“中国学习者悖论”新解

吴晓红　许丽芸

【摘 要】中国学习者悖论一直是数学教育界关注的热点话题。考察中美“图形与几何”内容标准发现，就知识广度而言，中国课标知识点数量多于美国；就知识点要求而言，中国课标要求具体明确，利于教学；就知识难度而言，中国课标深度大于美国。这些特点在一定程度上能够赋予中国学习者悖论一个新的解释。

【关键词】 数学课程标准；图形与几何；中国学习者悖论

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）13-0022-04

瑞典教育家马登教授（F.Marton）认为，中国的数学教学属于传统的“传授—接受”模式，但相关的比较研究却表明，中国学生与其他国家，特别是与西方国家的学生相比有着较好的学习效果，从而在此遇到了“悖论”：这种被动的学习怎么可能产生如此好的学习效果？这就是著名的“中国学习者悖论”[1]。西方研究界之所以形成这样的看法，除了外部观察者的局限性和文化偏见外，一个重要的原因是对中国数学课程的理解不同[2]。因此，要想解释“中国学习者悖论”，就必须对中国数学课程有更深层次的认识。

根据国际教育成就评价协会（IEA）的课程分析框架，课程可分为期望课程、实施课程、获得课程。已有研究表明，中国课堂背景下的期望课程与实施课程相当一致[3]。所以分析期望课程就可以较好地理解学习者悖论。由于课程标准是期望课程的集中体现，因此本文拟从国际比较的视角分析中美两国课程标准，以期进一步认识中国学习者悖论。

一、比较样本

1.中美期望课程比较样本的确定。

在国际比较研究中，首先要做的就是样本的选取，比较样本要具有代表性和典型性[4]，能较好地反映出中美两国的期望课程。2001年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》颁布，标志着中国新一轮数学课程改革的开始。历经十年的实践与反思，2011年教育部出台了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“中国课标”），并被广泛实施。以“中国课标”作为中国的期望课程，具有较好的代表性。

2010年，美国颁布了“美国州共同核心数学标准”（简称“美国课标”）。由于美国教育行政是地方分权制，各州各自为政，此次改革旨在统一美国数学课程标准，而且美国历史上第一次近乎所有的州都实施该标准[5]，选取“美国课标”作为比较样本，很大程度上能够代表美国的期望课程。

2.中美期望课程比较内容的确定。

由于数学课程标准内容较多，为便于比较，我们选取“图形与几何”这部分内容进行具体分析。之所以选择“图形与几何”作为比较对象，主要基于以下原因：其一，几何是世界各国数学课程改革关注的一个焦点；其二，“图形与几何”是我国新一轮数学课程改革的新增内容，且这一内容在“中国课标”中得以进一步强化；其三，“图形与几何”是美国数学教育改革的重要内容，并在“美国课标”中有集中体现。通过比较中美课标在“图形与几何”中的具体内容，一定程度上能反映出当前中美课程标准的设计理念。

二、比较维度

为全面反映中美期望课程的现状，本文从内容广度、要求以及难度三个维度进行比较。

所谓内容广度是指课程标准所涉及的知识点数量，内容要求是指课程标准对相关知识点的教学要求，内容难度是指课程标准中知识的难度水平。考查内容广度，旨在反映中美两国“图形与几何”内容标准中学生学习的知识量的多少；考查内容要求，旨在了解中美两国“图形与几何”内容标准中对相关知识的教学要求是否具体明确、利于教学；考查内容难度，旨在明确中美两国“图形与几何”内容标准中需要学生掌握的知识的难易情况。

三、中美“图形与几何”内容的比较

1.内容广度。

“中国课标”将义务教育阶段划分为三个学段，第一学段是1-3年级，第二学段是4-6年级，第三学段是7-9年级。“图形与几何”所涉及的知识点主要有三角形、四边形、圆等知识。以下主要以三角形的相关知识点为例做具体说明。

“中国课标”关于三角形的知识分布于第一、二、三学段，涵盖1—9年级。在第一学段主要是三角形的认识，比如“能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形”“会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图”；第二学段的知识点包含对三角形的进一步认识以及三角形的简单性质，比如“认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°”“认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形”；第三学段的重点是三角形相关性质定理的探索与证明，比如“理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性”“探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题”[6]。

“美国课标”关于三角形的知识主要分布在幼儿园、一年级、二年级、四年级和八年级，五年级到七年级虽然也有关于三角形的部分知识，但主要是作为图形的特例来求面积和周长，因此，这部分内容我们不进行讨论。

幼儿园阶段的知识点主要为辨认三角形，比如“辨认并描述图形（正方形、圆形、三角形、矩形、六角形、立方体、圆锥体、圆柱和球）”。一年级的重点是了解三角学的简单属性，例如“对定义属性（例如，三角形是闭合的并有三条边）与非定义属性（如颜色、方向、大小）进行区分”。二年级的重点是图形识别，比如“识别三角形、四边形、五边形、六边形和立方体”。四年级是对特殊三角形的认识，比如“基于是否出现平行线或垂线或是否出现特殊大小的角度将二维图形进行归类，认识到直角三角形是一个类别，并识别直角三角形”。八年级的知识点主要有相似三角形、全等三角形的认识，勾股定理及其逆定理等，比如“明白两个二维图形是全等的，如果第二个图形可以从第一个图形的旋转、反射和平移获得”[7]。

由上可知，中美课标在三角形部分有许多共同知识点，如三角形的认识（包括一些特殊的三角形），相似三角形、全等三角形的理解以及三角形的判定等。值得说明的是，“中国课标”中还包含三角形的内角和定理、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的性质定理等一系列定理的探索与证明，而“美国课标”突出的重点只是勾股定理，其要求仅是“理解和运用毕达哥拉斯定理”[7]。由此我们可以看出，“中国课标”在“图形与几何”部分的知识点数量多于美国，涉及面广于美国。

2.内容要求。

中美课标中“图形与几何”包括许多内容，如图形的平移、旋转、轴对称、相似等。为便于比较，我们选取课标中都有的且要求较为明确的“图形的相似”这一内容进行剖析。

在第一学段，“中国课标”关于图形相似的知识点主要是对物体长度的认识，具体阐述有3条，比如“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性”；在第二学段关于比例尺的认识，其要求只有1条，即“了解比例尺，在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算”；第三学段关于相似三角形的要求有9条，比如“了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边成比例的两个三角形相似”[6]。

“美国课标”关于图形的相似仅在一年级、七年级和八年级有所涉及。一年级的知识点是物体长度的认识，要求有2条，比如“按照长度将三个物体进行排序”借助第三个物体间接比较两个物体的长度”；七年级关于比例的认识仅1条，即“解决涉及几何图形的尺度图的问题，包括计算实际长度和面积，在不同的比例从尺度绘图和再现比例图”；八年级中关于图形相似的具体说明是“明白两个二维图形是相似的，如果第二个图形可以从第一个图形的旋转、反射和平移获得”“如果给出相似的比例，能描述一个序列表现出它们之间的相似性”[7]。

可以看出，就“图形的相似”这一知识点而言，“中国课标”的具体要求在数量上明显比“美国课标”多，而且阐述较为具体，根据课标，教师可以很清楚地知道需要教给学生的知识，以及学生所需掌握的程度。特别是，“中国课标”在若干内容领域的说明中还给出了参考例题，便于教师更好地理解、实施课标。例如，“会利用图形的相似解决一些简单的实际问题（参见例74）。”其中，例74是一个直觉误导的例题，其设计意图在于希望学生认识到直觉判断的或然性以及逻辑推理的重要性，同时在逻辑证明过程中加深对相似图形的理解。因此，“中国课标”给出的要求以及实例，可以使教师更好地把握教学的“度”。相对而言，“美国课标”所提出的要求则较为概括，比如，“美国课标”在八年级关于图形的相似仅仅只是让学生明白两个二维图形是相似的，至于“明白”的程度则没有具体说明。

可见，“中国课标”对知识点的要求较为具体，可操作性强，易于教师把握教学重点、难点，便于教师在实际教学中操作；“美国课标”则概括性较强，更有利于教师创造性的发挥。

3.内容难度。

荷兰学者范希尔夫妇经过理论和实践的长期探索，指出学生的几何思维存在0—4共5个水平，它们依次为：视觉层次（visuality）、分析层次（analysis）、非形式演绎层次（informal deduction）、形式演绎层次（formal deduction）以及严密性系统层次（rigor）。学生的几何学习也要经历5个阶段。以此为基础，我们比较分析“图形的轴对称”这一具体内容。

“中国课标”在第一学段安排的内容是“结合实例，感受轴对称现象”。根据范希尔理论，通过实例学生可初步认识轴对称现象，但不能深入地了解其特征，属于0水平。第二学段的安排为“通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形”，该要求是在认识轴对称现象的基础上，能进一步画出轴对称图形的对称轴，属于1水平。第三学段的要求是“通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分（参见例64）”“能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形”“了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质”“认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形”[6]，这些要求更为具体、深入，要求学生在分析图形的基础上，进一步理解“图形的轴对称”的概念和性质定理。依据范希尔理论，2水平的学生能够提出一些轴对称图形的推论，3水平的学生能够以逻辑推理解释几何学中的定理，也能推出新的定理。由此可见，第三学段的所学内容符合2、3水平的发展。

“美国课标”中的“图形的轴对称”主要安排在四年级和八年级。四年级的内容为“认识到一个二维图形的对称轴是一条横穿图形的线并且图形可以通过这条线折叠成完全重合的两部分。识别轴对称图形并绘制对称轴”，即学生需识别轴对称图形并绘制对称轴。范希尔理论认为0水平只能达到通过整体轮廓辨认图形，1水平要求学生会分析图形的组成要素及特征，并能进一步地认识图形。因此，识别轴对称图形属于0水平，绘制对称轴属于1水平。八年级的要求为“明白两个二维图形是全等的，如果第二个图形可以从第一个图形的反射获得”[7]，学生需通过图形的反射来进一步地了解图形的全等，并能进一步地探索图形间的关系，这一要求主要属于2水平。

通过比较发现，就“图形的轴对称”而言，“中国课标”第一学段安排的内容属于0水平，第二学段属于1水平，第三学段主要是2、3水平。随着年级的增加，“中国课标”内容水平的难度也逐步加大。“美国课标”关于“图形的轴对称”至多达到2水平。从这一角度来说，“美国课标”安排的内容水平偏易。“中国课标”“图形与几何”知识内容掌握的深度大于美国。

四、中国学习者悖论新解

传统的“传授—接受”模式何以产生较好的学习效果？通过对中美期望课程的比较，我们发现，以下几个方面或许能够赋予中国学习者悖论一个新的解释。

1.知识点涉及面广更有利于学生多角度地思考。

从所涉及的知识点来看，“中国课标”在“图形与几何”部分的知识点数量明显多于美国，“中国课标”学习内容的广度大于美国。因此，中国学生在“图形与几何”方面了解的知识面广于美国学生，这有利于中国学生在解决问题时拥有较多的知识、较广的视角。从这一角度来说，中国学习者的学习效果较好，也就不足为奇。

2.知识点要求明确具体更利于教师落实课程标准理念。

从标准对相关知识点的要求上看，“中国课标”对每一知识内容都给出了明确而又具体的要求，这利于教师深刻理解把握课程标准的理念，利于教师将理念在教学中具体落实，利于教师更加快速、有效、大容量地教学。相对而言，“美国课标”概括性较强，虽然有利于教师创造性发挥，但是如果教师专业素养不高、教学水平不高，则难以达到对教学内容的深刻理解与教学方法的灵活运用。数学教育专家马立平博士的研究表明，中国教师比美国教师能更好地理解数学。[8]在此意义下，美国课标的理念能否真正在教学中落实则不得而知。

可见，虽然“中国课标”理念下的数学课堂内容量大、知识点多，但教学要求明确，便于教师将先进的课标理念落实在数学课堂教学中。在此背景下学习的中国学生，学习效果怎能不好呢？

3.难度水平较高的知识更利于学生深刻地理解数学。

从内容难度上来看，“中国课标”的知识点水平高于美国，深度大于美国。这说明，“中国课标”对学生的要求较高，与同学段的美国学生相比，中国学生可以掌握更高深的知识，能够对知识更透彻地理解，拥有更强的解决问题的能力。在这种“高标准、严要求”背景下学习的学生，对数学的理解是深刻的，对数学的认识是透彻的，可能会产生更好的学习效果。

总的来说，着眼于中美期望课程，就知识广度而言，中国课标知识点数量多于美国；就知识点要求而言，中国课标要求具体明确，利于教学；就知识难度而言，中国课标深度大于美国。这些特点更有助于学生理解数学、掌握数学。对于持有“中国学习者悖论”的学者，或许能从此角度进一步了解中国的数学教育。

【参考文献】

[1]郑毓信.中国学习者的悖论[J].数学教育学报，2001（01）：6-10.

[2]鲍建生，黄荣金，易凌峰，等.变式教学研究[J].数学教学，2003（01）：11-12.

[3]范良火.华人如何学习数学（中文版）[M].南京：江苏教育出版社，2005：422.

[4]吴晓红.数学教育国际比较的方法论研究[M].广州：广东教育出版社，2007：189.

[5]Linda Dacey ，Drew Polly. CCSSM： The Big Picture[J]. Teaching Children Mathematics， 2012（06）： 378-383.

[6]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[7]NGA. CCSSO. Common Core State Standards for Mathematics[EB/OL].[2010-03-06].http：//corestandards.org/the standards/mathematics， 1-93.

[8]Ma-Liping. Knowing and Teaching Elementary Mathematics： Teachers’ Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States[M]. Mahwah New Jersey Lawrence Erlbaum Associates， Publishers，1999.