转化与化归思想的考查

王中华

转化与化归思想解决问题是高中数学解决问题的核心，数学问题的解决总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化等等，要特别注意函数、方程、不等式的转化. 熟练方法，看透本质，潜移默化中培养自己的解题素养.

数与形的转化

例1 已知：，，

求证：.

分析 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力，解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程，进而由两点的坐标特点知其在单位圆上. 联想到条件式的几何意义，如何巧妙利用其几何意义也是关键.

证明 在坐标系中，点与点是直线与单位圆的两个交点，如图.

=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=2-2cos（α-β）.

又单位圆的圆心到直线的距离

向量运算与不等式的转化

例2 己知直线与圆交于不同的两点是坐标原点， ，那么实数的取值范围是 .

分析 利用向量运算把已知不等式化为，从而得到夹角，所以圆心到直线的距离（其中时），解得.

解 因为，所以，所以，

化简得，所以的夹角，所以圆心到直线的距离，其中时，，解得.

答案

递推关系式的转化

例3 已知数列的前项和为，，且.

（1）当实数为何值时，数列是等比数列？

（2）在（1）的结论下，设，数列的前项和，证明.

分析 （1） 根据条件，将递推关系式转化为项与项的关系，由等比数列定义得到的值；（2）由（1）得到新数列通项，再通过错位相减法进行求和，证出不等关系成立. 考查数列与不等式的综合、等比关系的确定、数列的求和等知识.

解 （1）方法1：由题意得，

（2）由（1）知，，，

①，

②.

①②得，

正难则反的转化

例4 已知，设命题：；命题：函数有两个不同的零点. 求使命题“或”为真命题的实数的取值范围.

分析 本题考查复合命题的真假应用，利用正难则反的原则，将“，至少有一个为真命题”转化为“求，同时为假命题时满足的条件”是解决本题的关键.

解 对：，即.

对：由已知得，的判别式，

所以，要使“或”为真命题，只需求其反面，假且假，

实数的取值范围是.

命题的等价转化

例5 已知椭圆的离心率为，直线分别经过椭圆长轴和短轴的一个顶点，且与圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）为圆上任意一点，以为切点作圆的切线与椭圆相交于点，求线段的取值范围.

分析 （1）把由椭圆的离心率得到的的关系式与直线的方程联立，即可解得的值，进而得到椭圆方程；（2）把圆的切线方程与椭圆方程联立转化为关于的方程，再利用弦长公式找出弦的函数解析式，再用换元法把原式转化为关于的表达式，最后用基本不等式求值域即可. 考查椭圆的基本量的计算、弦长公式、换元法、利用基本不等式求函数的值域等知识.

解 （1）椭圆的离心率为，

即①.

又因为直线分别经过椭圆长轴和短轴的一个顶点，所以即，

由已知条件与圆相切可得，

②，

两式联立得

故椭圆的方程为.

（2）设在上，即，

以为切点的圆的切线为：，

即.

切线与椭圆交于，两点，

故直线方程与椭圆方程联立

转化为关于的方程为

设，结合函数的单调性可得，

所以.

等积转化

例6 在三棱柱中，侧面为矩形，，为的中点，与交于点，侧面.

（1）证明：；

（2）若，求点到平面的距离.

分析 （1）利用，可求得，的长，根据勾股定理可证，可证平面，从而可证线线垂直；（2）由（1）知为三棱锥的高，底面为直角三角形，利用三棱锥的换底性求得三棱锥的体积，最后求出高即到平面的距离.

证明 （1），，

例7 已知函数（为参数）.

（1）写出函数的定义域和值域；

（2）当时，求函数解析式中参数的取值范围；

（3）当时，如果，求参数的取值范围.

分析 （1）直接解不等式组即可；（2）借助于的范围去求的范围；（3）原式转化为，利用换元法即可. 考查函数的性质、定义域和值域、换元法等知识.

解 （1）函数的定义域为，值域为.

（2），

（3）

方程的根、图象的交点与函数的零点相互转化

例8 已知定义在上的函数满足：，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）

A. B.

C. D.

分析 将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可. 考查函数的零点与方程根的关系.

答案 B

例9 函数是方程的两个实数根，则实数的大小关系是 .

分析 构造函数，借助两个函数与的图象关系及方程的根、函数图象的交点与函数的零点相互转化关系，不需要计算即可得出结论.

解 令，方程的两个实数根是什么？ 是

二次函数的图象与轴的交点：

我们将函数的图象向下移动1个单位得到了函数的图象，因为是方程的两个实数根，所以，函数的图象与轴的交点：

观察图象，可以轻松看出