浅析圆中的数学思想方法

蔡华远　程玉林

【摘 要】圆是中考的重点，也是热点，解题方法多种多样，令不少同学感到变幻莫测，其实解决圆问题还是有法可依的，本文从2015年各省中考题中来分析，圆的解答中所用到的特殊与一般，化归与转化，数形结合等思想方法，以供参考。

【关键词】圆；特殊与一般；化归与转化；数形结合

圆知识概念较多，问题形式多样。同时圆是中考的重点，也是热点。圆的问题具有较高的综合性，解题方法也多种多样，令不少同学感到变幻莫测，其实解决圆问题还是有法可依的，只要我们认真分析中考题，把握圆中的数学思想方法，看清问题的本质，求解时就可以得心应手，游刃有余。

一、特殊与一般

特殊与一般的思想是中学数学的重要思想之一，有些特殊问题的解决，需要我们通过一般性规律的研究来处理；而对于具有一般性的问题，我们也常常通过考察其特殊情况（如特殊取值等）揭示其一般规律，这种特殊与一般的思想往往贯穿于整个解题过程之中，通过特殊化能使我们认识问题更加全面，而将问题一般化能使我们认识问题更加深刻。

例1：（2015广东佛山）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F.（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；

（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；

（3）若∠E=α，∠F=β时，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.

解：（1）∵∠E=∠F，∠ECD=∠FCB，

∴∠E+∠ECD=∠F+∠FCB，∠ADC=∠ABC；

（2）∵∠A+∠BCD=180°，∠ECD+

∠BCD=180°，∴∠A=∠ECD，由（1）知∠ADC=∠ABC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°-42°=48°；

（3）由（2）知∠A=∠ECD，∵∠EDC=∠A+∠F，∠EDC+∠E+∠ECD=180°，∴2∠A+∠E+∠F=180°，∵∠E=α，∠F=β∴ .

点评：（1）根据外角的性质可得结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）是把（2）特殊情形推广到一般结论，根据圆内接四边形的性质得∠A=∠ECD，再根据三角形外角性质、内角和定理有2∠A+∠E+∠F=180°，再解方程即可。

二、化归与转化

化归与转化的思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变化转化为已解决的问题。化归与转化思想在中考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开化归与转化。例如解决圆中线段与角问题时，经常转化为圆中直角三角形或相似三角形来解决。

例2：在平面直角坐标系中，O是坐标原点，C（0，-3），动点Q的坐标为（m，1），连结OQ、CQ，当∠CQO最大时，求出点Q的坐标.

解：如图，记?OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上（MN与y轴交于点N）.连接OM、CM，则 ，MC=MO=MQ，

∴ ，

∴ 的值随着OM的增大而减小.

又∵OM=MQ，

∴当MQ取最小值时 最大，

即MQ⊥直线y=1时，∠CQO最大，此时，⊙M与直线y=1相切.

∴MQ=NF=2.5，MN= =2，

∴Q1（2，1）.根据对称性，另一点Q2（-2，1）也符合题意。

综上所述，Q1（2，1），Q2（-2，1）.

点评：利用圆周角与圆心角的关系，将问题转化为直角三角形的内角最值问题，再利用三角函数，将问题转化为线段最值问题，进而转化为直线与圆相切这一特殊位置关系。

三、数形结合

数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。其中“以形助数”是指借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的。“以数辅形”是指借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形作为目的。

例3（2015湖北天门）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB.

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）当OB=3，PA=6

时，求MB，MC的长.

解析：（1）证明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAO=90°

∵∠BOC+∠AOB=180°，且∠BOC=∠APB∴∠APB+∠AOB=180°.

∴在四边形AOBP中，∠OBP=360°-90°-180°=90°

∴OB⊥PB∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线.

（2）解：∵PA切⊙O于点A，B切⊙O于点B，∴PA=PB.

∵∠OBM=∠PAM=90°，∠M=∠M

∴△MBO∽△MAP.

∴

设MB=x，MC=y，则

∴ 解得x=4，y=2.即MB=4，MC=2.

四、分类与整合

在解某些数学问题时，当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究。这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想。

例4（2015湖北襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）

A.40° B.100°

C.40°或140° D.40°或100°

解析：当点O在△ABC内部时， ；当点O在△ABC外部时， 。故选C。

五、函数与方程思想

函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决。方程思想是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其它各量，根据题中隐含的等量关系，列方程（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，以求得问题的解决。函数与方程是整体与局部、一般与特殊、动态与静止等相互联系的，在一定条件下，它们可以相互转化。

例5（2015江苏南京）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，则DM的长为（）

A. B.

C. D.

解析：设GM=x，由勾股定理得（3+x）2

=42+（3-x）2

解得 ，所以 .故选A.

数学思想方法是解题的核心，只有不断地归纳，总结，掌握规律，才能提高解题能力。

作者简介：

蔡华远，泉州第三中学数学教师，中学二级，硕士研究生学历。

程玉林，晋江陈埭民族中学数学教师，中学二级，硕士研究生学历。