几何之父

高宏志

欧几里得（Euclid）是古希腊著名数学家、欧氏几何学开创者. 欧几里得生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心. 浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习.

一天，一群年轻人来到位于雅典城郊林荫中的“柏拉图学园”. 只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着：“不懂几何者，不得入内！”这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们知道他对数学的重视，然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了. 有人在想，正是因为我不懂数学，才要来这儿求教的呀，如果懂了，还来这儿做什么？正在人们面面相觑，不知是退、是进的时候，欧几里得从人群中走了出来，只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，头也不回地走了进去.

“柏拉图学园”是柏拉图40岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校. 在学园里，师生之间的教学完全通过对话的形式进行，因此要求学生具有高度的抽象思维能力. 数学，尤其是几何学，所涉及的对象都是普遍而抽象的东西. 它们同生活中的实物有关，但是又不同于这些具体的事物，因此学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径.

柏拉图甚至声称：“上帝就是几何学家. ”这一观点不仅成为学园的主导思想，而且也为越来越多的希腊民众所接受. 人们都逐渐地喜欢上了数学，欧几里得也不例外. 他在有幸进入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里. 他潜心求索，以继承柏拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿也不去，什么也不干，熬夜翻阅和研究柏拉图的所有著作和手稿.可以说，连柏拉图的亲传弟子也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论. 经过对柏拉图思想的深入探究，他得出结论：图形是神绘制的，所有一切现象的逻辑规律都体现在图形之中. 因此，对智慧训练，就应该从以图形为主要研究对象的几何学开始. 他确实领悟到了柏拉图思想的要旨，并开始沿着柏拉图当年走过的道路，把几何学的研究作为自己的主要任务，并最终取得了世人敬仰的成就.

最早的几何学兴起于公元前7世纪的古埃及，后经古希腊人传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派系统奠基. 在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性，它们大多数是片断、零碎的，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明. 因此，随着社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋. 欧几里得通过对柏拉图早期数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势. 他下定决心，要在有生之年完成这一工作. 为了完成这一重任，欧几里得不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠——亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷. 在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解，哪怕是尚肤浅的理解. 经过欧几里得忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书. 这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学，简称欧氏几何.

《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作. 传到今天的欧几里得著作并不多，然而我们却可以从这部书详细的写作笔调中，看出他真实的思想底蕴.

全书共分13卷. 书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题. 在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们， 这使得全书的论述更加紧凑和明快. 而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排. 它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容. 其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源. 仅仅从这些卷帙的内容安排上，我们就不难发现，这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪的古希腊——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史. 这其中，颇有代表性的便是在第1卷到第4卷中，欧几里得对直边形和圆的论述. 正是在这几卷中，他总结和发挥了前人的思维成果，巧妙地论证了毕达哥拉斯定理，也称“勾股定理”，即在一直角三角形中，斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的两个正方形的面积之和. 他的这一证明，从此确定了勾股定理的正确性并延续了2 000多年. 《几何原本》是一部在科学史上千古流芳的巨著. 它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论，而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述，使这些远古的数学思想发扬光大. 它开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范. 照欧氏几何学的体系，所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的基本命题即公理演绎出来的. 在这种演绎推理中，对定理的每个证明必须或者以公理为前提，或者以先前就已被证明了的定理为前提，最后做出结论. 这一方法后来成了用以建立任何知识体系的严格方式，人们不仅把它应用于数学中，也把它应用于科学中，而且也应用于神学甚至哲学和伦理学中，对后世产生了深远的影响. 尽管欧几里得的几何学在差不多2 000年间，被奉为严格思维的范例，但实际上它并非那么完美. 人们发现，一些被欧几里得作为不证自明的公理，却难以自明，越来越遭到怀疑. 比如“第五平行公设”，欧几里得在《几何原本》一书中断言：“通过已知直线外一已知点，能作且仅能作一条直线与已知直线平行. ”这个结果在普通平面当中尚能够得到经验的印证，但是在无处不在的闭合球面之中（地球就是个大曲面）这个平行公理却是不成立的. 俄国人罗巴切夫斯基和德国人黎曼由此创立了非欧几何学.

欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学. 除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传. 《已知数》是除《原本》之外唯一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题，指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定. 《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分. 《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的反射角等于入射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果. 还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失.

除了《几何原本》之外，欧几里得还有另外五本著作流传至今. 它们与《几何原本》一样，内容都包含定义及证明.