用生活事例解释高中概率统计中的某些原理

王亚运　徐章韬

【摘 要】 生活中蕴含着各种概率统计原理.从实际生活出发，选取具体生活事例，阐述其蕴含的概率统计原理，并将其运用于实际高中教学中，力求使课堂充满浓厚的生活味.

【关键词】 概率统计；高中教学；生活味

概率论是研究随机现象的学问，统计学注重的是数据的收集、整理、分析，生活中处处都有概率统计学的影子.处处留心皆学问，本文将选取生活中的一些现象，阐述其蕴含的概率统计原理，并将其应用到教学中去，使课堂充满浓厚的生活味.

1 生活中的随机现象与概率的意义

“随机事件的概率”是人教A版《数学必修3》第三章第一节的内容，是本节课的第一课时，课程标准要求“教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活中的一些错误认识.”

自然界和人类生活中存在着两种现象：确定性现象和随机性现象.有些俗语如“瓜熟蒂落”、“水到渠成”、“打草惊蛇”、“叶落归根”等这些说的都是自然界中一些事必然会发生的，它们的结果是确定的.但是有些事情，可能发生也可能不发生，也即由条件无法预知结果，称为随机现象.如“塞翁失马，焉知福祸”揭示了福祸的不确定性和随机性.

例如，从古至今，文件的保密性很重要.如果泄密，那么可能会导致战役的失败、经济上的重大损失，甚至会导致国家的灭亡.为了保证安全，保密文件的传送经常用“密文”的方式进行.后来有人使用26个字母分别对应1～26个自然数或其他代码等方法传送密文，只要传送一方和接受一方均知道这个对应表即可.用我们掌握的概率知识，就可以破解这个密码.经过研究，人们发现，英语书面语言中的字母以基本固定的频率出现.不同字母出现的频率不同，这是英语书面语言的一个重要特征.在通常的文章中，字母“e”平均出现的比例占所有字母的12%左右，“t”占97%左右，而“j”的出现远小于1%.如果掌握了这个规律，再用上面的方法加密，通过对用密码写的密文中的字母的频率的分析，就比较容易破译出密文.

我们发现每个字母出现的频率最终都趋于一个稳定的常数，这说明随机现象具有两面性：随机性和规律性.数学研究的随机现象的特点就在于概率的稳定性，其中所蕴含的随机思想正是概率与统计思想的基础.

2 生活中的小概率原理

近年来，中国彩票行业发展比较迅速，尤其中国的福利彩票巨奖频现，继2009年河南彩民独中36亿元之后，2010年一河南彩民博得358亿元，近日浙江彩民狂揽565亿.这接二连三的博得巨奖，无疑让中国福彩业沸腾了，但是并非人人都有这样的好运气.有人计算过，中双色球一等奖的概率为5.64×10^-8，二等奖的概率为8.464×10^-7，三等奖的概率为9.1417×10^-6

，可见，中一等奖的概率几乎接近于零.像彩票中奖、汽车抛锚、飞机失事、地震海啸等都是我们所说的典型的小概率事件，意指发生可能性很小的事件.

生活中有很多事情发生的概率很小，有谚语说“常在河边走，哪有不湿鞋”、“天有不测风云，人有旦夕祸福”、“天网恢恢，疏而不漏”“瞎猫也能碰上死老鼠”，这些事情似乎不可能发生，但“不怕一万，就怕万一”，这些俗语都说明了概率再小的事件在长期的重复中都有可能或必然发生.

现在我们用概率的知识去证明这个原理，我们假设一个小概率事件的发生概率为p，设Ak（k=1，2，3，…）表示第k次A发生，则前n次试验中A至少发生一次的概率为：P（∪n[]i=1Ai）=1-P（∩n[]i=1Ai）≤0.05，所以试验次数达到无穷大时，事件A的概率越来越趋向于1，而成为必然事件.也就是说不管发生概率多么小的事件，在多次试验中必然会发生.

我们不会因为飞机会出现失事而拒绝坐飞机，也不会因为彩票中奖率低而停止购买彩票.小概率事件虽然发生的概率很小，有的概率几乎接近于0，人们坚信它不会发生.而彩票的中奖率虽然也很低，但是人们坚信它有朝一日总会发生.

我们既要防止危险的小概率事件的发生，即在祸患发生之前就要做好预防，不能因为其发生的概率小就以为它不会发生，俗话说“防微杜渐”讲的就是这个道理.像飞机失事，地质灾害等灾难发生的概率虽极其微小，但是我们只有做到防患于未然，才能将其所带来的伤害降到最低.同时也要认识到当事件大量的重复时，小概率事件必会发生.所以我们也不应该认为一件事情发生的概率及其微小，就认为它不可能发生，而拒绝去做它，这样也会错失很多机会.

从生活中常见的一些事件中学习小概率原理，最重要的是我们既要认识到小概率事件在一次试验中不可能发生，又要认识到在多次重复试验下，小概率事件必然会发生.在教学中通过生活中的常见现象，学生能够更好地学习小概率事件及其原理，同时在学习之后还能将这些原理运用于生活，达到学以致用.

3 生活中的抽样调查

生活中我们在做菜时，尝一口菜就知道整锅菜的咸淡，这就是统计学中的抽样调查，我们在学习抽样调查时，在教学中可以先设置这样一个案例.

案例1：一个小孩，他的爸爸让他到商店买一盒火柴，并嘱咐他，试一试火柴是否擦得着.小孩买了一盒火柴一边往家里走，一边一根接着一根的擦.回到家里他高兴地告诉他的爸爸：试过了，每一根都擦着了！你认为这个故事中的小孩试火柴擦得着的方法蕴含了什么统计知识？这样做合适吗？为什么，如果是你，你会怎么做？

这也是生活中常见的一个问题，设计这个案例的意图是：有时候全面调查不能很好地解决问题，这时候我们需要抽样调查，就是由部分推断总体.

通过这个案例我们知晓了什么是抽样调查，生活中我们常说的“一叶知秋”、“管中窥豹”、

“见微知著”反映的也是这个原理，比喻小中见大，用数学语言就是我们可以通过总体中的一个部分来推断这个整体所具有的特征，在案例中，爸爸让小孩试一试火柴能否擦得着，我们可以选取其中的一根或两根甚至更多来检验整包火柴的质量.但是究竟抽一根还是两根或者更多呢？这就引出了后续我们所要学习的内容即如何进行抽样调查，怎样选取样本等一系列问题.所以这个案例的设置既从生活中的一个小现象道出了抽样调查的含义，又引起了学生对后面所要学习内容的思考.

4 数学期望与生活

数学期望是随机变量最常用的数字特征，在概率论与数理统计中占有重要地位.一般教师在讲授这一概念时，先由一个简单例子直接给出离散型随机变量数学期望的定义.这种授课方式存在很大的问题，一是学生对其概念只停留在公式的表面形式，对其意义理解不够.从简单的生活现象出发，从生活现象中发掘数学期望的概念及其意义，然后自然地导出数学期望的计算公式.

我们知道概率最早起源于赌博问题.在教学一开始，我们不妨引出一个赌博的例子：有这样两个赌徒，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就可以获得全部赌金.赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，无奈天色已晚，他们不想再赌下去了，那么这个钱应该如何分？

数学期望的加权平均和普通的平均值有什么区别呢？它是建立在随机事件发生的基础之上而得到的平均值，他刻画了随机变量的某些性质.例如对某一射手进行技术评定时，经常考察的就是射击环数的平均值；检查一批棉花的质量时，我们关心的是棉花纤维的平均长度；考察某种大批量生产的元件的寿命时我们往往只需要知道元件的平均寿命，等等.

由历史上的赌博问题引出数学期望这个概念，再将数学期望知识应用于生活实例当中去，体现了数学期望引出的意义，就是现实生活中“平均值”的推广，更重要的是将这种平均、公正的思想运用于社会生产实践当中，真正体现数学期望为生活服务的价值.

5 生活中的独立性与互斥

概率论中事件的独立性是指两个事件没有关系，我们的生活中处处蕴含着这种独立思想.

一般教师在教授这个知识点时会让学生直接记住它的等式P（AB）=P（A）P（B），学生很难理解独立性的真实意义，更有甚者，直接将概率中的独立性与事件互不相容直接画等号.而两事件互斥是指事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生，它与事件的独立性有着本质区别.

5.1 生活中的独立性

教师在讲解概率中的独立性时，可以结合一些日常生活中常见的现象来阐释独立性原理.如“风马牛不相及”，便是独立的，“各行其是”，也是独立的.也可通过生活中常见的事例进行教学.

例1：生男孩还是生女孩？

一对夫妻已经生了三个女孩，他们想第四个孩子一定是男孩，他们的想法对吗？这是生活中常见的现象，一般人以为既然前面三个孩子都是女孩，那么第四个是男孩的几率大一些.由于每次生男孩与生女孩都是独立的，所以每次生女孩和男孩的概率都是固定的即1/2.这是一个简单的例子，很多人都有错误的观念，认为每次生孩子是有关联的，其实不然.

通过生活中的现象我们理解了独立性，然后再运用独立性去解决生活中的问题.

5.2 生活中的互斥

生活中我们经常听到这样一句话“鱼与熊掌不可兼得”，它表示我们不能同一次得到两种东西，必须学会舍弃.人生的十字路口也是一样，我们必须学会选择，你选择了走一条大道，就得舍弃羊肠小路.这些生活中的现象蕴含着互斥的原理.

教学时可以撷取生活中比较有趣的事情，既能提高学生的兴趣，又能体现丰富的数学思想，下面我们可以看一则幽默：一吝啬鬼在自家草坪上剪草，其邻居过来问他：“周末上午你打羽毛球吗？”吝啬鬼生怕邻居借羽毛球打，忙说：“打、打，一整个上午都打.”这时邻居又说：“那你肯定不用剪草机了.”看完后大家肯定要想吝啬鬼偷鸡不成蚀把米.这个故事就可用概率中的互斥事件来解释了.

从生活实例去解释数学原理，使原本难以理解的概念变得通俗易懂.单单从概念和公式去把握独立性和互斥，许多学生可能会混淆两者，不能深入理解其内在含义.

在生活中还有很多现象都蕴含着独立性、互斥的思想，教师将这些现象作一归纳，将其中所蕴含的独立性、互斥原理提出来，体现了生活中处处蕴含着概率论的知识.

6 结束语

“数学知识来源于生活，又作用于生活”，我们周围的许多事情，看似简单，实则包含不少数学中的原理，尤其是概率统计，它已经渗透到我们生活的方方面面，它的应用也是十分广泛的，这就要求我们善于观察，勤于思考.作为教师，应当留心生活中的数学原理，在教学中，用生活事例去阐释数学原理，不仅使教学内容变得通俗易懂，更重要的是体现了数学学习的意义和价值.