《1.5.1曲边梯形的面积》教学设计

吴俊英

摘 要：定积分是微积分教学的重要组成部分，而曲边梯形面积的求解过程是定积分概念的核心内容. 本文通过实例分析介绍曲边梯形面积求解的教学设计，解析教学过程中的重点与难点，并通过课堂教学后的总结与反思，进一步提出曲边梯形面积求解教学过程的优化改进思路，从而为高中数学教学提供有益借鉴.

关键词：定积分；曲边梯形；面积求解

课程介绍

《曲边梯形的面积》选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2第一章第五节第一课时的内容. 定积分的思想方法是高等数学里的重要思想方法，是微积分的重要组成部分，在求解不规则图形的面积、变速运动的路程、变力做功等问题方面有着广泛的应用. 而求解曲边梯形面积的过程与思想恰恰是定积分概念的核心内容，所以本节课在定积分的学习中有着至关重要的地位和作用.

[?] 教学目标分析

1. 知识与技能目标

（1）知道曲边梯形的概念，通过实例了解求曲边梯形面积的过程，初步感受“以直代曲”与逐步逼近的数学思想方法，为今后学习定积分的概念做准备；

（2）初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤：“分割、近似代替、求和、取极限”；

（3）培养分析与综合、抽象与概括的能力，以及进行复杂运算的能力.

2. 过程与方法目标

（1）经历求曲边梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”及“无限逼近”的思想；

（2）体验从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程.

3. 情感、态度与价值观目标

（1）认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点；

（2）经历解决问题的全过程，感受成功的乐趣，提高刻苦钻研数学问题的积极性.

教学重点、难点解析

重点：直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想；

初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四部曲”（即：分割、近似代替、求和、取极限）.

难点：“以直代曲”、“无限逼近”思想的形成过程及理解.

教学设计分析

（一）情景设置，问题引入

问题一：人们在社会实践和生产活动中有时会遇到一些图形面积计算的问题，史料表明，由于测量田地面积的需要，古埃及人很早就能正确计算矩形、三角形、梯形的面积. 我们会求正方形、三角形、平行四边形、梯形等“直边图形”的面积，现实生活中遇到的大量“曲边图形”，如何求“曲边图形”的面积？比如求泉州市面积.

问题二：该户型图有些边是曲线，有些边是直线，又如何测量该房屋的面积？

设计意图：体现了数学来源于生活，数学又应用于生活. 引导学生认识到平面图形分成“直边图形”和“曲边图形”. 用网格法求面积时边缘往往是不规则的图形，引出曲边梯形及求曲边梯形的面积问题.

学情预设：带着问题走进课堂，诱发学生的好奇心，激发学生的学习兴趣和求知欲望.

（二）新课教学，合作探究

定义：由直线x=a，x=b（a≠b），x轴与曲线y=f（x）所围成的图形称为曲边梯形.

设计意图：了解曲边梯形的结构特征.

学情预设：揭示“直边图形”和“曲边图形”的本质联系，得出曲边梯形的定义.

探究1：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的平面图形面积该怎样求？

（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）

设计意图：先考虑特殊的曲边梯形面积，符合学生的认知规律. 由简单到复杂也有助于学生思维的构建和方法的形成.

学情预设：教师引导学生回顾刘微的“割圆术”求圆的面积的“以直代曲”和无限“逼近”思想. 体现化归的数学方法. 在学生已有知识的基础上，提出解决方案，归纳学生的方案.

探究2：能否直接对整条曲边进行“以直代曲”呢？为什么？

设计意图：类比求圆面积方法，启发学生思维活动. 让学生意识到该作法存在缺陷.

学情预设：学生讨论，交流得出结论：可能导致误差过大.

探究3：怎样才能尽量减小误差？怎样分割？分成怎样的形状？分割成多少个？（分割）

设计意图：循序渐进，因势利导，引导学生寻求减小误差的方法途径.

学情预设：学生提出自己的看法，同伴之间进行交流、合作. 教师利用多媒体课件演示.

探究解决途径：在局部小范围内“以直代曲”.

探究4：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？采用哪种好？（近似代替）

设计意图：引导学生选用恰当的方法作近似代替：小曲边梯形面积（曲边图形）化归为小矩形面积（直边图形）.

学情预设：引导学生回忆平行四边形面积的求法，用“割补法”转化为矩形求解；学生可能提出多种“以直代曲”的方案.教学中，组织学生讨论、分析各种方案的利弊及可操作性（常见三种方案）.

探究5：如何求分割后曲边梯形面积的近似值.（求和）

设计意图：分配学生任务，分组合作，尝试计算三种近似代替的结果. 培养学生的合作交流的能力，优化解题方案.

学情预设：计算难度大（忽略计算过程，对于用到的计算公式加以简单说明）. 由教师示范方案（1）的计算过程.把学生分成两组，分别以方案（2）、方案（3）按上述四个步骤重新计算曲边三角形的面积，并将操作过程和计算结果与方案一进行比较.

探究6：如何从曲边梯形面积的近似值求出曲边梯形的面积？（取极限）

步骤一、计算前先用几何画板动态演示当n增大时矩形面积和与曲边梯形面积逼近情况.

步骤二、计算出结果后再用几何画板以表格的形式计算当n增大时，矩形面积和的值的变化趋势.

设计意图：步骤一从几何角度直观感知、体会“无限逼近”思想，主要是先让学生从图形上直观感知“分割—近似—求和—取极限”的必要性和可行性，从而尽可能消除学生的顾虑；步骤二结合三种计算结果，从代数角度进一步诠释“无限逼近”思想，为了验证结果的可靠性，用数据说话，使学生信服.不管是利用图形还是利用数据，都可以将取极限这个抽象的过程具体、形象、一步一步地呈现出来，有助于学生的理解.体现数形结合的数学方法.

学情预设：学生观察几何画板演示，注意观察近似值的变化趋势：

（1）在不足近似中，随着n的增大，近似值逐渐增大，并趋近实际面积.

（2）在过剩近似中，随着n的增大，近似值逐渐减小，并也趋近实际面积.

通过两种近似代替的探究，形成左右夹逼，都趋于同一个值，让学生“心悦诚服”地认识到有极限的方法可以消除用 “以直代曲”的方法计算图形的面积所带来的误差.

的函数值f（ξ）为高，会有怎样的结果？

设计意图：认识到近似代替的方式不唯一性，循序渐进，有助于发散学生思维空间. 为定积分概念做初步铺垫.

学情预设：学生发表自己的看法，类比书中的方法，进行思考、讨论、归纳、总结. 得出S=f（ξi）=.

探究8：由直线x=a，x=b（a≠b），x轴与曲线y=f（x）所围成的图形称为曲边梯形的面积应如何求？

设计意图：通过类比，得到一般曲边梯形的面积表达，解决本课开始提出的问题，起到前后呼应的作用. 体现由特殊上升到一般、由具体到抽象的认识提升. 同时进一步为定积分概念做铺垫.

学情预设：由学生观察、交流，类比：为[0，1]等分后的小区间长度.从而得出：

（三）实战演练，巩固新知

练习：求直线x=0，x=2，y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积.

设计意图：培养学生自觉运用新知、方法的能力.

学情预设：教师巡视，实物展示，加以点评.

（四）小结反思，深化认识

小结：（1）求曲边梯形面积的思想方法是什么？

（2）具体的步骤是什么？

设计意图：归纳总结本课所学的知识和思想方法.起到在认识上进一步深化、升华.

学情预设：以学生叙述为主.不足之处，教师加以补充.

（五）课后作业，巩固提升

补充：求直线x=1，x=4，y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积.

设计意图：巩固提高，拓展延伸.

课后反思

本节课通过探求曲边梯形的面积，使学生了解了定积分的实际背景，并借组几何直观体会“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立定积分概念的认识基础，为理解定积分的概念及几何意义奠定基础.

“曲边梯形的面积”的内容与解法对学生都是全新的，富有挑战性，学生学习积极性很高，但不具备解决问题的办法. 如何启发学生“以直代曲”，进而作和是上好这节课的关键. 在研究曲线上点P处的切线问题时，随着点P附近的曲线被渐次放大，会发现曲线在点P附近看上去几乎成了直线. 因此在点P附近，可以用“直线”代替曲线. 同样，将曲边梯形分割成小曲边梯形（当然可以任意小），可以用“直边”来代替曲边，即在很小范围内“以直代曲”.

本节课的另一个难点在推理论证环节，通过分割、近似代替、求和三步之后，又面临一个求极限的问题，由于新课标教材对求极限的内容不做要求，在课堂上有效地利用多媒体技术，前串后连，突破时空局限，使课堂上无法完成的内容得以呈现，大大节省教学时间.

教学的艺术不在于传授本领而在于激励、唤醒、鼓舞，在教学过程中，不但要传授学生的课本知识，更要培养学生的数学学习能力，在本节课的开始，从学生已知的图形的面积出发转到曲边三角形学生未知的图形面积，学生的求知欲被调动起来.在教学过程中，教师应利用教材提供的内容让学生思考、讨论、合作交流，替学生创设一个宽松、和谐的课堂气氛，激发学生探究的欲望. 在教学过程中让学生多动手，多动脑，多猜想，三种方案只要学生想到其中一种，就给予及时的表扬，在学习过程中，多提供让学生体验成功的快乐的机会，让学生在学习的过程中享受数学的美.