数里不能完全的套用。所以，在学习复变函数时应该仔细区分什么是能直接应用的，而什么不能。但是二者在一定程度上的相似之处正是为我们更好地了解它们的一个桥梁，所以，在教学过程中建议教师可以利用这两者之间的联系教学，将数学分析里的相关结论引入复分析的结论证明中。对于学生来讲，旧的知识体系总要比新的知识更容易接受，同时促进新旧知识的衔接。在教学过程中必须说明两者的区别，否者容易造成二者的混淆。