发展初一学生类比猜想能力的方法探微

李磊 金杨建

[摘 要] 类比和猜想是密不可分的两种数学学习方法，类比和猜想均是一种或然性的推理，其结论是否正确还有待实践证明. 但是，数学问题的提出和解决，是推动数学发展的重要力量，发现问题某种程度上比解决问题更重要，因此，在数学教学中，加强学生类比猜想能力的培养对提高学生的思维能力和创造力具有重要的意义.

[关键词] 初中数学；类比；验证；思维能力

类比是一种方法和意识，猜想是一种能力和思考. 开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它是最不容易忽视的. ”几何中确实有许多丰富而有趣的知识、问题和结论，能够较好地发展学生的类比猜想能力. 笔者以苏科版教材七年级上“平面图形的认识（一）”和七年级下“平面图形的认识（二）”（以下简称教材）两个章节中的相关内容，谈一谈发展初一学生类比猜想能力的方法.

从知识联系并寻找类比猜想的切入点

波利亚认为，类比就是一种相似. 从教材中寻找知识之间的相似，有助于学生初步感受类比的方法. 例如：线段和角是几何概念中的两个基本元素，线段的中点和角平分线之间存在着许多相似之处. 笔者执教“6.2 角”时，采取的策略就是类比——复习线段中点的定义、性质及其几何语言，从而类比得出角平分线的定义、性质，及其几何语言. 板书设计如图3（对教材适当加工）：

线段中点相关知识的复习，一方面是对之前课程内容的复习，另一方面也为本节课的类比学习埋下伏笔. 在授课过程中，由线段中点类比角平分线的相关知识，是由学生犹如行云流水般类比得出的，酣畅淋漓. 《义务教育数学课程标准》（以下称《标准》）指出，数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联. 本节课此处教学方法的设计、板书的设计均强调了中点与角平分线这两个知识之间的关联，有助于学生达到其“最近发展区”. 用类比搭建了知识与知识之间桥梁的同时，为发展学生的类比猜想能力提供了一个立足教材的切入点.

从方法共性寻找类比猜想的生长点

张奠宙教授指出，“学生通过无处不在的基本数学活动获得的经验，与数学基本知识、基本技能、基本思想方法交织在一起，渗透在整个数学学习过程之中”，并给出了四基模块示意图（如图4）. 从中可以看出，数学基本思想方法是在基本知识、基本技能的基础上，结合学生的基本活动经验发展而来的，因此，教学中通过例题讲解这一基本学习活动发展学生的数学基本思想方法十分必要.

教学教材“6.1 线段、射线、直线（第2课时）”时，笔者设计了以下例题1（即三个问题）.

问题1 如图5，点C为线段AB上任意一点，点M，N分别为AC，BC的中点，则线段MN与AB满足何种数量关系？说明理由.

同时，在实际教学过程中，笔者追加一问.

问题2 如图6，若点C在线段AB的延长线上，上述结论是否仍成立？说明理由.

最后，笔者又补充一问.

问题3 若点C在线段AB的反向延长线上，上述结论是否仍成立？说明理由.

这三个问题的设计，主要用于发展学生在方法上类比的意识，同时也为角的学习做铺垫.

笔者执教“6.2角”时，仍呈现这三个问题，并板书主要过程（此处不赘述），同时提出：“请类比我们在学习线段中点知识时的这一情形，自编角平分线类似的问题，猜测其结论，并说明理由. ”待学生小组讨论后，陆续呈现例2的3个问题（笔者做了必要的提示及语言规范）：

问题1 如图7，OC为∠AOB内任意一条射线，OM，ON分别为∠AOC和∠BOC的平分线，则∠MON与∠AOB满足何种数量关系？说明理由.

问题2 如图8，OC为∠AOB外任意一条射线，OM，ON分别为∠AOC和∠BOC的平分线，则∠MON与∠AOB满足何种数量关系？说明理由.

问题3 如图9，OC为∠AOB外任意一条射线，OM，ON分别为∠AOC和∠BOC的平分线，则∠MON与∠AOB满足何种数量关系？说明理由.

学生亦能从之前复习线段中点三个问题的解题过程中类比找出这三个问题的解题思路和证明过程，课堂进行得很流畅，学生亦能从简单模仿中强化证明思路和推理方法.

在对本题进行小结时，笔者抛出如下问题：例1中的三个问题，点C均在直线AB上，若在直线AB外（如图10），结论仍然成立吗？同理，例2中的三个问题，OC均在平面内，若在平面外（笔者利用圆规和教鞭模拟），结论仍然成立吗？两个问题的抛出，立即引起了学生的热议.

第一个问题，就目前初一学生所掌握的知识，学生无法解决；第二个问题，学生在初中阶段也无法解决（立体几何中的问题），但这两个问题未尝不是对例1、例2类比的升华？对培养学生的类比猜想能力有一定的帮助. 同时，这两个问题大大增强了学生的学习兴趣和热情. 当学生学习中位线知识以及高中学习立体几何之后回过头来想这个问题，必定会为数学中这一奇妙的结论所吸引，也会为自己初一时正确的猜想而喜悦. 正如《标准》指出的，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等过程.

从结论共性寻找类比猜想的延伸点

顾泠沅教授指出，类比包含表层类比（形式或结构上的简单类比）；深层类比（方法或模式上的纵向类比）；沟通类比（各分科之间的类比）. 例1中的三个问题之间、例2中的三个问题之间都属于表层类比，例1与例2之间则属于深层类比. 笔者最后抛出的问题则属于沟通类比. 类比是猜想的基础，猜想是类比的升华. 但是，为了发展学生的类比猜想能力，不能仅仅停留在形式、方法相同或相似上，而应在异中探同，同中猜异.

一次作业中出现了如下习题.

习题 如图11，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD与CD相交于点D，问：∠A与∠D有怎样的数量关系？请说明理由.

讲评作业时，笔者又呈现了这道试题的两个变式：

变式1 如图12，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，BD与CD相交于点D，问：∠A与∠D有怎样的数量关系？请说明理由.

变式2 如图13，在△ABC中，BD平分△ABC的外角∠CBE，CD平分△ABC的外角∠BCF，BD与CD相交于点D，问：∠A与∠D有怎样的数量关系？请说明理由.

但笔者并未立即组织学生继续探究变式2的结论，而是要求学生结合习题和变式1的已得结论，大胆猜测变式2的结论. 虽然猜测的过程并不一帆风顺，但这个过程对培养学生的类比猜想能力有一定的帮助. 正如《标准》指出的，“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习生活中经常使用的思维方式.……合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比推断某些结果……”课堂是允许犯错的地方，学生类比猜想出错误的答案未尝不是一件好事.

再次借用张奠宙教授的话：“多年来，数学思想方法本身的研究非常丰富，但是如何在课堂上进行思想方法的教学，研究的文献非常少. ”笔者仅想通过对“平面图形的认识”部分教学环节的思考，以发展初一学生类比猜想能力的方法为切入点，探索数学思想方法在课堂教学中的实际应用. 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索.