《正弦函数、余弦函数的性质之周期性》说课稿

吴婷

【摘 要】《正弦函数、余弦函数的性质之周期性》这节课，我主要从教材分析、学情分析、教学目标、教法学法、教学过程、板书设计和设计分析七个方面进行说课，其中教学过程是最重要的环节。这节课以新课标理念为指导，充分发挥学生的主观能动性，培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，渗透建模、数形结合、由特殊到一般、类比等数学思想方法。同时，还培养了学生的六大核心素养之一——抽象素养。本节课使用的几何画板，也为学生理解这节课起了很好的作用。

【关键词】正弦函数；余弦函数；周期性；抽象

一、教材分析

教材是新课程标准的具体化，是进行课堂教学设计的蓝本，是教师教、学生学的具体材料，要把握好教材，落实教学目标，必须准确理解课程标准。因此我在认真研读课程标准的基础上从教材的地位与作用、教材重点与难点两个方面展开我对教材的分析。

1.教材的地位与作用

本课选自人教A版数学必修4第一章第4节第2小节第一课时，该课时主要学习函数的周期性。

这节课是在学习了正、余弦函数图像以及三角函数诱导公式之后，对三角函数的又一重要探讨。周期性，是对函数性质的一个重要补充，又是研究三角函数其它性质的根本，所以本课既是前期知识的发展，又是后续知识的基础，起着承前启后的作用。

从思想方法上讲，这节课的教学过程中还渗透了建模、数形结合、由特殊到一般、类比等数学思想方法。

2.教材的重点与难点

根据新课标的要求，我确定本课的重点为，周期函数的定义和正、余弦函数的周期性；难点为：对周期函数概念的理解和求函数的周期。

二、学情分析

从学生的知识储备上看：学生已经学习了正、余弦函数的图像和三角函数的诱导公式，这为学习本课做好了知识上的准备。

从学生思维特点来看：学生具备了一定的形象思维和抽象思维，但还需要进一步加强。

三、教学目标

在充分把握新课程标准的要求，教学内容和教学对象的基本情况的基础上，我制定如下教学目标：

1.知识与技能

准理解周期函数的概念和正弦函数、余弦函数的周期性，会求一个函数的周期。

2.过程与方法

在概念形成与探究的过程中，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力和抽象素养，渗透建模、数形结合、由特殊到一般、类比等数学思想方法。

3.情感、态度与价值观

在获取知识的过程中，让学生感受数学来源于生活，又回归于生活，体会数学的应用价值；是学生体会获取知识后成功的喜悦，培养学生的学习兴趣，养成主动探究的习惯。

四、教法学法

1.教学方法

第斯多惠说过：“一个坏的老师奉送真理，一个好的老师则教人发现真理”。因此，我采用引导发现法与启发探究法相结合的教学方法，启发学生在探究的过程中发现真理，体会获得成功的快乐。

2.学习方法

新课标中“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”因此，我鼓励他们采用自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲身经历知识的形成过程，最终掌握良好的学习方法和学习习惯。

五、教学过程

为了达到预期的教学目标，我设计了以下五个环节。

环节1：创设情境，导入新课

教师用多媒体向同学们展示情境1、情境2. 引导学生发现它们的变化周期，使学生对周期有初步的认识。再让学生进入情境3，说一说。

情境1：四季变化的图片。

情景2：月亮圆缺现象，即一个月的月亮图形。

情境3：鼓励学生列举类似的周而复始的现象。 紧接着，说明这种现象是周期性。

设计思路： 皮亚杰曾说：没有一个行为模式不含有情感因素作为动机。这样的设计不仅激发了学生的学习兴趣，还使学生对周期有一个初步的认识。

师：数学源于生活，但高于生活，数学是自然规律的高度概括与抽象。那么，我们用数学语言如何刻画周期性？

设计思路：由生活中的自然现象自然过渡到数学课堂中，使学生感受到数学源于生活。

环节2：观察分析，形成概念

问题1：观察正弦函数、余弦函数的图像，指出它的定义域和值域分别是什么？

设计思路：学生们容易想到正、余弦函数就是周期函数的代表。首先，带领学生回顾其图像，得到正弦函数、余弦函数的定义域和值域，为本节课的难点做铺垫。

问题2：正弦函数图像有何规律？其本质是什么？

设计思路：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始。”留给学生充分的时间，进行小组讨论，之后请小组代表汇报结果。学生可以得到该图像是以2π、4π等为单位的周而复始的变化。但对于其本质，部分同学难以表达。

问题3：观察下面的图形和三组点，分析并总结这几组点有什么共同特征？

设计思路：对于正弦函数图像规律的本质，一些同学难以理解。我以2π为周期为例，化抽象为形象，帮助学生理解周期函数的本质，为概念形成打下良好的基础。让学生观察几组特殊点，分析共同属性，同学们经过交流，抽象得到其本质。

问题4：你能将正弦函数的周期性推广到一般函数，得到周期函数的定义么？

定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当X取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么f（x）就叫周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。

设计思路：趁热打铁，启发同学们将它推广到一般函数，在小组中交流后，形成周期函数的概念。这样的设计有利于培养学生观察、分析、抽象概括的能力，培养学生的六大核心素养之一——抽象素养，同时，进一步渗透数形结合的思想方法。

问题5：一个函数的周期是唯一的么？其周期中最小的正数是多少？

生：不是唯一的，例如正弦函数的周期有2π，4π，6π…，最小正数是2π。

此时，我便给出最小正周期的概念：如果在周期函数f（x）的所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期（如果不加特别说明，周期一般都是指函数的最小正周期）。

设计意图：直接给出最小正周期的概念，以概念同化的形式让学生学习此概念，扩大了学生原有的认知结构。

问题6：是不是每一个周期函数都有最小正周期呢？

生：常函数f（x）=c没有最小正周期。

设计思路：学生通过对已学的函数进行讨论，得到常函数没有最小正周期。

问题7：我们已经基本掌握了正弦函数的周期性，通过类比的方法，你能得到余弦函数的周期性么？

师：正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。

生：余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。

设计思路：学生通过类比的方法，进行知识性的小结，再次理解函数的周期性。

环节3：合作探究，深入理解

探究1：用定义法求下列函数的周期。

设计思路：本环节是这节课的难点。我采用由一般到特殊的方法，先给出一个例题，请同学们独立完成。本题既是对周期函数定义的考察，又是为探究正余弦型函数周期公式做铺垫，起着承上启下的作用。我将对一二题进行分析，首先看第一题，观察f（x）的形式，由正弦函数的周期为2π得到f（x+T）的形式，T既是此函数的周期。再看第二题，需要将2x看成一个整体，同理得到其周期周期。通过对前两题的分析，让同学们对第三题进行整理、分析、交流、展示。

探究2：你能从探究1的解题过程中，猜想出y=Asin（ωx+φ）（x∈R）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω?0）的周期与解析式里的哪些量有关？

设计思路：同学们在小组内交流后发现：（1）ω=1，T=2π；（2）ω=，T=π ，得到函数的周期仅与ω的值有关，并猜想得到周期公式 。数学是抽象的，为了让学生形象感知，我将在几何画板中，通过改变A、W、Q量，验证此猜想的一般性。同时，数学也是严谨的，学生类比探究1的第（3）题的证明演绎推理得到该函数周期公式。同理，得到余弦型函数周期公式。

环节4：运用新知，巩固提升

练习1：求函数 的周期。

变式：求函数 的周期。

练习2：若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示.

（1）求该函数的周期；

（2）求t=10s时钟摆的高度。

设计思路：学生知识的掌握是通过“学得”和“习得”而来的，所以我给出了两道练习题。练习1是基本型的，直接利用公式，目的是强化学生对公式的理解，变式是对公式的灵活运用，需要先应用诱导公式。练习2是一道实际应用题，不仅考察了学生对周期函数的理解，还体现了数学的应用价值。

环节5：温故反思，任务后延

1.温顾反思

（1）本节课你学习了哪些知识？

（2）本节课你学习了哪些思想方法？

设计思路：我以学生为主体归纳本节所学知识和思想方法。目的是帮助学生建构知识体系，深化认知结构。

2.任务后延

必做题：课本P36：练习1、练习2

选做题：你认为求函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）和y=Acos（ωx+φ）（x∈R）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω?0）的方法能否推广到一般函数的周期上去？即命题：

“如果函数f（x）的周期是T，那么函数y=f（x）的周期是 ”是否成立？

设计思路：针对学生差异我设计了必做题和选做题，这样使人人都学数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

六、板书设计

七、设计分析

本课在“教师为主导，学生为主体”的教学思想的指导下，以周期函数概念的形成，正弦函数、余弦函数的周期性，正弦型、余弦型函数周期公式作为明线，让学生由感性认识上升到理性认识，感受其应用价值。在教学当中，我还将通过学生的课堂反馈及时调整自己的教学内容和方法，使自己的教更好的服务于学生的学。

参考文献：

[1]何小亚.中学数学教学设计[M].北京：科学出版社，2012：249.

[2]孙培青.教育名言录.上海：上海教育出版社，1984：67.

[3]孔凡哲，曾峥.7数学学习心理学[M].北京：北京大学出版社，2012：11.