深刻理解课程标准和教材才能设计出好课

吴增生

在现行义务教育《数学课程标准》第三学段中，平行线分线段成比例是第九个基本事实，课程标准把这一基本事实作为证明相似三角形判定定理的逻辑起点。因此，这一结论具有重要意义。课程标准提出“掌握”要求，主要指的是能运用其推论的结论证明相似三角形的判定定理。

基本事实（公理）不需要证明，但需要让学生体会其合理性。

不同于其他八个基本事实，该基本事实对于初学者并不那么显而易见。“四条线段成比例”很难凭直观感受到，基于测量计算判断线段是否成比例又往往受到测量精度、误差等影响。因此，让学生理解其内容，体会基本事实的合理性，是本课的重点。

一、教学实践中存在的问题——从一个课例说起

某教师设计了如下的教学过程：

【活动1】（1）让学生任意选取横格纸上的三条横线，画出三条平行线，分别记为l1、l2、l3。（2）任意画一条直线l4与这三条平行线相交。（3）分别度量所截线段的长，然后计算其中两条线段长的比，做好记录。（4）猜想：比值与什么因素有关？

交流：每个人画出的平行线有什么不同？直线l4被这三条平行线所截，得到几条线段？分别是被哪两条平行线截得的？每个人计算的比值相同吗？你认为比值与什么因素有关？

（5）再画一条直线l5与这三条平行线相交。度量l5被这三条平行线所截线段的长，计算其中两条线段长的比。

问题：你有什么发现？这说明什么？你能用文字语言归纳这个发现吗？

这个结论尚不具有一般性，它是我们在横格纸上发现的。如果将横格纸换成白纸，结论还成立吗？

【活动2】（1）在所给的白纸上任意画三条平行线，分别记为l1、l2、l3。

（2）任意画两条直线l4、l5使它们被这三条平行线所截。

（3）度量所截线段的长，计算对应线段的比，做好记录。

（4）与同学交流你发现的结论。

【活动3】用图形计算器拖动其中一些点和直线，以改变其位置，观察数据的变化。与同学交流你发现的结论。

问题：平行线间的距离会不会是无理数呢？

教师在引导学生连续拖动平行线相对位置中让学生体会比值是无理数时仍然成立，在此基础上得到平行线分线段成比例的结论。

接着，教师让学生对照图1写出基本事实的题设和结论。

在此基础上进一步提出问题：你还能得到哪些比例式？

引导学生得到几个典型的等价比例式。

【练习】

已知：如图2，AD∥BE∥CF，AB=3，BC=6，DE=2，

则DF= 。

【思考】已知：如图3、图4，在△ABC中，DE∥BC，且分别与边AB、AC（或两边的延长线）交于D、E。你能说明图3、图4中“平行线分线段成比例”的基本图形的关系吗？你能得到对应的比例关系吗？

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教师引导学生得到相应的比例式。

【小结】1.本节课我们分别进行了哪些活动？这些活动分别得到了什么结论？

2.平行线分线段成比例这一基本事实的内容是什么？

3.本节课的活动过程体现了什么样的研究方法？

这一课例的设计，是把平行线分线段成比例这一基本事实作为孤立的知识点来探究的。这样的教学中虽然学生经历了观察、猜想、验证等数学活动，但是课堂中没有学生自然合理的数学思考。首先，为什么要学习这一基本事实？它有什么作用？其次，学生怎么能想到要在横格上画平行线l1、l2、l3及另一直线l4？这是天上掉下来的吗？第三，教学中只是把教材中的验证活动具体化、系统化，整堂课只有测量和验证，不知道为什么要这样验证。因此，这种探究是假探究。第四，为什么要用手持技术？是技术为教学所用，还是教学服从于技术？尽管答案是无可争辩的，但由于操作前缺乏事实的自然猜想和验证方案的设计，教学中的实际情况是技术绑架了教学。本课产生这些问题根本原因在于对课程标准和教材理解不够到位，导致孤立地看待教科书中的“探究栏目”，没有从几何图形研究的基本套路出发思考问题，没有把平行线分线段成比例这一基本事实放到相似三角形判定探究这一大背景中思考教学设计，缺乏几何研究的大视野。

二、教学改进建议——用几何研究大视野设计教学

1.创设情境，提出问题

在讨论了相似多边形的定义和性质后，根据几何图形研究的一般套路，先研究特殊的相似多边形——相似三角形，在给出相似三角形的定义后，自然要提出研究其判定的问题。类比全等研究相似三角形判定，在寻求减少条件判定相似的目标下思考问题：怎样减少条件？仍然采用全等中的实验操作方法吗？显然，由于相似没有全等那样直观，难以用实验方法直接探索，于是，需要理性分析：如图5，通过把两个三角形移到有一个角重合，思考能否减少条件？显然，直观地看，其余的两个内角相等可以用边的平行关系来代替（即可以减少一个角相等的条件），如果能用平行关系推出边的比例关系，比如■=■=■——就最好了，于是提出研究主题：首先要研究平行线截两直线，截得的线段是否对应成比例？■=■是否成立？

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2.直观观察，提出猜想

学生直观观察，提出猜想（如图6）。

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如图，如果l1∥l2∥l3，是否有■=■，如果这个式子成立，则只要等号两边都加1，等式仍然成立，于是就容易得到■=■，再把直线DE平移使点A与D重合，就得到“两条平行线截三角形两边所截得的线段对应成比例”这一命题。

引导学生根据问题研究需要结合图形直观得到猜想：“如果l1∥l2∥l3，那么■=■。”

3.测量计算，验证结论

引导学生用手持图形计算器从特殊到一般地验证结论：

（1）借助等距平行横格（如练习本中的横格线），若■=1，通过直接测量可得■=1；

（2）若■=3，通过测量计算可得■=3；

（3）若■=■，测量计算可得■=■；

（4）借助手持图形计算器验证：若■=k，测量计算可得■=k，可以让k变化并用动画展示。

（5）让学生想象当k为无理数时，（4）中的结论仍然成立。教师说明可以证明这一命题，限于所学知识不够，这里不加以证明（用手持图形计算器也无法检验比值是无理数的情况）。

4.理解事实，得出推论

（1）让学生用自己的语言表述基本事实，形成对基本事实的理解。在基本事实基础上根据比例性质得到另两组比例线段：如果l1∥l2∥l3，是否有■=■，■=■？

（2）把把基本事实特殊化，得到推论：

如图7，若BC∥B′C′，则有■=■。

相应地，比例还可以表示为另两种形式：

如图，若BC∥B′C′，则有■=■，■=■。

5.应用新知，拓展研究

（1）教师引导学生思考：■=■=■是否成立？要证明这个命题，只要证明■=■即可。

教师引导学生分析：已知BC∥B′C′要证明■=■，主要困难是线段AB′、AB和B′C′、BC不是平行线截得的四条线段，为此，过C作AB′的平行线CM，交B′C′于M点，则四边形BB′MC是平行四边形，于是有BC=B′M，问题转化为证明■=■，而■=■问题转化为证明■=■，

这可以由CM∥AB′利用基本事实的推论得的。

在此基础上让学生独立完成证明过程。

（2）形成相似三角形判定的预备定理。由（1）可知，在BC∥B′C′的条件下不仅得到△ABC和△A′B′C′的三个角分别相等，而且也证明了这两个三角形的三边分别成比例。于是，这两个三角形就相似了。因此，可以得到如下判定两个三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线截原来三角形，所截得的三角形与原三角形相似。

引导学生进一步思考：平行三角形一边的直线截三角形两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似吗？并把这个问题的证明留给学生作为作业来完成。

接下来，可以引导学生进行课堂练习和小结。

三、基于课例的思考：在理解教材的基础上设计教学才能发展大智慧

同样的内容，在理解教材程度上的不同，就会设计出不同的教学，学生所得也是不同的。数学的核心教育价值在于发展学生自然合理的数学思考能力，在于用数学发展智慧。如果把平行线分线段成比例看作一个孤立的基本事实进行探究，其结果可能只是让学生验证结论，难以发展学生的数学思维；如果把该基本事实作为相似三角形判定探究的逻辑出发点，让学生在几何图形研究的大视野和研究三角形相似条件的大背景中提出问题、分析问题和解决问题，则不但可以让学生基于几何研究的一般套路中自然合理地提出猜想，然后通过测量和实验验证猜想（当然用现代技术让每一个学生都借助图形计算器进行独立验证效果更好）。而且能有效发展学生的发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，积累几何研究的数学活动经验，发展逻辑思维能力。

用数学的一般观念和思想方法引领学生进行观察和思考，这是用数学发展学生的智慧，实现数学育人的根本做法，也是数学课堂教学设计高立意的聚焦点。要做到这一点，需要教师在理解数学、理解学生、理解教学的基础上科学设计教学，需要教师用数学视野深刻领会课程标准和教材编写意图，领会学生的学习规律。在深刻理解课程标准和教材的基础上才能设计出具有高立意、低起点的好课。