活用数形结合 感悟数学思想

钟圆照

[摘 要]数形结合是数学思想、数学研究、数学教与学的基本方式，是促进学生抽象思维与形象思维互助互补的有效途径。教学中教师要把握好数形结合的思想方法，渗透到课堂教学中，让学生养成良好的学习习惯和提升学生的数学思维品质。

[关键词]数形结合 渗透 运用 数学素养

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）05-058

数与形是数学研究的两个基本对象，“数”构成了数学的抽象化符号语言，“形”构成了数学的直观化图形语言。从形的角度刻画数，发挥直观对抽象的支柱作用，借助“形”生动直观地认识“数”，从数的独特组合结构，在形成表象的基础上进行联想和想象，从而精确规范地阐明“形”的属性。数形结合时，其实质就是将数量的精确刻画与空间形式的直观形象和谐统一，将抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，抽象的问题具体化，从而使问题得以巧妙地解决。那么，教师要怎样才能把握数形结合思想方法的实质，充分渗透到课堂教学中并且让学生养成用数形结合思想解题的习惯呢？

一、适时渗透，充分体验

一般说来，数形结合包括两种情况：一是“以形助数”，如画数轴、线段图分析等，它有助于学生理清数量关系、增强数感，达到降低问题难度的目的；二是“以数解形”，如特殊值法、向量法等，它有助于学生突破具体图形的束缚，往往能让学生迅速地找到问题的答案。当然，很多数学问题需要“形”与“数”的不断转换、有机结合，从而让学生把握问题本质，深入地理解问题。

1.数学概念的建立借助“形”的直观

数轴将抽象的“数”形象直观化，学生运用数轴能快速有效地理解数的顺序、大小、数列规律等。“加法”就是在数轴上找到一个加数的位置，再向右平移另一个加数的单位长度；“减法”就是在数轴上先找到被减数的位置，然后再向左平移若干个单位；“乘法”就是在数轴上几个几个地向右数，或者把一条线段拉长几倍；“除法”就是在数轴上先找到“被除数”，然后向左几个几个地数，如果恰好数到“0”，则就是“除尽”，数了几次，商就是几，当不能恰好数到“0”时，就产生了余数。

2.数学性质的探索依赖“形”的操作

数轴是数形结合最常用的工具，学生根据数轴上的点与数的一一对应关系，能更加深入地理解数的性质。例如，在教学“小数的性质”时，我要求学生分别用一位小数和两位小数表示数轴上的同一个点，让他们借助数轴能更直观地理解小数的性质，进而启发学生从“数”和“形”这两个角度加深对小数性质的理解，更加透彻地理解数学知识。

3.数学规则的形成需要“形”的支撑

在教学相关的计算题时，运用“数形结合”思想，学生能深入地感悟和理解计算过程。

例如，在教学“分数乘分数”时，我先让学生将一张正方形纸的一半涂上颜色，然后在涂色部分的一半画上斜线，然后提问：“涂色部分表示一张纸的，画斜线的部分占的几分之几？你能看图并列算式写出结果吗？”学生通过观察图形，顺利地写出了算式。为了让学生更好地理解分数乘分数的性质，于是我提供算式，让学生根据提供的乘法算式在正方形图中用斜线表示出计算结果，并写出答案。这时，我再次提问：“结合图形说说算式是怎样计算得出结果的？你发现积的分子、分母与两个因数的分子、分母有什么联系？”学生由特殊到常规，得出结论，并且他们能通过自主举例，画图验证其他的乘法算式也能适用得出的结论。通过学习，学生很快就掌握了分数乘以分数的计算法则，大大降低了计算题出错的概率。

教师运用“数形结合”的教学方法，使学生对计算方法有直观的体验，能深入理解计算原理，有效地突破教学难点。

4.解题思路的获得来自“形”的帮助

借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化，将数字信息反映在图形上，直观地表现数量关系，从而获得解题思路。

例如，“求+++的和”这样一道复杂的分数连加计算题。学生通常是用“通分”进行计算，伴随着加数的增加，学生会因为“通分比较复杂”，而减少对数学学习的兴趣。因此，我启发学生把算式转化成图形，在一个正方形中把所有加数所代表的区域都涂上颜色，而全部加数的和就是用整个正方形的面积减去空白部分的面积（即1-）。这样简便而直观的教学方法，凸显了数学的本质特征，提高了学生的思维能力。

教师在教学过程中，要适时的渗透“数形结合”的思想，让学生体会到使用“数形结合”的方法解题更简便直观，有利于学生今后的学习和发展学生的思维。

二、针对训练，灵活运用

当学生学会一种数学方法时，需要不断地运用，积累经验，体会其中的数学思想，从而灵活运用。因此，教师在教学中，在渗透数学思想时，应该让学生正确地运用其去解题。

例如，在解决“求1+3+5+7+9的和”的问题时，我让学生联系方格图思考，将算式转化成数正方形方格数，从而得到：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52。此外，学生还发现：当加数的个数较多时，画图的分析方法不够简便，图形只是提供了一个思考的方向，想要解决此类问题，还需要再回到算式中。学生经思考后发现规律：有几个加数，结果就是几的平方。从而学生在真正意义上解决了问题。

数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法的概括。教学中，教师要进行系统、反复、有针对性的有效练习，在数学问题的探究发现过程中，精心挖掘数学的思想方法，使学生真正理解并掌握后才能做到灵活运用。

三、加强反思，积累经验

学习不仅能帮助学生解决问题，还能促使学生将已有的知识重新整合，新旧知识融会贯通，形成更为合理的认知结构。在解题之后，一方面要通过解题和反思活动，总结归纳出解题方法，并提炼上升到思想高度；另一方面在解题活动中，应充分发挥数学思想对解题的定向、联想和转化作用，突出它对解题的指导作用。

例如，在教学“画图解决问题”之后，我向学生提问：“回顾解决问题的过程，你有什么体会？”学生认识到画线段图能使数量关系直观、清楚，容易找到解决问题的方法。接着我进一步追问道：“在以前的学习中，我们曾经运用画图的策略解决过哪些问题？”学生的思维大门顿时被打开，“比如画一画、圈一圈认识了倍数”“还有解决问题时，经常会画线段图或示意图表示题中的条件和问题”“再比如探索周期规律时，画图表示排列顺序，找出规律”。学生深刻体会到“数形结合”就在平时的学习中，它对解决问题有着重要的作用。

学生通过反思，积累了学习经验，加深了对数学知识的理解。教师引导学生进一步的思考、探究，洞悉数与形间的内在联系，完善学生的知识体系，提升他们的知识迁移能力。

数形结合是数学思考、数学研究、数学应用、数学教与学的基本方式，是促进抽象思维与形象思维互助互补、和谐发展的有效途径。教师要充分挖掘教材中的内容，根据知识本身的特点以及学生的心智发展水平，确定具体而又恰当的渗透方法和策略，将数形结合的方法渗透到教学中，提高他们学习数学的兴趣，培养他们解决问题的能力和敏锐的洞察力，养成良好的学习习惯和提升数学思维品质。

（责编 莫秋鸿）