例谈数学中考中直尺、直角三角板放置的问题

钟雁平

直尺、直角三角板这两种学具是大家再熟悉不过的操作工具.以往的考场上，这些学具主要是用来测量和作图的.在近几年的中考试卷中，这些学具又呈现出不同的角色，它们成了一些中考数学试题的问题背景，操作工具演变成了探究载体.学具的融入让“冰冷”的中考题透出一股灵气，勾画出一道道立意新颖、构思巧妙的数学模型，为同学们的思维搭建起操作平台，使同学们的探究多了一份空间，较好地考查了同学们观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力以及运动变化、分类讨论思想等的综合运用能力，因此受到了各地中考命题专家的青睐.现就近年来中考试题中选取一些有代表性的以三角板、直尺为背景材料设计的数学问题，结合“平面图形的认识”进行分类评析，与同学们分享.

一、 由一块直角三角板和直尺组成的问题

此类问题是将直角三角板与直尺叠放在一起，利用平角、直角三角板的内角度数的两种情况：90°，45°，45°和90°，60°，30°，求边线形成的角度.解这类题要利用好对顶角、邻补角、余角等知识点.

例1 （2012·孝感）如图1，某同学在课桌上随意将一块三角板的直角叠放在直尺上，求∠1+∠2的度数.

【解答】如图1所示，

∵∠1和∠3互为对顶角，∴∠1=∠3，

又∵∠2和∠4互为对顶角，∴∠2=∠4，

∴∠1+∠2=∠3+∠4，

又∵∠A=90°，∴∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2=90°.

【点评】本题主要考查对顶角的性质，解题的关键是把所求角与已知角转化到同一个直角三角形中，利用三角板直角的特性，寻找角的等量关系.

例2 （2010·荆州）如图2，一根直尺EF压在三角板30°的角∠BAC上，与两边AC、AB交于M、N.那么∠CME+∠BNF是（ ）.

A. 150° B. 180°

C. 135° D. 不能确定

【解答】根据对顶角的性质可知，

∠CME=∠NMA，∠BNF=∠MNA，

所以∠CME+∠BNF=∠NMA+∠MNA.

又因为∠MNA+∠NMA+∠A=180°，∠A=30°，

所以∠MNA+∠NMA=180°-30°=150°.

从而可知，∠CME+∠BNF=150°，故选A.

【点评】本题以同学们非常熟悉的三角板和直尺为背景，创设了既具有一定现实意义又贴近学习生活的问题情境，充分体现了数学与现实生活的联系，能激发同学们将所学知识应用到现实中去.

例3 （2015·四川广元，改编）一直角三角板与一直尺如图3所示方式摆放，并且∠1比∠2大50°，求∠1与∠2的度数.

【解答】∵∠1比∠2大50°，

∴∠1=∠2+50°，

∵∠1与∠2互余，∴∠1+∠2=90°，

∴∠2+50°+∠2=90°，∴∠2=20°，

∴∠1=20°+50°=70°.

【点评】本题考查了补角和余角的概念，以及方程思想的运用.

二、 由一副直角三角板组成的问题

一副直角三角板是由两种直角三角形（30°，60°， 90°和45°，45°，90°）组成.以它为媒介，充分利用这些角度和边长之间的关系进行拼接，可以拼出许许多多、形形色色的数学题，挖掘很多的数学知识.解决这类中考试题，我们要认清这样的一些事实：它的每个角的度数，边与边之间的数量关系，角与边之间的关系.要充分利用这些隐含的条件，再结合其他的数学知识来解决问题.当然同学们在思考问题时，自然也会用手中的直角三角板实际操作，更能体现中考注重“做数学”的原则.

例4 （2014·漳州）如图4，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是_______.

【解答】∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，

∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-∠BOD，

∴∠AOD=∠BOC.

故答案为：∠BOC.

【点评】本题以同学们非常熟悉的一副直角三角板为背景，为大家提供动手实践操作设计的空间.因为是一副直角三角板，所以∠AOB=∠COD=90°，再利用∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-∠BOD，同角的余角相等，可知与∠AOD始终相等的角是∠BOC.本题主要考查了余角和补角，用到同角的余角相等.

例5 （2015·菏泽）将一副直角三角尺如图5放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）.

A. 140° B. 160°

C. 170° D. 150°

【解答】∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，

∴∠COA=90°-20°=70°，

∴∠BOC=90°+70°=160°.

故选：B.

【点评】在进行角度的有关计算时，一个角在必要时应将其拆成几个角的和与差以及互余的关系，以便快速解决问题.

例6 （2015·黑龙江绥化）将一副三角尺按如图方式进行摆放 ，∠1、∠2不一定互补的是（ ）.

【分析】如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，据此分别判断出每个选项中∠1+∠2的度数和是不是180°，即可判断出它们是否一定互补.

【解答】如图6，

∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4，

∵∠1+∠4=180°，∴∠1+∠2=180°.

∴∠1、∠2互补.

如图7，

∵∠2+∠4=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠3，

∵∠1+∠3=180°，

∴∠1+∠2=180°，

∴∠1、∠2互补.

如图8，

∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4，

∵∠1+∠4=180°，

∴∠1+∠2=180°，

∴∠1、∠2互补.

如图9，

∵∠1=90°，∠2=60°，

∴∠1+∠2=90°+60°=150°，

∴∠1、∠2不互补.故选：D.

【点评】此题主要考查了余角和补角的性质和应用，解答此题的关键是要明确：同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等，并能分别判断出每个选项中的∠1+∠2的度数和是不是180°.

中学数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展.它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.

直尺与一副三角板是大家学习生活当中经常使用的测量工具和作图工具，当它们走进中考试题时，你们对它们有着异样的亲切感，这类题目巧妙地使直尺与三角板、三角板与三角板成为一对对默契搭档，不断地在中考中演绎出精彩，更好地激发你们学习数学的兴趣，更让你们体会到数学来源于现实生活，生活处处有数学.通过对这类试题的解决，能够充分锻炼你们的数学思维，使你们体验到学习数学的快乐和成功感，有助于提升你们的数学思维品质.

（作者单位：江苏省吴江区实验中学）