寻找数学的精气神体会转化和化归无所不能

钱先锋

如何在丛林密布的知识的海洋中，寻找并选取一种数学思想方法适用于日常教学中，如何更接“地气”，一直是很多老师苦苦寻觅的方向.本文结合笔者日常教学的观察和考察，发现转化和化归可以说是一把解题的“万能钥匙”，但是如何培养学生这样运用转化和化归的能力，进而培养学生基本的数学素养，这是作为教师应该思考并解决的问题.

一、转化

转化就是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程.如常见的换元法，配方法，参数法，待定系数法，数形结合法等等，下面我们看看转化在实际解题时的巧妙应用.

例1已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，且sinB+cosB=m2.求实数m的取值范围.

分析先将已知条件和求解目标一一列出进行对比（审题要仔细，充分挖掘已知）

已知条件1b2=ac，

已知条件2sinB+cosB=m2，

已知条件3A+B+C=π.（三角形的隐含条件注意引用）

思考已知条件中有边有角，但是结论却是无边无角；又由于三角函数名不同，故应转化变为角（利用正弦定理或余弦定理处理）.已知条件是等量关系，但是求解却是不等式关系，表面上是求m的范围，实则是求sinB+cosB，也就是先求B的范围，故应用函数2sin（B+π4）的有界性构造出不等式（又一次转化）来限定m的取值范围.条件中给的是A，B，C三个角，但真正与m的范围相对应的只有B角，所以就必须将A与C转化（第三次转化）为B角（隐含条件A+B+C=π在这里运用）.

解因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac.

边化角得sin2B=sinAsinC积化和差得

1-cos2B=-12[cos（A+C）-cos（A-C）]

=-12[-cosB-cos（A-C）]，

即2cos2B+cosB+cos（A-C）-1=1.

又因为cos（A-C）≤1，

所以2cos2B+cosB-1≥0，

即cosB≥12或cosB≤-1（舍去），

故0≤B≤π3.

又sinB+cosB=2sin（B+π4），

π4

所以1<2sin（B+π4）≤2，

即1

故m的取值范围是[-42，-1]∪（1，42].

此题中，表面上，不等与相等是矛盾对立的，但是通过转化，就可以避重就轻，另辟蹊径，挖掘其中的不等关系，由相等转化为不等才是这道题的关键.

下面我们再看看转化在处理多元的函数或方程的问题时的妙用，我们可选取其中的某个量，将其看做是“主元”，即自变量，而把其它的量看作次元即常量，从而达到减少变元，简化运算的目的.

华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微.”所以数与形的完美结合才是学习数学的最高境界.那么如何巧妙地将两者联系在一起呢，人们往往通过建立坐标系，突破了这一障碍.引入数量，化静为动，以动求静.相互渗透，相互转化，根据题设已知，对目标进行联系构造，再适当运用数学图形解决问题.

二、化归的妙处

化归是将要解决的问题通过某种转化的过程归结到一类已解决的且较容易解决的的问题.下面我们看看数学必修五作业本的一道题.

例2已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=3，SnSn-1=2an （n≥2），求通项公式an.

此题当时作业本收上来同学们都说不会做，一片茫然.我提示他们联想到我们前面讲解递推通项时讲过的一道题.

已知数列{an}中，a1=1，an+1an=an+1-an，求数列{an}的通项公式an.

解等式两边同时除以anan+1，

得1=1an-1an+1，1an+1-1an=-1=d，

得通项公式an=12-n.

两道题无论从形式还是结论都有着很多形似.于是我让学生思考讨论这道题的做法，再回头看看前一题，此时同学们恍然大悟！

三、转化的意义

一般问题的特殊化，使问题处理变得直接，简单；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理的效果.譬如我们平时在做选择题时代入特殊值求解，往往可以排除假伪，快速便捷.

简而言之，转化和化归就是将复杂的问题转化为简单的问题，将实际的问题转化为数学问题，使问题通俗易懂，将未知的问题转化为已知范围内可以解决的问题，即化“腐朽”为“神奇”.不断地变换你的问题，不断地转换角度思考问题，直到找到某些有用的与已知的相关连的东西为止.转化和化归贯穿于高中数学学习的始终，贯穿于解题过程的始终，它是解决问题的最重要的，应用最广泛的一种数学思想，它在我们的教学应用之广，可谓无处不在.所以培养学生基本的数学素养，教会学生转化和化归的思想对数学学习是事半功倍的.转化和化归思想是数学学习中最基本也是最重要的思想，也是我们在解决数学问题中最常见方法和技巧.因此“抓双基，重转化”才是学好数学的一把“万能钥匙”！