浅谈不定积分求解

宋国珍

【摘要】不定积分的解法是以后学习定积分、重积分、含参量积分、曲线积分、曲面积分等的基础，本文对不定积分的解法和一些特殊函数的不定积分做了简单总结.

【关键词】不定积分；换元法；分部积分法；有理函数的积分

不定积分的解法是以后学习定积分、重积分、含参量积分、曲线积分、曲面积分等的基础，也是高等数学这门课程的灵魂，不定积分有直接积分法、换元积分法、分部积分法以及一些特殊函数的不定积分.这就使得不定积分解法具有很强的灵活性和技巧性，而在解决实际问题时需要对几种方法加以综合运用.因此这就需要对几种基本积分方法有较深的理解和灵活的运用，以便于不定积分的求解.

一、直接积分法

直接积分法就是利用不定积分的概念和性质求不定积分，这种求不定积分方法的本质是：直接使用不定积分公式求解或者利用中学里常见的恒等变形或三角代换把被积函数整理为较易被积分的形式后再使用积分公式求解.直接积分法虽然简单但也是以后学习其他不定积分方法的基础，是掌握好其他不定积分的方法的基础.

二、换元法

1.第一类换元法

第一类换元法又称凑微分法，其关键便是这个“凑”字，即：如何把被积函数中的一部分凑到微分号后面，使得被积函数和微分号后含有相同的部分，再把相同的部分用中间变量u替换后，恰好凑成积分公式的形式.因此，要想掌握好第一类换元法，就必须熟练掌握积分公式，才能达到灵活应用.

但在实际问题中，不是所有的不定积分用单一的方法就可以求解，有些需要连续使用几次分部积分法； 有些还会出现与原不定积分同类的积分，需要经过移项合并；有些则需要换元法与分部积分法的混合运用.总之，就是把复杂问题转换为我们熟悉的问题，利用已有的知识解决新问题.

当然，除了以上这些求积分的基本方法，随着科技的发展我们还可以使用计算器T1-92、HP39gs或者数学软件Mathematica6.0，Maple来求积分，但这些方法也需要以前面的基本积分方法为基础.因此，只有熟练掌握基本积分方法并加以灵活运用，才可以更好、更快地求解积分问题.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001，176-199.

[2]袁春燕.求不定积分的几种方法[J].科技创新导报，2010，（06）：251.