因为理解，所以“轻松”

朱国仙　章显联

摘 要：课堂教学要想“轻松”，关键在于课前做到三个“理解”：即理解学生，理解教材，理解数学. 本文以一节公开课为例，对此做了一番阐述.

关键词：轻松；理解；简录；启示

前不久，章老师开了一节公开课，听课的有各学科的老师，课后点评时，大家给出了很高的评价，其中一位物理老师这样评价：“听章老师的课很轻松，学生也学得轻松，师生互动得多，教师讲得不多，但能起到四两拨千斤的效果.” 章老师的课堂教学之所以“轻松”，笔者认为关键在于课前做到了三个“理解”：即理解学生，理解教材，理解数学.

这节课的教学简录

（一）温故知新，引出课题

求斜率为3的直线上两点A（1，a），B（2，b）的线段AB的长度.

通过学生练习自然地复习了平面直角坐标中两点间的距离公式及其变式，即斜率为k直线上两点间的距离公式为y=

x1-x2

，同时，引出课题——点到直线的距离.

设计意图：平面图形最基本的要素是点和线. 在研究了两点间距离公式后，自然会去研究点线间的距离，当然还可以更深入地去探究两平行线间的距离. 这三个距离公式是一脉相承的，因此，这样引入自然、贴切，符合学生的认知规律.

（二）特例引入，巧做铺垫

引例：在平面直角坐标系中，（1）求点P（1，1）分别到直线x=2，y=-2的距离.

（2）求点P（1，2）到直线l：x+y-5=0的距离.

问题1：点到直线的距离指的是什么？

问题2：为什么选择垂足与点P的距离作为点线距离？选直线上其他点与P点距离可以吗？

问题3：点到直线的距离还可以怎么定义？

设计意图：复习点到直线距离的垂线段定义法，同时引出广义定义法，即点到直线上所有点距离的最小值，为后续目标函数的推导方法的展开埋下伏笔.

自主探究：请学生计算引例中的距离，并考虑用多种方法进行解答.

设计意图：从具体的例子出发求距离，相对来说，计算量更小，学生有更充裕的时间去发现解法的多样性，为后续求抽象的点线距离做好准备.课堂上出现以下几种解法.

1. 垂线段法

评注：很好，该思路自然、简单、清晰.

2. 解直角三角形法

如图2，在图1的基础上，过P作PR∥x轴交直线l于点R.

评注：这种方案将点到直线的距离问题转化为解直角三角形问题. 在斜边及角度已知的情况下，显然运用三角函数的知识可以轻松求解.

3. 等面积法

如图3，在图2的基础上，过P作PS∥y轴交直线l于点S.

评注：直角三角形构造巧妙，避开研究三角形的内角，计算简洁，快速得出结果.

问题4：还有别的做法吗？如果从刚才点到直线的本原定义来看，我们可以先将点到直线上任意一点的距离表示出来，再求这个距离的最小值即可. 那么，要求最小值，我们可以从什么地方切入呢？

设计意图：引出目标函数法.

4. 目标函数法

步骤1：求出点P到直线l上任一点M（x，y）的距离的平方：

评注：该方法运用函数思想，将几何问题代数化，是典型的解析几何解法.

（三）公式推导，殊途同归

问题一般化：在平面直角坐标系中，求点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离.

问题5：以上这些方法应该都可以用来解决该问题，但同学们会选择哪种，或者哪些方法来做呢？为什么？

设计意图：进行方案比较，优选；在比较中，再次领会各种方案的思想方法，比较它们的优缺点，选择合适的方案执行.

法1：垂线段法：先求交点，再求两点间距离. 特点：思路简捷，计算较繁，体会坐标法、化归法的思想.

法2：等面积法：构造直角三角形，使得所求垂线段为斜边上的高，用等面积法求出高.

步骤1：过P作x，y轴的垂线，分别交直线l于M，N，构造直角三角形MPN；则PQ为斜边上的高（如图4）.

问题6：在上述推导过程有没有不够严谨的地方？

设计意图：由学生自我排查，发现A，B必须都不等于0的条件等问题，培养学生思维的严谨性.

（四）公式记忆，学以致用

教师引导学生验证A=0或B=0的特殊情况也符合一般的距离公式. 最后得到点到直线的距离公式可统一为d=.

问题7：这个公式如何记忆？

问题8：这个公式对点、线的位置有没有要求？

设计意图：强化公式记忆，明确公式的适用范围.

例1 请你编一道与点到直线有关的题目

设计意图：本题是开放题，可强化学生对公式的理解，激发学生学习兴趣.

例2 （1）设点A（4，0），B（0，4），求原点到直线AB上各点距离的最小值.

（2）求过点A（-2，3）且与点B（-3，5）的距离为1的直线方程.

（3）求与直线x+y+2=0平行且距离为的直线方程.

（五）归纳总结，思维提升

1. 学习了点到直线距离的定义；

2. 学习了点到直线距离公式的四种不同推导方法，其实点到直线距离公式的推导方法还有很多种，如：向量法、参数法、不等式法、坐标平移法等；

3. 在公式推导过程中，领悟特殊到一般、转化与化归、分类与整合、数形结合、函数与方程等数学思想.

（六）课后作业，巩固实践

1. 上网查阅点到直线距离公式的多种推导方法；感受数学知识的广博与统一.

2. 书面作业：鲁中作业本P121

启示

这堂课之所以得到好评，从“一堂数学课”的角度看，笔者认为还是在“三个理解”，即理解数学，理解学生，理解教学.

教师在“理解数学”上具有高水平，这是上好一堂数学课的前提条件. 数学课首先还是要把数学教好，数学育人的载体是数学的内容及其由内容反映的思想方法. 只有当教师具有挖掘数学知识蕴含的价值观资源，并能以与学生智力发展水平相适应的方式表达出来，以恰当的方式传达给学生，才能有效地实现数学课程的育人目标. 假如教师对数学的理解不到位，连“讲对”都还做不到，那么其他一切都是空谈，对学生的关怀、热爱也会变得苍白甚至虚伪. 《点到直线的距离》这节课的内容是从初中平面几何的定性作图向高中解析几何定量计算的过渡. 点到直线的距离公式是解析几何后续学习的一个基础工具，属于概念性知识. 本节课蕴含分类与整合、转化与化归、数形结合、函数与方程等丰富的数学思想；它既是两点间距离公式的延续，又为导出两平行线间距离公式做了铺垫，具有承上启下的重要作用. 贯穿于本节课的两条主线：一是明线，提陈述性知识的呈现，公式的推导、应用、记忆；二是暗线，指程序性知识的渗透、数学思想的领会、数学本质的探究、数学美感的欣赏等. 正是基于对本节数学本质的理解，对于公式的推导在特列的引导下，放手让学生思考，推导，对于课堂中的各种生成，教师也能做到胸有成竹，适时点拨，学生积极思维，高潮迭起.

“理解学生”，核心是理解学生的数学认知规律和情感发展规律. 具体针对一堂课而言，就是要理解如下几个方面：一是当前的数学知识与学生的生活经验和已有数学经验的联系，这是确定教学出发点的依据；二是当前知识与学生已有认知结构的“距离”，这是确定教师对学生学习过程干预强度的依据. 本节课中学生已有的认知结构：学习了两点间的距离公式，且具备了相关的几何知识，如：交点、垂直、三角函数等. 学生对坐标法解决几何问题有初步的认识. 正是基于学生的认知结构，教学设计时不急于将一般性的问题呈现出来，而是特例引入，巧设铺垫，达到了较好的教学效果：学生学得主动，教师教得轻松.

“理解教学”当然是对数学教学规律的认识和教学机智的敏锐水平. 理解数学、理解学生是把数学教好、发挥数学的育人功能的前提条件，但如果在理解教学上不到位，同样不能达到目的. 适合学生的教学才是最好的教学，课堂上做到恰到好处才是智者. 如公式推导中的第一种方法，教材中是这样叙述的：“上述方法思路十分自然，但是运算较繁，下面我们采用另一种方法.” 根据教材中这段话，绝大多数教师对这节内容进行教学时，以尊重教材为前提，从而一滑而过，学生也一直认为求交点坐标很难，这使解决此题失去了一次良好的机会. 事实上计算并不复杂，放开让学生去推导，反而达到了良好的教学效果.