一个与Riemann假设相关的不等式的研究

朱玉扬

( 合肥学院　数学与物理系,合肥　230601 )



一个与Riemann假设相关的不等式的研究

朱玉扬

( 合肥学院数学与物理系,合肥230601 )

摘要：运用分析的方法以及Chebyshev函数与素数定理的等价性质证明 ≥0，由此得到≥0。

关键词:Riemann 假设; 非平凡零点; 调和数; 不等式; 素数。

0引言

1984年,G. Robin[15-16]指出,如果 Riemann 假设成立 , 那么 n≥5 041时, 有

事实上，根据G. Robin的结论可知[15]，Riemann假设成立的充要条件是：存在正常数A, 对所有自然数 n≥A, 有

以下将用运用分析的方法以及Chebyshev函数的性质与素数定理的等价性质证明

(1)

由此得到

1引理

为叙述方便计, 本文中所述的自然数不为零, 自然数集合记为 N, 全体素数的集合记为 P。

这里ph为P的所有元素按自小到大排列的第h(h=1,2,…,m)个元素,γ是 Euler 常数。

证法1

由于

(2)

证毕。

f1(q1,q2,…,qm)≥f1(2,3,5,…,pm),

ρ(q1)≤ρ(2),ρ(q2)≤ρ(3),ρ(q3)≤ρ(5),…,ρ(qm)≤ρ(pm),

又 ρ(qh)>0(h=1,2,…,m), 所以

于是 f2(q1,q2,…,qm)≥f2(2,3,5,…,pm), 但

f(q1,q2,…,qm)=f1(q1,q2,…,qm)+f2(q1,q2,…,qm),

由以上知, f(q1,q2,…,qm)≥f(2,3,…,pm)=f(p1,p2,…,pm), 即

证毕。

这里 γ 是Euler常数,c 是大于零的常数, ε 为任意小的正数, p 为素数。

推论1 ∀m∈N,αk≥1(k=1,2,…,m), 则有

(3)

这里pk为P的所有元素按自小到大排列的第k个元素,γ是Euler 常数, c 是大于零的常数, ε 为任意小的正数。

证明由于m∈N,αk≥1(k=1,2,…,m), 所以

由引理2

证毕。

引理3∀αk≥1, 有

这里 pk为P的所有元素按自小到大排列的第k个元素。

由素数定理知, Chebyshev 函数 ϑ(pm) 有如下性质。

证明π(x)表示不超过x的素数的个数, 那么(见文献[20-21])

所以

另一方面[22]

所以

当 x=pm即证毕。

由 L′Hospital法则得到

令 μ=logx, 那么

再运用 L′Hospital法则得到

(4)

这里 γ 是Euler常数 , pk为 P 的所有元素按自小到大排列的第 k 个元素。

证明 由推论3的(3)式知

另一方面,由引理4

由引理5知

所以

由于 ε 为任意小的正数, 故由引理6得

因此(4)成立，证毕。

应用Euler-Maclaurin求和公式可得如下结论[22]。

这里 γ 是Euler常数,θ∈[0,1]

推论2

Hn>γ+logn

(5)

这里c1=0.2614…。

这里p,pm都为素数。

2主要结果

由推论9中的(5)式知

exp(Hn)log(Hn)>eγ+lognlog(γ+logn)>eγnloglogn

所以

(6)

故由(6)式知, 即要证下面(7)式

(7)

(8)

(I)m是无限大的, 即m→+∞；

①m有限, ∃a1,a2,…,ar∈{1,2,…,m},a1

②m有限, ∃b1,b2,…,bl∈{1,2,…,m}, 使得αbj→+∞(j=1,2,…,l。1≤l≤m)。

由引理1得

这里pk为P的所有元素按自小到大排列的第k个元素。由引理7的(4)式得

所以

即(8)式也成立，所以定理成立，证毕。

由上面定理即得如下推论。

本文中最关键的命题是引理1, 通过这个引理, 可以将任意自然数的素数分解式中的不同素数因子q1,q2,…,qm转化为按照素数集合中从小到大顺序排列的m个素数p1=2,p2=3,…,pm的情形来求证, 由此可方便地利用素数定理的相关性质来证明本文定理。

参考文献：

[1]Riemann G F B. Ueber die Anzahl der Primzalen Unter Einer Gegebenen Grösse[J].Monatsber Akad,1859,325: 671-680.

[2]Berry M V,Keating J P. The Riemann Zeros and Eigenvalue Asymptotics[J].SIAM Review , 1999, 41: 236-266.

[3]Gelbart S. An Elementary Introduction to the Langlands Program[J].Bull Amer Math Soc, 1984,10: 177-219.

[4]Katz N,Sarnak P. Zeros of Zeta Functions and Symmetry[J].Bull Amer Math Soc, 1999,36:1-26.

[5]Murty M R. A Motivated Introduction to the Langlands Program[M]. 5th ed. New York:Advances in Numbers, Oxford University Press, 1993: 37-66.

[6]Elizalde E. Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions[M]. Berlin: Lecture Notes in Physics, Monograph 35, Springer-Verlag, 1995:45-55.

[7]Hawking S W. Zeta Function Regularization of Path Integrals in Curved Spacetime[J]. Comm Math Phys, 1977,55: 133-148.

[8]Miller S D, Moore G. Landau-Siegel Zeroes and Black Hole Entropy[J].Asian J Math, 2000 (4): 183-211.

[9]Hardy G H. Sur les Zeros de la Function de Riemann[J]. C R Acad Sci Paris, 1914 ,158: 1012-1014.

[10] Hardy G H,Littlewood J E. The Zeros of Riemann’s Zeta Function on the Critical Line[J].Math Z,1921, 10: 283-317.

[11] Selberg A. On the Zeros of Riemann’s Zeta-function on the Critical Line[J]. Skr Norske Vid Akad Oslo, 1942,10:222-232.

[12] Levinson N. More Than One Third of the Zeros of Riemann’s Zeta Function are on σ=1/2[J]. Adv Math, 1974,13: 383-436.

[13] Levinson N. A Simplification of the Proof that for Riemann’s Zeta-function[J]. Adv Math, 1975,18: 239-242.

[14] Conrey J B. More Than to Fifths of the Zeros of the Riemann Zeta Function are on the Critical Line[J]. J Reine Angew Math, 1989,399: 1-26.

[15] Robin G. Grandes Valeurs de la Function Somme des Diviseurs et Hypothèse de Riemann[J]. J Math Pures Appl, 1984,63: 184-213.

[16] Lagarias J C. An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis[J].Amer Math Monthly, 2002,109(6): 534-543.

[17] Aigner M, Ziegler G M. Proofs from the Book[M]. 4th ed.Berlin: Springer-Verlag ,2010:20-36.

[18] Huang Yumin. Li Chengzhang. Mathematical Analysis[M].Beijing:Science Press, 2000:8.

[19] Kapauyóa A A. OCHOBЬ AHAЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИ ЧИСЕЛ ИЗДАТЕЛЬСТВО[M]. НАУКА, 1975: 23-106.

[20] Rosser J B, Schoenfeld L. Approximate Formulas for Some Functions of Prime Numbers[J]. Illinois J Math, 1962, 6: 64-94.

[21] Schoenfeld L. Sharper Bounds for the Chebyshev Functions ϑ(x) and ψ(x)[J].Math Comp, 1976, 30: 337-360.

[22] Gérald Tenenbaum. Introduction to Analytic and Probability Number Theory[M].London: Cambridge University Press,1998:10-50.

[23] Hadamard J. Sur la Distribution des Zeros de la Function ζ(s)et Ses Consequences Arithmé-tiques[J].Bull Soc Math De France, 1896,14: 365-403.

[24] Littlewood J E. On the Zeros of the Riemann Zeta-function[J].Combr Phil Soc Proc, 1924,22:295-318.

[25] Selberg A. Contributions to the Theory of the Riemann’s Zeta-function[J].Arch Math Naturvid, 1946,48(5): 89-155.

[26] Siegel C L. Über den Thueschen Satz[J].Krist Vid Selsk Skr I No. 1921,16:12S.

[27] Dusart P. Intégalités Explicites Pour et les Nombres Premiers[J]. C R Math Rep Acad Sci Canada ,1999,21:53-59.

[责任编辑：张永军]

On A Riemann Hypothesis Related Inequality

ZHU Yu-yang

(Department of Mathematics & Physics, Hefei University， Hefei 230601, China)

Abstract:Using mathematical analysis, Chebyshev function and the equivalence property of prime number theorem we give that ≥0.Here .

Key words:Riemann hypothesis;non-trivial zeros; harmonic number; inequality; prime number.

中图分类号：O156

文献标识码：A

文章编号：1673-162X(2016)01-0001-08

作者简介：朱玉扬(1957—)，男，安徽合肥人，合肥学院数学与物理系教授；研究方向：数论与组合学。

基金项目：合肥学院人才基金项目(14RC12)、合肥学院自然科学基金重点项目(12KY04ZD)、合肥学院重点建设学科项目(2014xk08)资助。

收稿日期：2014-06-20修回日期：2016-01-10