对于圆锥曲线教学的一些思考

卜耀锋

（宁夏石嘴山市光明中学）

对于圆锥曲线教学的一些思考

卜耀锋

（宁夏石嘴山市光明中学）

圆锥曲线是高中平面解析几何中的重要内容,其中蕴含了重要的数学思想方法。在教学该部分知识对学生的基本数学素养要求较高,对教师的教学能力要求较高，为了使学生掌握基础知识，应该重视基础知识和基本思想方法。

圆锥曲线；思想方法；基础知识

圆锥曲线知识是平面解析几何的重要内容，椭圆、双曲线以及抛物线历年来都是高考必考的知识，也是高考考查的重点知识之一。从多年的教学和高考复习过程来看，学生对圆锥曲线内容的学习和掌握程度不是很好，无论是知识的习得，还是问题的解决以及思想方法的应用都存在着一定的困难，追溯产生困难的根源，就是教师在教学中忽视的一些细节，学生在学习中没有掌握基础知识和基本思想方法。

一、重视圆锥曲线概念教学

比如，在椭圆的概念教学中，首先，展示生活中的椭圆的实例，人造卫星运行轨迹、盘子等，使得学生直观感受数学源于生活又高于生活。其次，通过学生亲自动手操作实验画“椭圆”，展示学生画出的椭圆，然后总结图像的特征，给椭圆下定义。因此，对概念的内涵和外延把握不准确，从而导致在解决问题时就会出现解题思路受阻、错解等现象。例（教材第42页练习题3）已知经过椭圆=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点。

（1）求△AF1B的周长；

（2）如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？

当AB垂直于x轴时，是一种特殊情况，对于概念不熟悉的同学，先求解了A、B两点的坐标，利用勾股定理求出、，进而求出三角形的周长。第二问中当不垂直于轴时，学生就束手无策了。在提示下，学生可以将△AF1B的周长拆分成，利用定义就可以转化为=4a=20.

二、酌情处理圆锥曲线方程推导

圆锥曲线的定义揭示了圆锥曲线的本质特征，利用解析法将曲线上满足动点的代入，由曲线和方程的关系，求出圆锥曲线方程。事实上会发现，在圆锥曲线方程推导过程中学生对代数式的处理能力较弱，一是出现化简方向上的思维障碍，二是不能准确进行代数运算，即学生代数运算能力偏弱。数学问题的解决离不开推力计算。因此，在学习过程中要有意识的训练学生，但是也要注意难易程度的控制，不要刻意的训练偏、繁、怪的计算，注重算式的推理计算，思维逻辑推理运算。

三、准确理解圆锥曲线的性质

结合圆锥曲线的方程探讨圆锥曲线的性质，利用圆锥曲线的性质解决圆锥曲线的问题。准确理解圆锥曲线的性质是解决圆锥曲线问题前提，比如，在圆锥曲线的问题中以标准方程来研究性质的，因此，在拿到圆锥曲线方程时先将方程代数变换为标准方程，确定方程中的参数，准确理解椭圆的顶点，长轴和短轴，长轴长和短轴长，长半轴长和短半轴长等定义，准确确定这些参数的取值，双曲线的顶点，实轴和虚轴，实轴长和虚轴长，实半轴长和虚半轴长，渐进线方程等概念。注意区分椭圆与双曲线中a、b、c的数量关系。圆锥曲线离心率的取值范围等。

四、注重数形结合方法在圆锥曲线中的应用

考试大纲对圆锥曲线的要求是理解数形结合思想方法。事实上数形结合思想方法是数学中的一种重要的思想方法，如果能顺利实现数与形的合理，就会使得一些抽象的数学问题形象、具体、简单，当然，这种转化必须要有一定的数学素养作为基础，比如，基础的数学概念、公理、定理以及重要的结论等，这些都是实现数与形顺利转化的前提。

五、合理控制试题难度，重视基础知识

比如，求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程；双曲线的离心率的问题；直线与圆锥曲线的综合考查圆锥曲线的性质等问题，难度适中。在解答题中，第一小问主要考查圆锥曲线的方程，离心率等问题，第二问通常考查直线与圆锥曲线的综合问题，涉及定值、最值、恒成立、参数范围确定等问题，有一定的难度，有时在这一问设置难度，充当压轴题的角色。

六、酌情介绍圆锥曲线的定义

教材中，阅读与思考内容给出了圆锥曲线的统一定义：已知点是平面上的一个定点，l是平面上不过点F的一条定直线，点M到点F的距离和它到直线l的距离之比是一个常数e。统一定义中随着的变化，曲线的属性也随之变化，当时，轨迹是椭圆，当0＜e＜1时，轨迹是双曲线，当e＞1时，轨迹是抛物线，定点是曲线的焦点，比值是它的离心率，定直线是它的准线。圆锥曲线的直角坐标方程的统一形式为：（1-e2）x2+y2-2pe2x-p2e2=0，随着e的变化，对应着不同的曲线。作为教材的拓展内容，学有余力的学生可以去学习，但是对于大部分学生而言，这部分内容可以不掌握。从考试大纲来看，对于第二定义及统一方程没有要求，那么在教学中介绍第二定义及方程无疑是增加学生的学习负担和压力。

圆锥曲线内容抽象，性质也因曲线的不同较为复杂，所以学生对这部分知识不容易理解和记忆，那么在教学过程中就要做到心中有数，根据学情设计教学，让学生学有所得，不盲目追求难度和高度，注重基础和过程，加强学生数学素养的教育。

王娟.试析新课程下高中数学中圆锥曲线教学［J］.教育教学论坛，2016（6）：277-278.

·编辑王洁琼