从文化的角度看微积分的教育价值

王慧敏

现在，不仅理工科，越来越多的综合性大学开设了高等数学课（主要是微积分），而且微积分也进入了高中，职业高中的课堂.其开设目的是拓展学生知识面，优化素质结构，实现文理整合，培养创新人才.然而微积分的教学也面临以下问题：学生对开设的目的理解不清，他们基础差，对数学成见尤深，枯燥、抽象、离实际远是数学的代名词，不合作的被动心态居多，教师因学科本位注意思想，讲课时啃了“严谨、抽象、证明”这根枯骨而丢了“思想、方法、文化”等血肉，效果令人堪忧.因此，要重新审视微积分在职业高中的教学.

一、思维方法层面

诚如恩格斯所说：“变量的数学其中最主要的部分是微积分，不外乎是辩证法在数学方面的应用.”相对中学里常见的形式逻辑思维，微积分除了分析综合、抽象概括、归纳演绎、直觉猜想等一般思维方法外，更多的是辨证的思想与思维方法.相应的思维方式从基本上是静止地、孤立地、片面地看问题跃迁到动态地、辨证地、全面地看问题.研究对象有：常量与变量，有限与无限，形象与抽象，离散与连续，变与不变，直与曲，质与量，近似与精确，微分与积分，无穷大与无穷小，特殊与一般，换元与转换，原因与结果，偶然与必然，形式与内容等.

二、认识论层面

古希腊文明的最大特点是崇尚理性.居于那个时代的数学之神阿基米德已有微积分的思想（穷竭法）的萌芽.当中世纪的阴影渐渐散去时，欧洲迎来了文艺复兴时代.人们掸去古希腊理性思想上的宗教神学的历史尘埃.如获至宝地将之和土生土长的实证精神并排供于科学的神龛之上，数学有了突飞猛进的发展，并因此进入了所谓的英雄时代.牛顿和莱布尼兹把微积分理论建在以直观为基础的运动学和几何学的连续之上.这种大胆的做法虽然屡获成果，同时也铸就了微积分理论基本概念含糊不清的致命伤.例如，无穷小就闪烁其辞和难以把握，以至贝克莱猛烈抨击它是“已死量的幽灵”.对无穷小隔靴搔痒了多年，一直到18世纪数学家们依然搞不清它的实质.因而，很长的一段时间里，瑰丽的微积分理论大厦在颤巍巍的浮冰上摇摇晃晃.终于，柯西等给出了比较严格的极限定义，把无穷小定义为极限为0的变量，人们才如梦初醒，微积分的基础才得以巩固.

从微积分的孕育、诞生到童年时代，无不浸透了科学家殚精竭虑的汗水.它启迪人们：经验到底能带给我们什么，真理是什么样子，什么时候我们就可以心安理得地接受某些理论，面对旧式思想的束缚，我们何去何从；同时也警告人类，当戴老花镜看新事物时（如无穷大、无穷小量就不能用适于有限量的运算方法来处理等），感性的东西给我们以直观经验，但往往也欺骗人类的纯真.因此，庞加莱说：“知觉是不难发现的，它不能给我们以严格性，甚至不能给我们以可靠性，这一点愈来愈得到公认.”而微积分的诞生正是人类精神的伟大胜利，当看到它宛若婴儿般蹒跚在科学的独木桥上时，后世的人们无不怦然心动.

三、价值观层面

有几层含义：其一是作为科学的数学有一套不同于其它学科的自身价值标准（对微积分的应用价值不必细说）.数学的一般发展过程是：常识——语言化——公理化——形式符号化——自由化，整个过程即数学化.微积分的产生、发展也大致经过如上的过程：先从航海贸易、矿山开发、枪炮制造等提出力学和数学问题，由牛顿和莱布尼兹大体完成发明，但不严谨，爆发所谓的“第二次数学危机”.之后，柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等将之完善，分析理论在此基础上更加抽象化、形式化、自由化.其二是不同的人（数学共同体）研究（学习）数学有不同的价值（审美）标准（甚至同一个人在不同的时期对数学也有不同的标准）.如就数学本身是否应该关注实际应用就把数学家大体划分为纯粹数学家和应用数学家.对无穷的不同认识就把数学家分为潜无限论者和实无限论者.而在数学史上交相辉映的古代中国的机械化算法体系和古希腊的公式化演绎体系显然又代表了不同的风格.回过头来，因为大国沙文主义和狭隘民族主义的思想作祟，就微积分的发明权在英伦诸岛和欧洲大陆之间争吵了半个世纪.后来人们才接受两者是独立发现的事实：牛顿早莱布尼兹10年开始研究，而莱布尼兹先牛顿3年公开成果.其实只要从两者的研究风格和价值的取向上，就不难了却这一段历史上的公案.而这也就从一个侧面反映了以牛顿为首的“英国学派”和以莱布尼兹为代表的“大陆学派”的数学传统文化差异和人类文化的价值多元.看表1.

四、情感陶冶层面

当前，数学教育中偏重学生的逻辑思维和认知能力的发展，很少指向人的个性、创造性、实践能力，忽视情感体验的培养，轻视非智力因素的教育，这些已是不争的事实.如何妥善引导学生品位人类文化的喜悦和精神胜利，促进学生积极情感、价值观的形成发展，也是能否发挥微积分课的素质教育功能之所在.我在实际的教学中，用建构主义理论指导教学实践，从身边的例子、应用、经历、体验入手，用轻松幽默的通俗语言创设数学情境，阐述数学思想，受到学生的普遍欢迎.

案例 关于连续的引入，我根据《扬子晚报》上的报道讲了个故事，天津静海一农民养一鸡，日产一蛋，某日鸡产蛋欢叫离去后，即被不知名物食蛋，壳弃窝旁，农诧，乃窥，大蛇也，遂造一木蛋，形、色、味类尔，隔日鸡去后，代之，蛇至，边吞边去，俄顷噼啪摔打，吐血而毙.这里蛇犯的错误就是错把间断当连续，而人的成功在于等量代换.而关于lim（1+1/n）n=e的引入，我则从黄世仁收租的利滚利入手，再到银行的复利，建立数学模型，n→∞ 并说明它可用于物体的冷却、镭的衰变、细胞的繁殖、树木的生长等现实场合……

科学真正合理的目的就是从混沌中找到秩序，从而赋予人类生活以新的创造和财富，微积分理论的诞生与发展无疑印证了这一点，它是数学史上乃至人类文明中上光辉的里程碑.