对“多边形内角和”的理论与实践研究

秦仕祥

[摘 要]“多边形内角和”是苏教版数学教材四年级下册的探索规律的教学内容，这部分内容的教学目标不仅仅是对“多边形内角和计算公式”的理解、掌握和应用，更重要的是让学生经历实实在在的数学探究过程，在探究中感悟多边形的内角和与边数之间的内在联系，进而推导出多边形内角和计算公式，在此基础上帮助学生积累数学活动经验、发展空间观念，培养学生动手操作能力和逻辑推理能力。

[关键词] 多边形 内角和 探索规律 提升思维

教育部审定的2013苏教版数学教材中编排了一些数学探究教学内容，四年级下册数学教材第96页的“多边形内角和”就是其中之一。

一、知识分析

“多边形内角和”是研究多边形所有内角度数总和与多边形边数之间关系的知识，其表达式是“多边形内角和=（边数—2）×1800”，其中（边数—2）是分割成的三角形的个数，1800是一个三角形的内角和。怎么理解这个计算公式呢？

（一）理解思维一

因为三角形是最简单的多边形，任何一个多边形都可以分割成若干个三角形，所以研究多边形的内角和就以三角形的内角和为基础，先把多边形分割成若干个三角形，再把分割成的三角形的个数与1800相乘，乘积就是这个多边形的内角和。分割的原则：分成的若干个三角形的内角和要正好等于原来多边形的内角和。分割的方法：分成的三角形的三个顶点都在原多边形的顶点，分割线不能相交。一个多边形可以分成多少个三角形呢？直观思维：通过分割操作发现四边形可以分割成2个三角形、五边形可以分割成3个三角形、六边形可以分割成4个三角形、七边形可以分割成5个三角形、八边形可以分割成6个三角形……发现分割成了“边数-2）个。理性思维：以多边形的一个顶点为起点与其它顶点连分割线，除了本身、左右相邻两点不好连接外其它点都可以连接，所以可以连接（边数—3）条分割线，分割线连接完成之后的图形就是“三角形和分割线一一间隔排列”，两端都是三角形，所以三角形个数比分割线条数多1，分割成的三角形个数=边数-3+1=边数-2。因此多边形内角和=（边数-2）×1800。

（二）理解思维二

在多边形内任选一点，把这点与多边形所有顶点连接成三角形，是几边形就可以连接几个三角形，用边数乘1800就是这些三角形的内角和，但是这些三角形的内角和比原来多边形的内角和多了以这点为顶点的若干个角的和，这些角的和正好是一个周角3600，所以多边形的内角和=边数×1800-3600=边数×1800-2×1800=（边数-2）×1800。

二、教材分析

教材的编写可以分为五个板块。

（一）回顾旧知、引出新知

教材第96页的第一节及下面的三幅图形，先引导学生回顾唤醒三角形内角和1800的旧知，在此基础上抛出“四边形、五边形、六边形等多边形的内角和是多少呢？”的问题，引入本节课要探究的数学问题，激发学生探究的积极性。

（二）初步探究，得出方法

教材第96页第二节及下面图解，先让学生自主探究直角梯形的内角和，教材预设了两种方案。方案一：直角梯形中有两个角是直角（900），另外两个角的度数不知道，学生可能会想到“先测量直角外的两个内角的度数”，再求出四个角的度数和900+900+1400+400=3600。方案二：因为三角形的内角和是1800，所以学生可能会想到“先把直角梯形分成两个三角形”，再算出直角梯形的内角和是1800×2=3600。分割计算的方法要比测量求和的方法高级，而且是探索多边形内角和的必须的方法，所以教学时务必帮助学生理解和掌握分割计算的方法。

（三）自主探究，积累素材

教材第96页第三节、第四节及中间的分割图，先让学生用分割的方法自主探究五边形、六边形的内角和，接着再让学生研究七边形、八边形……的内角和，一方面帮助学生在操作中理解和掌握分割三角形的方法，另一方面为研究多边形边数与分成的三角形的个数之间的关系提供素材。

（四）探索规律，抽象概括

教材97页的表格到多边形内角和的表达式。先让学生把前面研究的多边形的名称、边数、分成的三角形个数、内角和的算式填在表格内，再让学生仔细观察这个表格，通过观察、比较发现规律：可以把多边形分割成若干个三角形计算多边形的内角和；分割成的三角形的个数都是“边数-2”个；分成几个三角形，多边形的内角和就是“几×1800”。从而推导出“多边形的内角和=（边数—2）×1800”。

（五）回顾反思，提炼思想

引导学生回顾研究多边形内角和的过程，反思探索多边形内角和的方法，使学生体验转化对探索多边形内角和的作用，掌握探索规律的方法，积累数学活动经验，感悟转化、内比、归纳等数学思想方法的价值，培养和发展学生的问题意识、探索意识和创新意识。

三、学情分析

皮亚杰的认知发展理论把思维发展分成四个阶段：感知运动阶段（0-2岁）、前运算阶段（2-7岁）、具体运算思维阶段（7-12岁）和形式运算阶段（12-15岁）。小学四年级学生正处于具体运算阶段，皮亚杰认为：此时儿童从表象性思维中解脱出来，认知结构中已经具有了抽象概念，因而能够进行逻辑推理，但运算仍离不开具体事物的支持。因此学生研究多边形内角和的探索起点是测量计算的方法，需要在教师暗示、启发才能把研究的方法转移到抽象的分割推算方法上来，更需要教师的引导和搀扶才能理解和掌握分割推算的方法，其中如何分割成若干个三角形是学生研究的难点，分割后的逻辑推理需过程离不开教师的启发和引导。

四、目标分析

本探索规律的教学内容属数学教育的范畴，教学目标不仅仅在于对“多边形内角和计算公式”的理解、掌握和应用，而在于对“多边形内角和计算公式的推导过程”的理解，在于经历数学探索的过程，感悟科学探究的方法，使学生在探索规律的实践活动中积累数学活动经验，掌握科学探究的方法，发展学生的探究能力、逻辑推理能力。所以教材的教学目标这样定位是：1.使学生通过观察、操作、推理等数学活动，探索并发现多边形内角和与其边数之间的关系，并用式子表示探索发现的规律。2.使学生在探索多边形内角和的过程中积累探索和发现数学规律的数学活动经验，发展学生的空间观念，培养学生动手操作能力和逻辑推理能力。3.使学生在参与探索规律的过程中，体验探索的乐趣，并对数学产生浓厚的兴趣，感受数学的神奇和魅力，增强学好数学的自信心。

五、教学预设

由于本教学内容属于规律探究的教学内容，因此教学重点应当放在帮助掌握科学探索方法上，探索规律的一般方法是：首先由最简单到复杂研究几个实例，其次对研究的几个实例加以观察、比较、分析寻找它们的相同点；再次提出某一猜想并验证，最后总结规律。探索多边形内角和的规律分这几步逐步展开：首先研究最简单的三角形内角和，逐步增加难度研究四边形、五边形、六边形、七边形……的内角和，其次对前面研究的几个多边形的内角和进行观察、比较寻找共性的东西，提出数学猜想，再次从理性的角度验证猜想，最后得出多边形的内角和=（边数—2）×1800。因此教学时要按照这样几个步骤组织教学活动。

（一）唤醒旧知、导入新课

1.出示一个三角形

问：这是什么图形？我们已经学习了三角形的什么知识？

设计意图：通过学生交流唤醒学生有关三角形的知识，明确三角形内角和1800，为研究多边形内角和奠定知识基础。

2.出示一个长方形、正方形、梯形、五边形、六边形

（1）这些又什么什么图形？

（2）这些图形有内角和吗？请你指出这些图形的内角和是哪些角的度数和？

（3）仔细观察一下，这些图形内角和与三角形的内角和大小怎样？为什么？

（4）在这些图形中谁的内角和最大？谁的最小？你是怎么想的？

设计意图：通过让学生指一指每个图形的内角和是哪几个角的度数总和，帮助学生理解内角和的含义，再让学生比较这些图形的内角和的大小，并思考为什么？帮助学生明白：边数越多，内角的个数也就越多，而且每个内角度数也越大。从而感悟多边形边数越多其内角和也就越大。

（5）这些图形的所有内角和是多少度呢？（不要求学生回答）

教师谈话导入新课：今天我们就来研究多边形的内角和。

（二）引导探究、制造冲突

谈话：我们在研究一个数学知识时，一般都是从简单到复杂进行研究，那么我们应当先研究哪个图形的内角和呢？

1.研究长方形的内角和

（1）这个长方形有几个内角？

（2）这个长方形的内角的和是多少？你是怎么想的？（900×4=3600）

（3）如果老师换一个比它大的长方形，你知道它的内角和是多少？为什么？

（4）如果再换一个比它小的长方形呢？为什么？

（5）由此可以得出什么结论？

2.研究正方形的内角和

（1）这个正方形的四个内角和是多少？你又是怎么知道的？（900×4=3600）

（2）比它大的正方形内角和是多少？比它小的正方形内角和是多少？为什么都用900×4=3600计算？

3.研究直角梯形的内角和

（1）这个一个什么图形？

（2）这个图形的四个内角与长方形和正方形用什么不同？

（3）你打算怎么求这个图形的四个内角的和？

学生在印发的直角梯形中操作得出：900+900+1400+400=3600

（4）刚才我们是先测量出右边两个内角的度数，再用加法算出这个直角梯形的内角和，如果不测量右边两个角的度数，你能想办法求出这个直角梯形的内角和吗？

先让每个学生独立思考，再同桌交流，最后全班汇报。

设计意图：此时教师要求学生不测量未知角的度数求直角梯形的内角和，“逼”学生转换思路、另辟蹊径寻找“分割推算”的方法。

（三）另辟蹊径，提升思维

1.汇报交流，理解道理

（1）你是怎么想的？

（2）为什么把这个梯形分成两个三角形？

（3）怎么分割的？分割之后怎么计算内角和的？

（4）老师有一个问题：分割以后用1800×2=3600是两个三角形的六个内角的和，为什么也是这个梯形的四个内角的和的呢？

设计意图：借助上图引导学生推理：两个三角形的六个内角的和=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，因为∠1=∠A，∠2+∠6=∠B，∠5=∠C，∠3+∠4=∠D，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠A+∠B+∠C+∠D=直角梯形的内角和，帮助学生理解分割推算多边形内角和的科学道理。

2.反例研究，掌握方法

（1）我们来看这种分法，把这个梯形分成了四个三角形，1800×4=7200，这样分割计算可以吗？

（2）为什么不可以？

设计意图：借助上图引导学生观察思考：分成四个三角形，这四个三角形的12个内角和比原来的梯形的内角和多了中间四个角（对角线交叉形成的四个角），也就是分成四三角形的内角和比这个梯形的内角和多了3600，所以这样分割不可以。

（3）从这里可以看出，分三角形时有什么要求？

教师小结：用分割成三角形求梯形内角和时，要保证分成的两个三角形的内角和正好等于梯形的内角和，分割成的三角形的顶点要在原来梯形的四个内角上，也就是分割线不要相交。

设计意图：分割是学生研究多边形内角和的难点，自然是教学的重点，通过反例的研究，让学生感悟分割线不能相交的道理，掌握分割成两个三角形的方法，为研究其它多边形的内角和奠定思维基础和方法基础。

（四）深入研究，积累素材

1.研究一个任意四边形的内角和

（1）刚才我们研究了长方形、正方形和直角梯形这样的四边形的内角和是3600，那么其它的四边形的内角和是不是也是3600呢？请同学们自己举一个四边形研究研究。

学生自己独立研究，再同桌交流，最后全班汇报

（2）谁来说说你是怎么研究的？

设计意图：通过长方形、正方形和直角梯形内角和的研究，还不能得出所有四边形的内角和是3600结论，所以此时放手让学生自主研究，使学生感悟到：不管是什么样的四边形都可以分割成两个三角形，这两个三角形的内角和正好是原四边形的内角和，所以四边形的内角和是1800×2=3600。

2.研究五边形的内角和

（1）刚才我们应用分割成三角形的方法研究出了四边形内角和是3600，你们能用这样的方法研究五边形的内角和吗？

（2）学生拿出课前准备的五边形先分割操作，再推算内角和。

（3）你们是怎么分割成三角形的？下面的分法你赞成哪个？为什么？

（4）你有什么经验与同学们分享？

（5）分成了几个三角形？怎么推算五边形的内角和？

设计意图：多边形的边数增加了，分割也变复杂了，通过观察、比较帮助学生感悟和掌握分割的方法：从其中一个顶点起向其它顶点连分割线，连完为止。

3.研究六边形、七边形、八边形的内角和（略）。

（五）理性思考，探寻规律

刚才我们研究了四边形、五边形、六边形……的内角和的，还有哪些多边形的内角和需要研究？

接下来你打算怎么研究九边形、十边形……的内角和？

分割成三角形的个数有没有规律呢？先把刚才的研究的情况填在表格里，再仔细观察这个表格，你们有什么发现？

三角形的个数=（边数-2）是规律吗？怎么验证？

现在用字母n表示多边形的边数，一共可以分成多少个三角形？n边形的内角和怎么算呢？

设计意图：帮助学生感悟：多边形有无数种，如果用分割操作的方法研究永远研究不完，必须转换研究的思维，从而激发学生探索规律的欲望，并在观察、思考、交流活动中感悟多边形边数与分割成的三角形个数之间的关系。并借助操作的分割图的观察与思考，帮助学生发现：以其中一个点向其它点画分割线，除了自己和左右两点不好连接，其他的点都可以连接分割线，一共可以连接（边数-3）条分割线，这时就是三角形和分割线一一间隔排列，两端都是三角形，三角形的个数比分割线的条数多1，所以三角形的个数就是（边数-3+1=边数-2）个。并总结出：多边形内角和=（边数-2）×1800。

（六）回顾反思，提升素养

今天我们研究了什么知识？

我们是怎么研究多边形的内角和的？

通过这节课的学习你有哪些收获？

设计意图：通过让学生对探索多边形内角和计算公式的过程的回顾个反思，帮助学生积累数学活动经验、发展空间观念，培养学生动手操作能力和逻辑推理能力。