发散思维 突破函数值域教学难点

田新志

函数作为描述变化规律的数学模型，是高中数学知识体系的重要组成部分，同时函数概念的建立可以给学生带来数学学习思想的变化，认识到一切事物都是在不断变化中的，可以培养学生利用数学规律解决实际问题的能力.发散思维是指在学习中不限定既定的模式，从多种角度寻找解决问题的途径，教师应该开发高中生的学习潜力，广开思路中突破值域教学难点.下面从化难归简、数形结合、一题多解三个角度阐述在实践中的一些运用，并分享自己的粗浅心得.

一、化难归简，灵活训练

培养学生的数学意识和思维能力，利用多样化的习题解答训练其思维的灵活性，对相关问题的敏感性是高中数学教学更高层次的目标.函数值域由于函数表达式的多样性的原因，在教学中是一项复杂的任务，没有既定的公式可以套用，所以我们要引导学生结合化归和类比的思想，学会将难题简单化，从而使问题迎刃而解.例如苏教版高中数学必修一练习题：求函数y=3x+6-8-x的值域.

这道题对于初识函数值域的学生而言，式子一看就很复杂的样子，很容易产生畏惧心理，觉得这题很难，超出自己的接受范围.这时作为教师我们清楚地、有条理地讲解这道题就不仅是解决了这一道题，从一定程度上建立学生对函数进一步学习的自信心，缓解一见函数就头疼的教学现状.既然关系式复杂，那我们首先要做的就是化简，将两个根式分别看做两个单个函数，记作y=u+v的复合函数，且u=3x+6，v=-8-x.众所周知定义域是求值域的前提，所以接着让学生根据根式的要求3x+6≥0，8-x≥0两式并列求得x的变化范围即函数定义域为[-2，8].在定义域已知的条件下，我们可以通过函数的单调性，较便捷地判断函数的值域范围.由于函数为复合函数，则其单调性与两个单函数的单调性有关，学生应该先判断u=3x+6为单调递增函数，经过简单验证也可判定v=-8-x为单调递增函数，最终得到y=u+v也为单调递增函数，所以当x=-2时，y取得最小值-10；当x=8时，y取得最大值30，那么函数的值域为[-10，30].

数学思想决定着解一道题时，人的思考方向和解题步骤，是最能体现数学思维能力高低的.学会将复杂问题一步步化难归简，可以很好地体现高中生思维的概括性和简洁性，进而完成思维灵活性的训练，这也是素质教育理念对教学的影响.

二、数形结合，多元转化

有道是“授人以鱼，不如授人以渔”，做题方法的掌握，解题思想的形成才是让学生终身受益的事情.数形结合就是解决函数问题最常用到的思想之一，将题干中反映问题的抽象数量关系用直观的平面图形展示出来，实现形象思维和抽象思维的完美结合，在不断转化中找到所给条件和解题目标之间的联系.

例如苏教版高中数学必修一例题：若x+2y=4，x>0，y>0，试求lgx+lgy的最大值.

当遇到这道题目时，学生一时间会觉得无从下手，因为x和y是两个变化的量，且两者的变化互相影响，不能确定要求函数的值域.此时我带领学生仔细观察条件后发现x和y的变化关系是一条直线的方程式，所以可以将（x，y）看作是P点的坐标，则这道题目又可转变为当P点在直线x+2y=4上移动时，函数lgx+lgy=lg（xy）的最大值.接着我让学生根据直线方程画出这条直线，并可以根据直线与x轴和y轴的两个交点确定x和y的变化范围分别是：x∈（0，4），y∈（0，2），所以lgx+lgy=lg（xy）=lg[y（4-2y）]=lg[-2（y2-2y）].将原题的函数式变化到这一程度时，学生就可以很明白地确定在y=1时，函数lgx+lgy取得最大值lg2.

要求函数值域，定义域是必然要用到的已知条件，这道题的题干虽然不长却很好地将定义域隐藏了起来，所以利用数形结合的思想挖掘信息是解题关键，达到豁然开朗的效果，帮助学生快速找到突破口.

三、一题多解，深入探索

古人云“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，同一件事物从不同角度看，会得到不一样的收获.数学解题也是一样，每个学生有自己对题干和相关知识点的独特理解，必然造成解题方法的多样性，一题多解的发散性思维也正是突破函数值域教学难点的一把利器，帮助学生从方方面面将知识了解得更透彻，进而发现最优化的解题思路.

例如苏教版高中数学必修一习题：求函数f（x）=2x-3+4x-13的值域.

函数值域是函数教学的重点，我希望可以讲解更多样化的解题方法，以便满足不同学生的认知需求.对这道题而言我决定采取两种方法.

1.配方法.可以将整个根式作为变量进行配方，y=12（4x-6+24x-13）=12[（4x-13+24x-13）+7]=12（4x-13+1）2+3.得到这样的变形后，我们可以根据算术根一定是大于等于0的，所以y≥12+3=72，即函数的值域为[72，+∞）.本方法最重要的是对和的平方公式变形的要领掌握，去构建和的平方公式.

2.根据单调性判断.将整个函数划分为2x-3和4x-13两部分，分别判定单调性进而决定复合函数单调性.由4x-13≥0得到函数的定义域为x≥134，而u=2x-3在定义域内是单调递增的函数，v=4x-13也是单调递增的函数，所以两者的和也是单调递增的函数，所以当x=72时，函数取得最小值y=72，由此可知函数的值域为[72，+∞）.这一方法的重点则放在函数性质上，由定义域和单调性来求值域.

通过这样的设计可以培养学生的变通能力，变通也正是发散性思维的重要体现.作为教师我们要留给学生充分的思考时间和空间，不断讨论交流，发现更多的解题思路，完成对函数值域的深入研究探索.

总而言之，强化高中生的基础知识积累，打破思维定式的禁锢，挖掘其思维的流畅、变通性质，才能真正实现函数值域教学的成功.然而教无定法，函数作为高中数学的重点章节，需要进一步地研究教材、探究教法，开发学生的发散性思维，培养勇于探索新方法，开辟新思路的创造型人才.