活跃在高考中的高斯函数

王勇 芮华云

高斯函数是一个特殊且重要的函数，在数学竞赛试题中屡见不鲜，在近几年高考试题中也频频出现，涉及的问题颇具思考性和挑战性，是考查同学们数学能力和数学灵气的极好素材，值得高度重视. 本文介绍高斯函数的定义、常用性质和典型问题，供参考.

定义

设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数. 显然，任一实数都能写成整数部分与非负纯小数部分之和，即

典型问题

1. 研究新函数的性质

例1 为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为（ ）

A. 奇函数 B. 偶函数

C. 增函数 D. 周期函数

解析 作出函数的大致图象如图所示，观察图象，易知函数是周期函数.

答案 D

点拨 函数的定义域为，值域为，是非奇非偶、以1为周期的非单调函数，在每个区间上都是单调增函数. 请熟练掌握函数的图象和性质，对破解相关综合性问题大有裨益.

例2 设表示不超过的最大整数（如对于给定的，定义，则当时，函数的值域是（ ）

点拨 本题是对常见组合数计算公式的延拓，又结合高斯函数，设计巧妙，构思新颖. 由于未必是正整数，而根据定义在上的值有两个，因此需要加以讨论，再结合的定义研究的值域.

2. 探求函数的解析式

例3 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表. 那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（ ）

解法1 直接探求，设

结合各选项可知，本题应选B.

解法2 特值验证并结合排除法，当时，应推选1名代表，而 故排除C，D项；当时，应推选2名代表，而故排除A项.

答案 B

点拨 本题以大家比较熟悉的推选代表问题为背景，考查构建函数模型的能力，两种解法都值得借鉴和品味.

3. 判断恒成立问题

例4 设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有（ ）

A. B.

C. D.

解法1 由高斯函数的性质7排除A项；由性质6排除B项；由性质5排除C项.

答案 D

点拨 熟悉高斯函数的性质，求解起来轻松自如，实为“秒杀”.

解法2 结合特殊值，利用排除法求解.

对于A项，取，

由以上分析可排除A，B，C项.

答案 D

点拨 鉴于同学们并未系统学习高斯函数，命题者的初衷就是考查大家的信息迁移能力和选择题的特殊解法（特值验证并结合排除法）.

4. 与数列交汇融合

例5 记为不超过实数的最大整数.例如，. 设为正整数，数列满足. 现有下列命题：

①当时，数列的前3项依次为5，3，2；

②对数列都存在正整数，当时总有；

③当时，；

④对某个正整数，若，则.

其中的真命题有 .（写出所有真命题的编号）

解析 对于①，当时，，因此①正确.

对于②，注意到当时，，…，此时数列除第一项外，从第二项起以后的项以2为周期重复出现，因此不存在正整数，使得当时总有，故②不正确.

对于③，因为，且，即.

若是正奇数，则（用到高斯函数的性质）.

若是正偶数，则.

综上所述，成立，因此③正确.

对于④，因为，注意到（用到了高斯函数的性质），所以，

又由③知，，于是有，因此有，故④正确.

综上所述，真命题的编号为①③④.

点评 本题涉及到高斯函数的定义、性质，考查直觉猜想、合理估算、反例构造、演绎推理等内容，用到了分类讨论思想、均值不等式等知识. 既综合又复杂，无愧是一道压轴填空题.

5. 与方程及不等式的巧妙结合

例6 设表示不超过的最大整数，若存在实数，使得同时成立，则正整数的最大值是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

故（*）式无解，即不符合题意.

综上所述，所求正整数的最大值为4.

答案 B

点拨 本题考查同学们对新符号的领悟程度及不等式组的解法. 考查大家的阅读理解能力、抽象概括能力、运算求解能力、数据处理能力等.

通过本文可以看出，活跃在高考中的高斯函数，虽其外表简单朴素，但其内涵深邃，在解题中常需要结合分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方可顺利求解.