剖析函数中定义域的易错点

赵清华

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终.函数的定义域是构成函数的三要素之一，是函数的灵魂.函数的定义域看似非常简单，然而在解决问题中若不加以注意，常常会误入歧途，导致失误.下面就学生在解题时所出现的几个易错点加以探讨.

易错点1求函数解析式时不能忽视定义域.

在求函数的解析式时必须要考虑所求函数解析式的定义域否则所求函数解析式可能是错误的.

例1某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为50米，求矩形的面积S关于矩形长x的函数解析式.

解析设矩形的长为x米，则宽为（25-x）米.

由题意得S=x（25-x），故函数解析式S=x（25-x）.

如果解题到此为止，则本题的函数解析式还欠完整，缺少自变量x的范围，也就是说解题思路不够严密.因为从实际出发，矩形的长和宽均为正值，所以还应补上自变量x的范围：0

评析这个例子说明，在求解函数的解析式时（尤其是在实际问题中），必须要注意到函数定义域的取值范围.

易错点2求反函数时错解定义域.

在求解一个函数的反函数时，忽略了求反函数的定义域就是求原函数的值域这一知识点，而是根据反函数解析式的本身求出其定义域导致出现错误.

例2f（x）=a·2x+11+2x是R上的奇函数：（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f-1（x）.

解析（1）利用f（x）+f（-x）=0 （或f（0）=0），求得a=1.

（2）由a=1即f（x）=2x-12x+1.

设y=f（x），则2x（1-y）=1+y，

由于y≠1，故2x=1+y1-y，x=log21+y1-y，

而f（x）=2x-12x+1=1-22x+1∈（-1，1），

所以f-1（x）=log21+x1-x （-1

评析在求解一个函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域来求解，而不能根据反函数解析式本身求解，最后要在反函数的解析式后标明（若反函数的定义域为R可省略）.

易错点3判断奇偶性时易忽略定义域.

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以，在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域.

例3判断函数f（x）=（x-1）x+1x-1的奇偶性.

解析因为x+1x-1≥0 （x+1）（x-1）≥0，

x-1≠0，

x≤-1或x>1.

所以函数f（x）的定义域为（-∞，-1]∪（1，+∞）.

由于函数f（x）的定义域在数轴上不关于原点对称，所以函数f（x）是非奇非偶函数.

评析判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，再用奇偶性定义加以判断.如果定义域区间不关于坐标原点成中心对称，则函数就无奇偶性可谈.

易错点4判断单调性或求单调区间时忘记定义域.

在判断函数的单调性或求函数的单调区间时必须是在定义域范围内，即必须保证函数有意义.

例4求函数f（x）=log2（x2+2x）的单调区间.

解析先求定义域，因为x2+2x>0，

所以x>0或x<-2，则函数定义域为（-∞，-2）∪（0，+∞）.

令u=x2+2x，当x∈（-∞，-2）时，u为减函数，当x∈（0，+∞）时，u为增函数；

又f（x）=log2u在（0，+∞）是增函数，

所以函数f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，即函数f（x）=log2（x2+2x）的单调递增区间是（0，+∞），单调递减区间是（-∞，-2）.

评析如果在做此题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就会导致失误，得到错误的结论.

易错点5求函数的值域时易忽视定义域.

在求函数值域的相关问题中易忽视解析式本身对变量的约束关系，造成定义域范围的扩大，从而导致求解结果不准确.

例5已知（x+2）2+y24=1，求x2+y2的取值范围.

解析由于（x+2）2+y24=1，

得（x+2）2=1-y24≤1，

所以-3≤x≤-1，

从而x2+y2=-3x2-16x-12=-3（x+83）2+283.

因此当x=-1时x2+y2有最小值1，

当x=-83时，x2+y2有最大值283.

故x2+y2的取值范围是[1，283].

评析在解决函数范围问题时，要注意几个参数之间的相互制约，要挖掘题目中内在的隐含条件，否则易出错.